2.4 三角形的中位线优秀获奖教案

新课标(XJ)

数学

八年级下册

典案一

教学设计

课题

2.4

三角形的中位线

授课人

1.掌握用三角形中位线的概念及定理进行有关的论证和计算，进一知识技能

步提高学生的计算能力；

2．掌握三角形的中位线的性质和应用，能够正确利用三角形的中位线的知识解决三角形的边长的等量关系问题、线段之间的平行问题.

1.培养学生通过三角形两边的中点，把复杂的图形转化为有关三角数学思考

问题解决

形中位线的基本图形的思考；

2．让学生养成以数形结合的思想方法去思考数学问题.

利用三角形的中位线知识解决与三角形的边、角有关的计算问题.

1.经历从认识、发现三角形的中位线到推理三角形的中位线的性质的过程，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心；

2．通过研究三角形中位线的性质，培养学生提取收集信息的意识和树立数形结合思想的推理能力，会将复杂问题转化为简单问题.

三角形中位线的性质和应用.

如何准确应用三角形的中位线去解决实际问题.

新授课

课时

教

学

目

标

情感态度

教学

重点

教学

难点

授课

类型

教具

直尺、三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

教学活动

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1

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(续表) 教学

步骤

师生活动

三角形共有__3__条中线．

回顾

图2－4－13 【课堂引入】

如图2－4－14，小明家和学校之间有一个池塘．在没有任何工具的前提下，小明通过下面的方法估测出A，B两点之间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，活动

BC的中点M，N，并测出MN的长，由此他就知道了A，学生经历存疑思考的过程，激励学生探究概念，一：

B两点之间的距离．你能说说其中的道理吗？

创设

在问题的情境中愉快地学习，积极地思考，全情境

导入

新课

图2－4－14 (教师适时引导：本题实质是探究MN与AB之间的位置关系和数量关系) 这节课我们就来探讨MN与AB之间的关系．

【探究1】

三角形中位线定理

在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，如图2－4－15，试研究线段DE与BC的关系．

图2－4－15 定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．

(也就是要研究三角形中位线的性质) 引导学生写出已知，求证，并启发分析．

活动

已知：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

二：

1实践

求证：DE∥BC，DE＝BC. 2

探究

启发1：证明直线平行的方法有哪些？(由角的相等或互补交流

得出平行，由平行四边形得出平行等) 新知

启发2：证明线段的倍分关系的方法有哪些？(截长或补短) 学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程，强调有其他证法．

证明方法一：如图2－4－16，以点E为旋转中心，把△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°，得到△CFE，则D，E，F在同一直线上，DE＝EF，且△ADE≌△CFE，∴∠ADE＝∠F，AD＝CF，∴AB∥CF.

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2 设计意图

复习与本课相关联的知识，为下面将要讲述的内容服务. 身心地投入到解决问题中来.

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(续表) 又∵BD＝AD＝CF，∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四1边形是平行四边形)，∴DF∥BC，∴DE∥BC，DE＝BC. 21证明方法二：要证明DE＝BC，可以证明2DE＝BC，所以，延长DE到点F，2使DF＝2DE，证明它与BC相等，要证明DE∥BC，只要证明四边形BCFD是平行四边形即可．

证明：如图2－4－16，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC.

图2－4－16 ∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，

∴△AED≌△CEF(SAS)，∴∠F＝∠ADE，CF＝AD，∴AD∥CF.又∵BD＝AD，∴BD＝CF，∴CF∥BD，CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥1活动

BC，DF＝BC，∴DE∥BC，且DE＝BC. 2二：

深入探究：一个三角形有几条中位线？你能分别作出来吗？

实践

(学生自己作图，让学生去发现3有条中位线) 探究

连接三条中位线后把原图形分割成了什么基本图形？

交流

(猜想有平行四边形与全等的三角形) 新知

结论：三角形的中位线和三角形的中线不同(如图2－4－17)．

从新旧知识的对比中，边猜想、边思考，直到完成猜想的证明，得到定理，让学生在学习中得到深入的体验，感受知识的来源，使学生掌握深刻.

图2－4－17 对比：三角形有三条中位线，它们组成一个三角形，如图2－4－18①；

三角形有三条中线，它们相交于一点，如图2－4－18②.

图2－4－18 注意：三角形的三条中位线与三角形的三边组成三个平行四边形．

结论：连接三角形两边中点的线段平行于第三边，并且等于第三边的一半．

【应用举例】

活动

三：

开放

训练

体现

应用

图2－4－19

图2－4－20 变式一

已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF＝DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由. 例1

[教材P56例]

如图2－4－19所示，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

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3

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(续表) 解：有两个，分别是平行四边形ADCF和平行四边形DBCF.理由：

1(1)∵D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE∥BC，DE＝BC.又2∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；

(2)∵E是AC边的中点，∴EA＝EC.又∵EF＝DE，∴四边形ADCF是平行四边形．

变式二

如图2－4－21，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，AB＝5，CD＝7.求四边形EFGH的周长．

图2－4－21 通过对例题的改解：∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，AB＝5，变，加强对题型的CD＝7，∴EF∥AB，GH∥AB，EF＝2.5，EH＝3.5，同理EH∥CD，认识，增强知识的FG∥CD，∴四边形EFGH为平行四边形，∴四边形EFGH的周深化，促进各方面长＝2(EF＋EH)＝2×6＝12. 知识的大综合，形变式三

已知：如图2－4－22，E为▱ABCD成教学知识网络.

中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．

图2－4－22 解：AB∥OF，AB＝2OF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC，∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝CD，在▱ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中，∠ABF＝∠ECF，AB＝CE，∠BAF＝∠CEF，∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF.

【拓展提升】

例2

如图2－4－23，在△ABC中，DE是中位线，∠B的平分线交DE于点F，则△ABF一定是(B)

拓展的目的在于让学生拓宽视野，提高应用知识的能力，加大知识难度，全面综合，多方位应用，达到熟练提高，熟能生巧的目的. 活动

三：

开放

训练

体现

应用

图2－4－23 A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．直角三角形或钝角三角形

[解析] ∵∠B的平分线交DE于点F，∴∠DBF＝∠FBC.

∵DE是中位线，∴DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∴∠DBF＝1∠DFB，∴BD＝DF.∵DE是中位线，∴AD＝DB，∴DF＝AB，2∴△ABF一定是直角三角形．

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(续表) 例3

如图2－4－24，已知第1个三角形ABC的周长为1，它的三条中位线组成第2个三角形EFG，第2个三角形的三条中位线又组成第3个三角形HIJ，1依此类推，第2017个三角形的周长为__()2016__．

2

图2－4－24 [解析] 根据三角形的中位线定理，知第1个三角形的三条中位线组成的第2个11三角形的周长是第1个三角形周长的一半，即，第2个三角形的周长为，那2211么第3个三角形的周长为()2，…，依此类推，第2017个三角形的周长为()201722－11＝()2016. 2例4

如图2－4－25所示，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，K，L，M，N分别为四边形各边的中点，如果AC＝10，BD＝8，求四边形KLMN的面积．

图2－4－25 解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，K，L，M，N分别为四边活动

三：

开放

训练

体现

应用

1形各边的中点，∴四边形KLMN为长方形，∴KN∥AC，且KN＝AC.∵AC21＝10，∴KN＝×10＝5.同理KL＝4，则四边形KLMN2的面积为4×5＝20. 例5

如图2－4－26，点O是△ABC内任意一点，G，D，E分别为AC，OA，OB的中点，F为BC上一动点，问四边形GDEF能否为平行四边形？若可以，指出点F的位置，并给予证明．

图2－4－26 解：当F为BC的中点时，四边形GDEF为平行四边形．证明：∵G，F分别1是AC，BC的中点，∴GF∥AB，且GF＝AB.同理可得，DE∥AB，且DE＝21AB，∴GF∥DE，且GF＝DE，∴四边形GDEF是平行四边形．

2例6

如图2－4－27，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4. (1)求FG的长；

(2)求△ABC的周长．

图2－4－27 解：(1)∵AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AB＝BG，AC＝FC，∴AE＝EF，AD＝GD，∴ED是△AFG的中位线，∴FG＝2ED＝6.

(2)BG＝AB＝BF＋FG＝8，CF＝AC＝CG＋FG＝10，∴C△ABC＝8＋10＋10＋2＝30.

拓展的目的在于让学生拓宽视野，提高应用知识的能力，加大知识难度，全面综合，多方位应用，达到熟练提高，熟能生巧的目的.

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数学

八年级下册

(续表)

当堂训练：P56练习T1，T2. 作业布置：P57习题2.4A组T1，T2，T3，B组T6. 【知识网络】

当堂训练，及时反馈，检测效果，由浅入深，达到循序渐进的目的.

便于归纳和规范解题过程.

活动

四：

课堂

总结

反思

【教学反思】

①[授课流程反思]

导入直接得当，让学生通过中线直接进入主题，全面减少教学压力，突破学生太多太长的知识限制，造就简洁的导入是为了更好地提高教学质量．

②[讲授效果反思] 教学中在掌握三角形中位线定理的同时，我们要突破三角形中位线的证明，本教学采用多种分析方法，因此在教学时要根据题意采纳最简单、最有效的方法，但在此教学中缺乏作辅助线、构造中位线之类的问题，在以后的教学中，需要不断弥补，以达到全面提高的目的．

积极反思，积累教学经验，总结教学得失，提升教学能力，及时纠正不利于学生学习的教学方法，有利于在今后的教学中③[师生互动反思] 把握重点，突破难点. 本节课，师生通过动手操作、互动探索，总结出了三角形中位线具有的性质，在应用知识的过程中，体现了学生的全面合作能力，切实让学生掌握了本课的重要知识．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

典案二

导学设计

学习目标：

1.了解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.

2.运用平行四边形的判定定理和有关性质来证明或解决问题．

3.学习添加简单的辅助线来研究和证明问题，培养添加辅助线的意识和能力. 学习重难点：三角形中位线定理、平行四边形的判定定理与性质定理的应用．

课前自主预习问题：

1.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 .

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2.三角形两边中点的连线 ，并且等于 . 3.在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；

(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有哪几对？

[来源:Z§xx§k.Com]

4. 如右图，ΔABC中，BC=10cm,D、E分别是

AB、AC的中点，则DE= .

[来源:学科网]

再经过点D作 就能得到一个

平行四边形 .（用字母表示）

课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：

1.学习课本例题5 已知：如图，点E、F是YABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，

求证：四边形BEDF是平行四边形.[来源:学*科*网Z*X*X*K]

（1）思考判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？

（2）研究和解决四边形问题常用的方法①是运用已知平行

四边形的性质，②是添加 将四边形转化成 的问题来思考（如证明两个三角形全等），所需添加的辅助线要在证明中写出，在图上画出（虚线）. （3）证明过程要严密，做到步步有据：

证明 连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是 ，∴AO

=

,BO

= . 又∵AE

= ,∴OE = .即四边形 是平行四边形. 证明方法2：（提示：考虑证明ΔADE≌ΔCBF或ΔABE≌ΔCDF等）

[来源:Zxxk.Com]

2. 已知：如图，点D、E分别为ΔABC的边AB、AC的中点，

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1

求证： DE∥BC，且DE

=

2BC. (1)学用添加辅助线的方法构造全等三角形.

(2)小组讨论、分析证明方法：

①证明线段相等的方法有哪些？

②证明线段的倍数或几分之一常用什么方法？

(3)认识三角形的中位线的概念：

本题中的线段DE是ΔABC两边中点的连线，叫做ΔABC的中位线. 用文字表述本例题中的结论（三角形中位线定理）：

. 3.补充例题：已知三角形的边长分别是6cm、8cm和10cm，顺次连接各边中点所得的三角形周长和面积分别是 和 . 自结测试：

（1）已知ΔABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若ΔDEF的周长为20cm，则ΔABC的周长为 . （2）已知EF过□ABCD对角线的交点O，并

交CD边于点E、交AB边于点F，若

AD

=

4cm,AB

=

5cm,OE

=

1.5cm,则四边

形EFBC的周长是 cm. （3）如下图，在RtΔABC中，∠ACB=90，点D、E分别是AB、BC的中点，

点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B，

①CF=DE吗？请说明理由. ②若AC=6cm,AB=10cm,求四

边形DCFE的面积.

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8 [来源:学§科§网]

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自我评价： ，同伴评价： ，组长评价： ，

教师评价： . 课后作业：

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