4.3一次函数的图象与性质课件配套优秀教案案例

一次函数的图象与性质（基础）

【学习目标】

1. 理解一次函数的概念，理解一次函数ykxb的图象与正比例函数ykx的图象之间的关系；

2. 能正确画出一次函数ykxb的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．

3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、一次函数的定义

一般地，形如ykxb（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当b＝0时，ykxb即ykx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求，一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质

1.函数ykxb（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线

；

当b＞0时，直线ykxb是由直线ykx向上平移b个单位长度得到的；

当b＜0时，直线ykxb是由直线ykx向下平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数ykxb（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质：

3. k、b对一次函数ykxb的图象和性质的影响：

k决定直线ykxb从左向右的趋势，b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线ykxb经过的象限．

4. 两条直线l1：yk1xb1和l2：yk2xb2的位置关系可由其系数确定：

（1）k1k2l1与l2相交； （2）k1k2，且b1b2l1与l2平行；

要点三、待定系数法求一次函数解析式

一次函数ykxb（k，b是常数，k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立条件确定两个关于k，b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x，y的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数ykxb中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数

对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 【典型例题】

类型一、待定系数法求函数的解析式

1、根据函数的图象，求函数的解析式．

【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此b＝2，可以设函数的解析式为ykx2，再利用过点（1.5，0），求出相应k的值. 【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式. 解：设函数的解析式为ykxb. 它的图象过点（1.5，0），（0，2）

41.5kb0k∴∴3

b2b2∴该函数的解析式为y4x2. 3【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 举一反三：

【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数y2x的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．

【答案】 y2x3；

提示：设一次函数的解析式为ykxb，它的图象与y2x的图象平行，则k2，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋b．解得b3．

∴ 一次函数解析式为y2x3．

【变式2】（2015春•广安校级月考）已知函数y1=2x﹣3，y2=﹣x+3．

（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象．

（2）求出函数图象与x轴围成三角形的面积．

【答案】解：（1）函数y1=2x﹣3与x轴和y轴的交点是（1.5，0）和（0，﹣3），y2=﹣x+3与x轴和y轴的交点是（3，0）和（0，3），其图象如图：

（2）设y1=2x﹣3，y2=﹣x+3的交点为点A，可得：，

可得：，

S△ABC=BC•1=×（3﹣1.5）×1=．

类型二、一次函数图象的应用

2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．根据图象求出y与x的函数关系式．

【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．

【答案与解析】

解：根据图象，当0≤x≤50时，可设解析式为ykx，

将(50，25)代入解析式，所以k11，所以yx；

22 当x＞50时可设解析式为yaxb，

将(50，25)，(100，70)代入解析式得50ab25，

100ab70

解得a0.9，所以y0.9x20．

b201x；当x50时函数解析式为y0.9x20．

2所以当0≤x≤50时函数解析式为y1(0x50)x∴ 所求的一次函数解析式为：y2．

0.9x20(x50)【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围. 举一反三：

【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( ) A.14分钟

B.17分钟

C.18分钟

D.20分钟

【答案】D；

提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟. 类型三、一次函数的性质

3、已知一次函数y2m4x3n．

（1）当m、n是什么数时，y随x的增大而增大；

（2）当m、n是什么数时，函数图象经过原点；

（3）若图象经过一、二、三象限，求m、n的取值范围. 【答案与解析】

解：（1）2m40，即m＞－2，n为任何实数时，y随x的增大而增大；

2m40m2mn （2）当、是满足即时，函数图象经过原点；

n33n0 （3）若图象经过一、二、三象限，则2m40m2，即．

3n0n3【总结升华】一次函数ykxb的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0时，函数ykxb的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；

②当k＞0，b＜0时，函数ykxb的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；

③当k＜0，b＞0时，函数ykxb的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；

④当k＜0，b＜0时，函数ykxb的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．

4、（2015春•咸丰县期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA的面积为S．

（1）求S关于x的函数解析式；

（2）求x的取值范围；

（3）当S=4时，求P点的坐标．

【思路点拨】（1）根据题意画出图形，由x+y=5可知y=5﹣x，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）由点P（x，y）在第一象限，且x+y=5得出x的取值范围即可；（3）把S=4代入（1）中的关系式求出x的值，进而可得出y的值．

【答案与解析】解：（1）如图所示，

∵x+y=5，

∴y=5﹣x，

∴S=×4×（5﹣x）=10﹣2x；

（2）∵点P（x，y）在第一象限，且x+y=5，

∴0＜x＜5；

（3）∵由（1）知，S=10﹣2x，

∴10﹣2x=4，解得x=3，

∴y=2，

∴P（3，2）．

【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

举一反三：

【变式】函数ykxk(k0)在直角坐标系中的图象可能是（ ）．

【答案】B；

提示：不论k为正还是为负，k都大于0，图象应该交于x轴上方,故选B.