原（逆）命题、原（逆）定理名师教学设计2

《勾股定理的逆定理》教学设计

一、课题：《勾股定理的逆定理》选自人教版八年级数学下册17.2.1 二、授课教师：陈赞旭

三、教学目标：

1.根据原命题写出它的逆命题，并能利用说理和举反例判断命题的真假。

2.能通过构造一个直角三角形，与原来三角形全等，证明勾股定理的逆定理.

3.能用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形. 四、教学内容分析：

本节课是在上节课《勾股定理》之后继续学习的内容，是直角三角形的判定定理，它是前面知识的深化与延续。《勾股定理的逆定理》是初中几何的重要内容之一，是今后判断一个三角形是直角三角形的重要方法之一，也是联系几何与代数的重要工具，同时在应用中渗透利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下伏笔，是本章的重要内容。

五、学情分析：

本班学生此前学习三角形有关的知识及直角三角形的性质、勾股定理，具备了简单的几何基础，能够自己进行简单的观察，分析，猜想，归纳，概括，但是逻辑推理能力不够并且书写证明题格式不规范。因此教师在证明过程给予适当的引导与启发，并且给出文字命题的证明整个详细的过程，让他们能够有版可模。

六、教学重难点

重点：勾股定理的逆定理的应用

难点：勾股定理的逆定理的证明

七、方法与手段

本节课在教法上采用启发式教学模式，在证明过程中，根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发，由学生自己去思考，去分析，充分发挥学生的主体作用，启发式讲授与探究相结合引导学生通过观察、思考、探索、交流获得知识，同时借助多媒体进行演示，帮助学生学会运用观察、分析、比较、归纳、概括等方法，得出解决问题的方法．本节课通过各种探究活动，增强同学们的数学思考、推理猜想以及动手书写能力；通过逆命题猜想初步得结论，用演绎推理证明猜想；通过严格证明，强调了数学的严谨性与准确性，培养同学们的论证能力。

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八、教学过程om]

环节一

新课导入

【复习回顾】完成下列空格，并判断下列命题的真假。 （1）①两直线平行，内错角相等； ②内错角相等，两直线平行；

题设是：__________________ 题设是：_______________________

结论是：__________________ 结论是：_______________________

（2）①对顶角相等 ②_________________________________ 题设是：__________________ 题设是：____________________

题设和结论

结论是：__________________ 颠倒 结论是：_________________ 师生活动：教师给出两个命题，学生动手完成这两个练习，对比这两个命题，说出自己的发现。教师引导学生找命题的题设和结论，并比较两个命题的题设和结论，介绍逆命题和互逆命题的概念。在学生的发现过程，板书逆命题的相关概念。

设计意图：选择要求较低的练习入手，让学生都有可能参与到课堂，从而激发学生的学习兴趣；复习旧知的同时，为后面学习同化新知识做铺垫。

【知识归纳】知识点一：逆命题的概念

__________：如果A，那么B ______________ __________：如果B，那么A 注：①说逆命题时只需将_____________调换②原命题成立时，它的逆命题__________ 【小试牛刀】练习：如果直角三角形的两条边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2 = c2 。下面哪句话是勾股定理的逆命题？（ ）

A.如果直角三角形的三条边长满足a2+b2 = c2

，那么两条直角边长分别为a、b，斜边长为c

B.如果三角形的三条边长a、b、c满足a2+b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

师生活动：教师重点关注学生能否准确找到命题的题设和结论，并引导分析。

设计意图：巩固逆命题的相关概念，并引出勾股定理的逆命题，为下部分内容做铺垫。

环节二

证实发现

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【探究新知】前面发现原命题正确，其逆命题不一定正确，那我们发现勾股定理的逆命题一定正确吗?如果你认为是正确的,你能证明这个命题？

师生活动：教师提出问题后，引导学生如何去证明一个命题；学生按照教师的提示，首先分析命题的题设和结论，画出图形，并写出已知和求证。

设计意图：引导学生从命题出发，规范学生证明文字命题的思路：画图、写已知、求证、演绎推理、符号语言。通过小组合作，学生能够相互交流，一起探讨出证明思路，明确本环节的任务。

【证明推理】

勾股定理的逆命题：如果三角形的三条边长a、b、c满足a2+b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

如图，

已知： ________________________________________________；

求证：_________________________________________________；

师生活动：教师提问：要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角形，那怎么办？教师启发如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,可以先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°。学生小组讨论得出证明思路，证明猜想的正确性.教师适时点拨，总结证明步骤，师生共同规范完成证明。

设计意图：引导学生构造直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点. 【知识归纳】知识点二：勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a、b、c满足a2+b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

环节三

学以致用

【应用定理】知道勾股定理逆定理这个结论有什么作用吗？

讨论结果：如果给出一个三角形的三边长，我们可通过计算两边的平方和，第三边的平方，判断它们是否相等来看这个三角形是不是直角三角形。

知识点三：运用勾股定理的逆定理判定三角形是否直角三角形

【经典例题】例1. 判定以如下的a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形，是的打“√”，不是的打“×”. (1)a＝3，b＝4，c＝5. (

)

3

(2)a＝1，b＝1，c＝2 ( ) (3)a＝2，b＝3，c＝4 (

) (4)a＝2，b＝3，c＝

7 ( ) (5)a＝1，b＝2，c＝

3 ( ) 师生活动：学生独立完成练习，教师让学生回答问题并说明理由，在师生问答中完成该组练习。学生可能在第（5）小题会出现前两者的平方和算出，再与第三者的平方比较，因此教师会引导学生思考问题“是否把任意两边的平方和都算出来，再与第三边平方比较？”学生通过题组练习，发现应该用较短的两边的平方和与最长边的平方作比较最简便。

设计意图：一开始选择数据简单的练习入手，让学生都有可能参与到课堂，逐渐题目数据复杂的难度，使学生的能力提升；通过此练习，学生学会用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形。

【经典例题】例2. 在△ABC中，若AC＝6，BC＝8，AB＝10. 求证：∠C＝90°.

方法归纳：________________________________________________；

变式练习：

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1. (1)求AB、BC、AC的长；

(2)求证：∠BAC＝90°.

拓展提升：

已知：如图，AB＝4，BD＝12，CD＝13，AC＝3，AB⊥AC于A，

(1)求证：BC⊥BD；

(2)求四边形ABDC的面积.

师生活动：学生独立完成练习，教师给学生足够时间练习，并巡视课堂。

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设计意图：考查勾股定理的逆定理的应用

环节四 课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？

设计意图：通过小结，梳理本节课学习的内容，总结方法。

环节五 作业布置

1. 试判断以如下的a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？

(1)a＝3，b＝4，c＝5；(

) (2)a＝4，b＝6，c＝8；(

) (3)a＝10，b＝8，c＝6；(

) (4)a＝1，b＝2，c＝3；(

) (5)a＝1，b＝2，c＝3

.(

) 2. 如图，在边长为1的正方形网格上有一个△ABC，它的各个

顶点都在格点上. (1)求△ABC的各边长；

(2)△ABC是直角三角形吗？为什么？

3. 一个零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠DBC 都应为直角.现工人师傅已经量得这个零件各边的尺寸，这个零

件符合要求吗？

4. 在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有C处需要爆破，

点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠

站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为安全起见，爆破点

C周围半径250米范围内不得进入，问在爆破时，公路AB段是

否有危险，是否需要暂时封闭？

5.给出一组式子3²+4²=5²，5²+12²=13²，7²+24²=25²，9²+40²=41²，。。。

（1）你能发现关于上述是式子的一些规律吗？

（2）请运用规律，或者通过实验的方法（利用计算器）给出第五个式子。

必做：A、B组学生完成练习1-3题；C组学生完成练习3-5题；

选做：A、B组学生完成对勾股定理及其逆定理进行总结，以思维导图的形式展示。

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C组学生在完成本节作业之后，思考：怎么找出勾股数？比如，已知直角三角形三边均为正数，且两两互质，且知道其中一直角边长为9，求另两条边长？或者已知斜边为61，求两直角边边长？

设计意图：本班级自进入初二年级，两级分化日益加剧，同班级层次分层特别明显，为了让优生吃得饱，差生吃得了，不同层次的学生得到不同的发展。将该练习按知识难度从易到难排布，分层练习，在练习后面加一道拓展开放式练习，让学有余力的学生发展自主探究能力，培养创新能力。

九、板书设计]

勾股定理的逆定理

一、逆命题的概念 三、证明 练习区域

二、勾股定理的逆定理 四、例题

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