4.3一次函数的图象与性质第二课时 公开课

《一次函数的图象和性质》教案

一、教学目标

【知识与技能】

初步了解作函数图象的一般步骤;能熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数及其图象的简单性质;初步了解函数表达式与图象之间的关系。

【过程与方法】

在实际问题的探究过程中，通过对函数解析式的观察，归纳出一次函数的概念。

【情感态度与价值观】

在作图的过程中，体会数学的美，体会数学与实际生活的紧密联系，提高将实际问题抽象为函数模型的能力。

二、教学重难点

【重点】

一次函数的定义。

【难点】

一次函数定义的产生过程。

三、教学过程

(一)温故知新导入

教师提问，什么是正比例函数?写下几个正比例函数的解析式?就其中的一个y=2x作出它的图象。

(二)探究新知

学生自主学习教材画出y=2x的图象。小组合作讨论y =-2x+1的图象该如何做?

追问1：y=2x和y =-2x+1的图象相同吗?如何借用正比例函数的图像来描出一次函数的图像? 师生互动，学生合作讨论作出一次函数的图象：根据定义，需要在直角坐标系中描出许多点，因此我们应先计算这些点的横、纵坐标，即x与对应的y的值。我们可借助一个表格来列出每一对x，y的值。因为一次函数的自变量X可以取一切实数，所以X一般在0附近取值。

解：列表：

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。

连线：把这些点依次连接起来，得到y =-2x+1图象(如图)它是一条直线。

教师布置任务作出y=3x+1的图象。

追问2：回顾刚才的作图过程，经历了几个步骤? 师生互动：作函数图象的一般步骤是列表、描点、连线。今后我们可以用这个方法去作出更多函数的图象，从刚才同学们作出的一次函数的图象中我们可以观察到一次函数图象是一条直线。在所作的图象上取几个点，找出它们的横、纵坐标，验证它们是否都满足关系：y= −2x+1，y=3x+1上。

追问3：以上函数解析式有哪些共同点? 师生活动：学生自由发言，表达自己的看法，教师适时引导。总结学生的发现：上述这些函数解析式中，因变量都可以写成自变量与常数的积，和另一个常数的和。在这里我们把自变量的系数看作k，常数项看作b。因此得到一次函数定义。

一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数

对应练习，例1，判断函数y=-8x、y=-8/x、y=5x2+6、y=0.5x-1中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数。

追问4：一次函数

y=kx+b的图象有什么特点? 学生自主讨论，教师以PPT的形式总结

教师点评：作一次函数图象时，通常选取的两点比较特殊，即为一次函数和X轴、y轴的交点，在列表计算时，分别令X=0，y=0就可计算出这两点的坐标。正比例函数当X=0时，y=0，即与x、y铀的交点重合于原点。因此做正比例函数的图象时，只需再任取一点，过它与坐标原点作一条直线即可得到正比例函数的图象。从而正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0)的一条直线。

(四)小结作业

小结：你问我答的形式进行回顾本节课的学习，一次函数的图象是一条直线，正比例函数的图象是经过原点的一条直线。在作图时，只需确定直线上两点的位置，就可得到一次函数的图象。一般地，作函数图象的三个步骤是：列表、描点、连线。

作业：课后练习

四、板书设计

五、教学反思

5.4一次函数的图像与性质

教学设计

【教学目标】

1．利用函数图象了解一次函数的性质。

2．会根据自变量的取值范围求一次函数的取值范围；会根据一次函数的取值范围求自变量的取值范围。

3．会利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题，体会函数的应用价值。

4. 在解决问题过程中，体会数形结合思想在解决函数问题中作用，提高利用函数思想探究问题的积极性．

【学习重点】一次函数的性质与数形结合思想

【学习难点】一次函数增减性的理解，一次函数的应用

【教学准备】

多媒体课件，三角板，学生导学稿

【教学过程】

一、创设情境、导入新课

老师来自古镇南浔，乘坐的汽车开始行驶时油箱有油30升，每小时耗油10升，油箱的剩余油量Q（升）关于行驶时间t（小时）的函数解析式是什么？是什么函数？行驶时间超过两小时，油箱中剩余油量在什么范围内？Q=-10t+30 设计意图：采用创设生活问题情境，复习一次函数函数的概念、图象，有利于激发学生学习热情，进一步理解一次函数的概念. 二、观察思考，探索规律

请同学们在同一坐标系中画出一次函数y=2x+4和y= -x+4的图象。

问题1．（1）利用函数图象分析下列问题:对于一次函数y=2x+4，当自变量x的值增大时（自变量的取值由小变大时），函数y的值有什么变化？

结论：一次函数y=2x+4的图象是一条自左向右

上升

（填上升或下降）的直线，且y随x的增大而增大。

（2）对于一次函数y= -x+4，当自变量x的值增大时，函数y的值有什么变化？

结论：一次函数y=-x+4的图象是一条自左向右下降（填上升或下降）的直线，且y随x的增大而减小。

设计意图：通过画出一次函数图象，让所有的学生都能复习一次函数函数的图象与画法，激发学生参与的积极性，同时引导学生学会观察，从图象中发现信息，梳理知识得出函数性质，形成函数问题研究的基本策略：函数概念、函数图象、函数性质、函数应用．

提问：这两个一次函数图象的变化趋势是不一样的，那么这种差别是由什么决定的呢？

请大家再看两个一次函数y= 数y的值有什么变化？

x和y=

x+2的图象，当自变量x的值增大时，函上升和下降的趋势由k的正负决定。

总结一次函数的性质：

对于一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)，当

k>0时，y随着x的增大而增大；当k<0时，y随着x的增大而减小。

小试牛刀

1.设下列两个函数当

x = x1时，y = y1；当x = x

2时，y = y2，用“<”或“>”号填空

对于函数y=7x+1,若x2>x1,则y2___y1

。

对于函数y=-3x-4,若x2___x1,则y2<y1。

2.已知A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数y=-2x+b图象上的三点，用“<”连接y1, y2, y3

为_________ . 3.在一次函数y=(2m+2)x+5中，y随着x的增大而减小，则m是（ ）

(A). M<-1 ( B). M>-1 (C). M=1 (D). M<1 4．对于函数y=-x+6，当1<x<4时，____<y<_____。

设计意图：从基本问题出发，从具体数字到字母，从已知自变量变化范围比较函数值大小，从已知函数值大小范围比较自变量大小，层层深入，不断变式，让学生在具体情境中掌握学会函数值大小比较，学会从特殊到一般的研究方法。

三、拓展探索、尝试运用

问题2．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，

(1)求当2≤y≤5时x的取值范围；

(2)求当x≥1时y的取值范围；

(3) 根据一次函数y=kx+b的图象直接写出关于x的不等式kx+b>2的解。

设计意图：设计利用图象法解不等式，让学生经历观察、发现、比较、抽象的过程，从而更好认识函数、方程、不等式三者间的联系，开阔学生的思维

，体会借助图象，利用数形结合思想解题作用．

四、链接生活、应用建模

问题3．某段时期，广州需要消毒液6吨，北京需要8吨，正好锦州有4吨，成都有10吨，现将这14吨的消毒液进行调配。从锦州到广州的运费为60元/吨，到北京是100元/吨，从成都到广州的运费是35元/吨，到北京的运费是70元/吨。

(1) 设从锦州运到广州x吨，求调运14吨的总运费y与x的函数解析式及自变量x的取值范围，并画出图象。

(2) 求出总运费最低的方案，最低总运费是多少元? 解：设从锦州到广州的量是X吨，则从成都到广州的量是（6-X）吨；从成都到北京的量10-（6-X）=（4+X）吨（X≤4），从锦州到北京的量8-（4+X）=（4-X）吨。

(1) 求调运14吨的总运费Y与X的关系式Y=60X+35*（6-X）+70*（4+X）+100*（4-X）=-5X +890 即Y=-5X +890 因为 X≥0，6-X

≥0 ，4+X≥0，4-X≥0 所以0≤X≤4 （2) 求出总运费最低的方案,最低运费是多少元? Y=-5X +890 因为k=-5<0，可知X越大，Y越小，故取X=4，Y最小为Y=890-5*4=870（元）

调运方案：从锦州调运4吨到广州，从成都调运2吨到广州；从成都调运8吨到北京。

设计意图：函数是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型．设计一次函数应用问题，让学生经历问题情境→建立模型→求解的过程，同时进一步体会数形结合思想的价值. 五、自我评价、反思内化

1. (1)这节课主要学习的内容、方法有哪些？

(2)你还有哪些收获？

2.分享收获

一个性质：

一次函数的性质：增减性(变化规律) 两种思想：1、数形结合思想(以形助数); 2、函数思想

三项注意： 1、自变量取值范围与函数值范围的关系；

2、增减性：

K>0时，x越大y越大；

K<0时，x越大y越小. 3、方程，不等式(数)的问题…

设计意图：有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．教师展示的提炼式归纳起到画龙点睛的作用，也易于学生理解. 六、分层作业，展示自我

必做题：作业本

选做题：

1．已知一次函数

的图象如图所示，当

时，

的取值范围是 ．

2．某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．

（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？

（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？

（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？

设计意图：设置分层作业，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让“不同的人在数学上得到不同的发展”．

设计说明：

在教学设计中力求体现一个原则：以学生为主体原则；突出一种思想：数形结合思想；体现一个价值：数学建模的价值；渗透一个意识：应用建模意识. 1.问题情境生活化.以学生熟悉的行程问题为情境，复习一次函数的概念、图象，有利于激发学生学习热情，体会由数助形的思想. 2.例题设计层次化.例题设计以数形结合的数学思想为主线，以“比较大小、图象解法（不等式）、应用问题”为版块，通过问题串形式，层层深入，步步逼近.促进学生体会一次函数图象的作用与数行结合的思想，加强对函数的本质理解.

3.学生参与的多元化.在设计中调动学生的各种感官参与到学习活动中，让学生在画图、观图、析图过程中体会图象的作用，理解一次函数本质.学生在观察、分析、比较、思考、演算过程中不只是知识技能的掌握，更是思想方法的感悟、思维的碰撞.

《一次函数的图象和性质》教学反思

从这节课的准备来看，针对教学内容从课题的引入、知识的呈现方式、学生的学习活动安排、知识的巩固练习等多方面进行了多次的修改。通过课堂的实际实施感觉上也不是尽善尽美，还有许多令人不满意的地方。究其原因，教师不能就这节课的知识而教这点知识，教师应该通观教材，把握知识的脉络体系，又要站在高于教材的位置统筹安排。这样，教师才能灵活的把握课堂教学。而现在，教师缺乏的正是这一点，还是为了教而教。按部就班，设计的条条框框较多，多了一些稳重，少了一些灵活。而在课堂上，教师面对的是数十名学生，师生之间、生生之间考虑问题的角度、方式要灵活的多、开放的多，有可能教师固定的设计会影响到学生的思维发展。从这一角度讲，教师应在把握知识的基础上。结合学生的表现，灵活多样的处理知识。

学生是学习的主体，学生活动是新教材的一大特点。新教材在知识安排上，往往从实例引入，抽象出数学模型。通过学生的观察、分析、比较、归纳，探究知识的发生、发展、形成的过程，得出结论，并能运用解决实际问题。侧重于学生能力的培养，让学生知道学什么，如何学。因此，教学过程中，如何安排学生的学习活动至关重要，本节课，学生活动设计了三个方面。一是通过画函数图象理解一次函数图象的形状。二是两点法画一次函数的图象。三是探究一次函数的图象与k 、 b 符号的关系。在学生活动中，如何调动学生的积极

性、互动性，提高学生活动的实效性。值得老师们探讨。为了达到上述目的，我结合每个活动，都给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目。如在活动一中，要求学生观察图象的形状，两条直线的位置关系。在活动二中，强调两点法（直线与坐标轴的交点）画直线。在活动三中，探究k 、 b 符号与直线经过的象限与增减性的关系。学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果。

本节课的重点是由一次函数的解析式确定函数图象，研究函数性质。由函数图象的位置判断解析式中k 、 b符号。体现了数学中非常重要地数形结合的思想。这段内容的教学，还是从学生活动出发，从具体的实例研究起，观察图象的位置和性质，在按照k 、 b 的符号分类讨论，使学生建立起数形之间的联系。还要找到数形间的结合点，明确k 的符号决定直线的什么位置， b 的符号又决定了什么。为了加深学生对知识的理解，课上设计了由解析式画函数图象的草图，由草图的位置判断解析式中k 、 b 的符号的练习，收到了一定的效果。

本节课我在练习的处理上，显得比较薄弱。一是时间安排上有些前松后紧，二是题量、题型不是很全面。感觉练习不到位，学生知识落实情况不是很了解。这一环节，今后还应加强。