2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学目标

2.1

向量加法运算及其几何意义

[学习目标]

1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．

知识点一

向量的加法

1．向量加法的定义

定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a. 2．向量求和的法则

→→如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝三角形法则

→→→→b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC

→→→→如图，已知两个不共线向量a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，

平行四边

形法则

→则对角线上的向量AC＝a＋b

思考

如图，已知向量a, b，分别利用三角形法则和平行四边形法则作出向量a＋b.

→→→答案

作法1：在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b.

→→作法2：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，→→→则OC＝OA＋OB＝a＋b.

知识点二

向量的加法和向量的模

(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；

(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；

(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|. 若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 知识点三

向量加法的运算律

交换律

结合律

→思考1

根据下图中的平行四边形ABCD，验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.(注：AB＝a，→AD＝b) a＋b＝b＋a

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

→→→→答案

∵AC＝AB＋BC，∴AC＝a＋b. →→→→∵AC＝AD＋DC，∴AC＝b＋a. ∴a＋b＝b＋a. 思考2

根据下图中的四边形ABCD，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

→→→→→→答案

∵AD＝AC＋CD＝(AB＋BC)＋CD，

→∴AD＝(a＋b)＋c，

→→→→→→又∵AD＝AB＋BD＝AB＋(BC＋CD)，

→∴AD＝a＋(b＋c)，

∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

题型一

向量加法及其运算律

例1

化简：

→→→→→(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC；

→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.

→→→→→解

(1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC. →→→→→→(2)DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB

→→→→→＝(BC＋CD)＋DB＝BD＋DB＝0. →→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA

→→→→→＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA

→→→→＝AC＋CD＋DF＋FA

→→→＝AD＋DF＋FA

→→＝AF＋FA＝0. 反思与感悟

解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．

跟踪训练1

如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．

→→(1)AB＋AD＝________；

→→→(2)AC＋CD＋DO＝________；

→→→(3)AB＋AD＋CD＝________；

→→→(4)AC＋BA＋DA＝________. →→→答案

(1)AC

(2)AO

(3)AD

(4)0 题型二

向量加法在平面几何中的应用

→→→→例2

已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO＝OC，DO＝OB. 求证：四边形ABCD是平行四边形．

→→→→→→证明

AB＝AO＋OB，DC＝DO＋OC，

→→→→→→又∵AO＝OC，OB＝DO，∴AB＝DC. ∴AB＝CD且AB∥DC. ∴四边形ABCD为平行四边形．

反思与感悟

利用向量的加、减法证明平面几何问题：

(1)要注意法则的应用；

(2)要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．

→→解答本题，即证明四边形ABCD为平行四边形，只需证AB＝DC. →→→跟踪训练2

如图所示，在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，试判断四边

形的形状．

→→→解

∵AC＝AB＋AD，

→→→→→→→→→→→→∴DC＝DA＋AC＝DA＋AB＋AD＝DA＋AD＋AB＝AB，即DC＝AB. ∴四边形ABCD为平行四边形．

题型三

向量加法的实际应用

例3

在水流速度为4 3 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．

→→解

如图，设AB表示水流速度，则AC表示船航行的实际速度，作AD綊→BC，则AD即表示船航行的速度．

4 33→→因为|AB|＝4 3，|AC|＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，

123即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°. →所以|AD|＝8 3，∠BAD＝120°. 即船航行的速度为8 3 km/h，方向与水流方向所成角为120°. 反思与感悟

速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．

跟踪训练3

如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

→→解

设AB，BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，

→→则飞机飞行的路程指的是|AB|＋|BC|；

→→→两次飞行的位移的和指的是AB＋BC＝AC. →→依题意，有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600(km)，

又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，

→所以|AC|＝→→|AB|2＋|BC|2＝8002＋8002＝8002(km)．

其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为8002 km，方向为北偏东80°.

向量加法的多边形法则

向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．

→→→——→→如图，即：A1A2＋A2A3＋A3A4＋…

＋An－1An＝A1An. →→——→→或A1A2＋A2A3＋…

＋An－1An＋AnA1＝0. 这是一个极其简单却非常有用的结论．

利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．

→→→→→例4

在正六边形ABCDEF中，AC＋BD＋CE＋DF＋EA＋→FB＝________. →→→→→→解析

AC＋BD＋CE＋DF＋EA＋FB

→→→→→→→→→→→→＝(AB＋BC)＋(BC＋CD)＋(CD＋DE)＋(DE＋EF)＋(EF＋FA)＋(FA＋AB) →→→→→→→→→→→→＝(AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA)＋(BC＋CD＋DE＋EF＋FA＋AB)＝0＋0＝0. 答案

0

1．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为(

) A．30 N

B．60 N

C．90 N

D．120 N 答案

B 2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是(

) →→→A.FD＋DA＋DE＝0 →→→B.AD＋BE＋CF＝0 →→→→C.FD＋DE＋AD＝AB

→→→→D.AD＋EC＋FD＝BD

答案

D →→→→→解析

FD＋DA＋DE＝FA＋DE＝0，

→→→→→→AD＋BE＋CF＝AD＋DF＋FA＝0，

→→→→→→→→FD＋DE＋AD＝FE＋AD＝AD＋DB＝AB，

→→→→→→→AD＋EC＋FD＝AD＋0＝AD＝DB≠BD. 故选D. →→→3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则AB＋BC＋AC的模等于________．

答案

213 →→→→→解析

|AB＋BC＋AC|＝|2AC|＝2|AC|＝213. →→→4．化简：(1)AB＋CD＋BC；

→→→→(2)(MA＋BN)＋(AC＋CB)；

→→→→(3)AB＋(BD＋CA)＋DC. →→→→→→→解

(1)AB＋CD＋BC＝AB＋BC＋CD＝AD. →→→→→→→→→→→(2)(MA＋BN)＋(AC＋CB)＝(MA＋AC)＋(CB＋BN)＝MC＋CN＝MN. →→→→→→→→(3)AB＋(BD＋CA)＋DC＝AB＋BD＋DC＋CA＝0. 5．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC. →→→→求证：AB＋AC＝AP＋AQ. →→→→→→证明

∵AP＝AB＋BP，AQ＝AC＋CQ，

→→→→→→∴AP＋AQ＝AB＋AC＋BP＋CQ. →→又∵BP＝QC且BP与CQ方向相反，

→→∴BP＋CQ＝0，

→→→→→→→→∴AP＋AQ＝AB＋AC，即AB＋AC＝AP＋AQ.

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.

一、选择题

1．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向(

) A．与向量a方向相同

B．与向量a方向相反

C．与向量b方向相同

D．不确定

答案

A 解析

如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．

2．下列等式错误的是(

) A．a＋0＝0＋a＝a

B.AB→＋BC→＋AC→＝0 C.AB→＋BA→＝0 D.CA→＋AC→＝MN→＋NP→＋PM→

答案

B 解析

AB→＋BC→＋AC→＝AC→＋AC→＝2AC→≠0，故B错．

3．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(

) A．a∥b，且a与b方向相同

B．a，b是共线向量且方向相反

C．a＝b

D．a，b无论什么关系均可

答案

A 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC→＋DC→＋BA→等于(

) A.BD→

B.DB→

C.BC→

D.CB→

答案

C 解析

BC→＋DC→＋BA→＝BC→＋(DC→＋BA→)＝BC→＋0＝BC→. 5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB→＋FE→＋CD→|等于(

A．1

B．2 )

C．3

答案

B D．23 →→→→→→→解析

|AB＋FE＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2. →→→→6．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是(

) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|. A．①②

B．①③

C．①③⑤

D．③④⑤

答案

C 解析

a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，故选C. 二、填空题

→→→→7．根据图示填空，其中a＝DC，b＝CO，c＝OB，d＝BA. (1)a＋b＋c＝________；

(2)b＋d＋c＝________. →→答案

(1)DB

(2)CA

→→→→解析

(1)a＋b＋c＝DC＋CO＋OB＝DB. →→→→(2)b＋d＋c＝CO＋BA＋OB＝CA. 8．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．

答案

8 解析

∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8. ∴|a＋b|的最大值为8. →→→9．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝b，BC＝c，则|a＋b＋c|＝________. 答案

22 →→→→→→解析

|a＋b＋c|＝|AB＋AC＋BC|＝|AB＋BC＋AC| →→→＝|AC＋AC|＝2|AC|＝22. →→→10．已知点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝______. 答案

0 解析

如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，

→→→→→则GB＋GC＝GD，GD＋GA＝0，

→→→∴GA＋GB＋GC＝0. 三、解答题

11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．

→→→→→求证：PA＋PB＋PC＋PD＝4PO. →→→→证明

∵PA＋PB＋PC＋PD

→→→→→→→→＝PO＋OA＋PO＋OB＋PO＋OC＋PO＋OD

→→→→→＝4PO＋(OA＋OB＋OC＋OD) →→→→→＝4PO＋(OA＋OC)＋(OB＋OD) →→＝4PO＋0＋0＝4PO. →→→→→∴PA＋PB＋PC＋PD＝4PO. →→12．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，

求|a＋b|. →→解

如图，∵|OA|＝|OB|＝3，

∴四边形OACB为菱形．

连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D. →∵∠AOB＝60°，∴AB＝|OA|＝3. 33∴在Rt△BDC中，CD＝. 233→∴|OC|＝|a＋b|＝×2＝33. 213.如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF. 求证：四边形AECF是平行四边形．

→→→→→→→→证明

AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，因→→→→为FD＝BE，且FD与BE的方向相同，所以FD＝BE，

→→所以AE＝FC，即AE与FC平行且相等，

所以四边形AECF是平行四边形．