阅读与思考 割圆术第二课时教案

《割圆术》教学设计

潮州市金山中学

陈栩林

1教学背景分析和重难点

1.1 教学内容解析

本节课人教A版必修3第一章《算法初步》1.3阅读与思考，虽非普通高中课程标准实验教科书的内容,“阅读与思考”内容以刘徽的“割圆术”为载体,让学生通过了解“割圆术”的基本特点及其中蕴含的递推思想与迭代算法,体会“割圆术”是几何算法阶段计算圆周率的既有效又科学的方法,又让学生感受到计算工具的不断发展,为圆周率的计算乃至整个数学学科的发展带来前所未有的突破.在数学史上,简洁而精确的圆周率求法,曾经是数学家们不懈追求的目标,在不同历史阶段,各个国家的数学家们提出了形形色色的圆周率近似值求法,每一次方法的改进,都在严密性与精确性的角度上体现了重要的数学思想. 1.2 学生学情分析

在深化课改的背景下,现阶段的学生并没有学过如何求圆周率,只有人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容是以刘徽的“割圆术”为载体,通过算法知识来介绍求圆周率,但是在算法的建构方面存在一定的困难,同时对圆周率π的认知基本上停留在能背出小数点后多少位,却不知圆周率π是如何得到的.学生通过课前资料收集和阅读思考,对历史上几种不同的圆周率求法进行课前的初步了解,同时以教材中的“阅读与思考”内容刘徽的“割圆术”作为重点介绍内容,让学生领悟刘徽的割圆术中所蕴含的递推思想及迭代算法.对于刘徽割圆术的掌握,对学生来说是一个挑战,圆内接正多边形的面积公式的递推关系的推导对学生来说是十分困难的. 1.3 教学重难点

根据教学内容解析和学情分析，确定本节课的教学重点和难点如下: 重点:在学生通过课前阅读与课外查阅与研究所了解的有关求圆周率的方法的基础上,详细深入地探究刘徽割圆术的主要内容和思想方法,获得面积递推公式,同时体会其中蕴含的递推思想与迭代算法；利用信息技术软件实现算法和程序的运行. 难点:割圆术中“内外夹逼”的极限思想与算法实现过程中递推关系的建立.

2 教学目标设计

(1)让学生经历从直观感受到严格推理,最后以计算机实现近似值求解的过程,既对相关数学史有所了解,同时让学生体会求解圆周率的历史实质是运算工具的发展史.

(2)理解割圆术对于圆周率估计的完备性与精确性,以及求解过程中所蕴含的递推思想,体会计算机程序迭代算法和割圆术的应用价值. (3)了解求解圆周率的历史,感受数学的文化价值.

3 教学方法

通过问题链实现引导探究，利用PPT、几何画板、程序语句简化版软件辅助教学.

4 教学过程设计

为了达到以上教学目标,在具体教学中,我把这节课分为以下五个阶段:呈现背景→探索方法→历史再现→算法设计→归纳小结，分别从数学史的发展角度,与方法的完备性角度来逐步递进探索. 4.1 呈现背景

学生课前查阅圆周率π的相关知识,自主学习刘徽的割圆术,并相互交流对圆周率的认识，通过在线视频了解刘徽的基本信息和主要贡献。

【教师总结】那圆周率的值到底是多少呢?又是如何得到的呢?在绵延的历史长河中,人们又是怎样“计算”圆周率的呢? 【设计意图】从数学史与数学文化的角度,来引起学生对于圆周率求解方法的兴趣,为割圆术的介绍做好铺垫。

4.2 探索方法

学生通过课前阅读，对割圆术的原理已经有所了解，但具体细节还未理解到位。

刘徽“割圆术”的主要内容为：

(1)圆内接正六边形的边长等于半径，设为1,求S6

22BDADAB(2)作正十二边形，求得正十二边形的边长：

(3)逐步加倍内接正多边形的边数，不断计算面积，得到一列递增的数: S6，S12，S24，…，S2m

(4)作高为余径AB的矩形，面积为2（S2m-Sm）

(5)圆面积S满足不等式：S2m＜S＜2（S2m－Sm）+Sm ；随着m变大，两者越来越接近圆的面积，则得到更精确地近似值. 为克服理解的障碍，设置以下问题：

问题1：刘徽的“割圆术”的主要原理是什么？

【设计意图】先让学生了解割圆术的原理。所谓“割圆术”，是当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”；

此外，圆的内接正多边形每边外有一条余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，这样就可以得到圆面积的上限和下限。最终，以直代曲，无限趋近，内外夹逼. 问题2：“割圆术”是从哪个内接多边形开始的？可以从其他多边形吗？

【设计意图】让学生理解从内接正六边形开始就行割圆的方便之处：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径。其他内接多边形也是可行，最终都可以无限趋近圆. 问题3：如何由内接正六边形的边长求出内接正十二边形的边长？

【设计意图】为边长的递推关系做铺垫. 问题4：作出高为余径AB的矩形，如何求出所有矩形的面积？

【设计意图】内接正多边形面积和矩形面积和超过圆的面积，随着分割越细，面积越接近圆，实现“内外夹逼”. 利用几何画板直观演示“割圆术”：

4.3历史再现

刘徽根据割圆术从圆内接正六边形算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边形，正二十四边形，……以至于正九十六边形每边的长，并且求出正一百九十二边形的面积,得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，化成分数为157. 50

但是刘徽只算到这里就没有继续算，南北朝时期数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求出的范围为：3.1415926<<3.1415927 ，而这需要计算到圆内接正12288边形，所以这是当时世界上算得最精确的数值。但祖冲之是通过什么的方式计算，至今仍是一个谜，据说这些都记录在《缀术》这本书当中，但这本书已经失传. 4.4 算法设计

限于当时计算水平的因素，刘徽计算到正192边形就得到著名的“徽率”，而祖冲之计算到正12288边形得到高精确度的“祖率”。如今，我们可以利用计算机模拟“割圆术”进行计算，方便快捷。那么，如何设计算法，从而设计程序语句呢？

(1)以圆的内接正六边形和内接正十二边形为特例，推导出一般情况下边长之间的递推关系和面积之间的递推关系，借助几何画板，如下：

(2)选用算法结构类型，确定循环体、初始条件和终止条件，并执行

4.5 归纳小结

总结：“割圆术”最主要的数学思想是什么？（以直代曲，无限趋近，内外夹逼）

直到1665年牛顿等人发明微积分,才使π的计算走到了历史转折点,然而追溯建立微积分的先驱人物又当数阿基米德和刘徽,他们提出的割圆术中已相当自觉地运用了“无穷”和“愈来愈接近”等属于微积分的基本概念. 中国古代创造了辉煌的数学成就，在数学发展的历史长河中涌现了许多杰出的数学家。先哲们分析和解决问题的历史背景、内容和方法都值得我们研究。他们的丰功伟绩值得我们崇敬，他们百折不挠的治学精神值得我们学习. 作业：

1. 修改和完善程序语句，实现“割圆术”中“内外夹逼”. 2. 查看相关资料，了解圆周率的发展史和刘徽、祖冲之等数学家的主要贡献

5 教学特点及反思

(1)课前阅读与课内思考紧密结合

本节课紧密结合阅读与思考,突破传统的新授课课堂教学模式.通过课前“阅读”和带动“思考”,再经过“思考”加深“阅读”所获得的知识的理解,既给学生创设了自主探究的平台,又充分挖掘了思维的深度和广度. (2)历史发展与数学进步有效契合

本节课注重圆周率的历史发展，由于时间有限，以割圆术为主要内容，穿越历史，走进古人的智慧探究过程，站在古人的角度思考，做到数学中有历史,历史中有数学；再结合当下所学的算法程序设计，学以致用，体会科技进步带来的快捷。学数学，离不开对数学史的认识，知道源头，才能走得更远. (3)信息技术与课程内容有机整合

通过揭示递推公式与迭代算法之间的关系,设计程序语句，借助计算机中的软件来实现程序,完成对圆周率π的近似值的初步估计,既验证了运用割圆术求解π的近似值的可行性与有效性,又体现了中国古代数学的算法特征.