探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教案2

1.2.1任意角的三角函数（第2课时）——单位圆中的三角函数线

教学目标：

1，

知识与技能：能够正确利用与单位圆有关的有向线段将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。

2，

过程与方法：①能够利用三角函数线比较同名三角函数值的大小；

②能够利用三角函数线解三角不等式

3，

情感、态度和价值观：培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，强化数形结合的思想，发展思维灵活性。

教学重难点：

教学重点：三角函数线的作法及其简单应用；

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，正确地将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来。

教学过程：

复习导入：

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，角的三角函数是怎样定义的？

由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表y示法。

新知探究：

P(x,y)

问题1：如图1，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，则siny,cosx都是正数，你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？

OMx|MP|ysin，|OM|xcos

图1y问题2：如图2，设角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，

则siny,cosx都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？

MOP(x,y)x|MP|ysin，|OM|xcos

图2

我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关，因此一个自然的想法是以坐标轴的方向来规定线段OM、MP的方向，以使它们的取值与点P的坐标联系起来。为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点一个规定为始点，另一个规定为终点，使得线段具有方向性。

当角的终边不在坐标轴上时，以O为始点，M为终点，我们把OM看作具有方向OM与x轴同向，OM的方向为正向，的线段，规定：如果x0，且具有正值x；如果x0，OM与x轴反向，OM的方向为负向，且有负值x.其中x为P点的横坐标。这样，不论哪

一种情况，都有OMxcos. 同理，当角的终边不在坐标轴上时，以M为始点，P为终点，我们把MP看作具有方向的线段，规定：如果y0，MP与y轴同向，MP的方向为正向，且具有正值y；如果y0，MP与y轴反向，MP的方向为负向，且有负值y.其中y为P点的纵坐标。这样，不论哪一种情况，都有MPysin. 像OM、MP这种被看作带有方向的线段叫做有向线段。一般地，有向线段在书写时，起点字母在前，终点字母在后。

cos可分别用有向线于是，问题1和问题2中，当角为第一、三象限角时，sin、段MP、OM表示，即sinMP,cosOM，那么当角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？

所以，当角的终边不在坐标轴上时，角的正弦、余弦都可以用有向线段来表示，那么，如何用有向线段来表示角的正切呢？

问题3：如图3，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为yPTP(x,y)，则tan吗？

y是正数，你能用一条有向线段来表示角的正切xOMAxATytan

xy是负数，此时你能找到哪一条有向线段来表示角xy图3问题4：如图4，设角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为MOP图4P(x,y)，则tanA(1,0)x的正切？

TyATtan

xy是负数，此时如何用有向线段AT来表示角的xyP问题5：如图5，设角为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，则tan正切？

MOAxyATtan

x

问题6：如图6，设角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,y)，T图5yT则tan

y是正数，此时又如何用有向线段AT来表示角的正切？

xyATtan

xMOP图6Ax于是，我们借助单位圆找到了正弦、余弦以及正切函数的几何表示。

新课推进：

一般地，设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交

于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的

终边或其反向延长线交与点T.

y

y

y

T

y

T

P

P

M

M

A

A

A

A

x

x

o

o

x

M

x

oM

o

P

P

T

T

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OMx,MPy，于是有

sinyMP，cosxOM，tanyMPATAT

xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。

思考：当角的终边落在坐标轴上，角的三角函数线含义如何？

当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的正切值不存在。

例题讲解：

例1，作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

（1） 3

（2）5

6

（3）2 3

（4）13

6y图略

例2，.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

（1） sin

如图：sin2424与sin （2）

tan与tan 3535P2P124PMPMsin112235

24tanAT1AT2tan

35M2M1OAT2T1x

三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值，因此，利用三角函数线比较同名三角函数值的大小，直观形象。

例3，求函数y2cosx1的定义域

yP1x|2kx2k,k

33

O1/2x利用三角函数线求定义域或解基本三角不等式的步骤：

P2（1）

先作出取“=”的角（取不到等号，终边画成虚线）；

（2）

利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；

（3）

将图中的角的范围用不等式表示出来，注意终边相同角的关系。

思考：已知02.如何利用三角函数线证明：sintan？

y

T

P

A

o

M

x

课堂小结：

1，三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具；

2，正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A(1,0)；

3，利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想。

作业：

《能力培养与测试》：第2课时

单位圆中的三角函数线；

《课时作业本》：P62课后限时检测（四）