2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示设计意图

《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教学设计

任耀宏

教材分析：

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 4》（人教 A 版）第二章第三节第二

小节（§2.3.2）《平面向量的正交分解及坐标表示》。本节课内容是对平面向量基本定理的进

一步的深入，同时为平面向量的坐标表示奠定了理论基础。 学情分析：

通过三角函数线与平面向量基本定理的学习，学生对向量与数之间的关系有了一定的认

识，已经能感觉到向量是可以用实数进行表示的，教师只需对学生进行适当的引导，让学生

自己去发现最佳的表示方法，感受整个探究过程。

教学目标：

1、知识与技能

进一步熟悉平面向量的基本定理，了解正交分解的概念，理解向量的坐标表示，能利用

基本定理求给定向量的坐标。

2、过程与方法

通过对向量坐标表示的探究，让学生初步体会几何问题代数化的方法，培养学生数形结

合的思想。

3、情感态度与价值观

培养学生勇于探索、刻苦专研的学习品质。

教学重难点：

重点：理解向量坐标表示的定义，并能对已知向量进行正交分解。

难点：能将向量准确分解，并找到其坐标。

教具：

多媒体。

教学过程

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果

，

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量

，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2 (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被

，

，

唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与

轴、

轴方向相同的两个单位向量

、

作为基底.任作一个向量

，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数

、

，使得

…………○1

我们把

叫做向量

的（直角）坐标，记作

…………○2

其中

叫做

在

轴上的坐标，

叫做

在

轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与

相等的向量的坐标也为 . 特别地，

，

， . 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作

，则点

的位置由

唯一确定. 设

，则向量

的坐标

就是点

的坐标；反过来，点

的坐标

也就是向量

的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

（1）

若

，

，则

，

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为

、

，则

即

，同理可得

（2）

若

，

，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

，

，，

（3）若

和实数

，则 . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为

、

，则

，即 三、讲解范例：

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求

的坐标. 例2 已知 =(2，1)，

=(-3，4)，求 + ， - ，3 +4 的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为， 1)，

， 3)， C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由

得D1=(2， 2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得， 0) ，

(x， y)的合例4已知三个力

(3， 4)，

(2，

力 + + = ，求

的坐标. 解：由题设 + + =

得：(3， 4)+ (2，

0) 即：

∴

四、课堂练习：

，1) ， y)=(0，

1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且

，

求P点的坐标

2．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则

=

. 3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)，

C(1， 3)，

D(5， -3) ，

求证：四边形ABCD是梯形. 五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

八、课后记：