2.1.2 向量的几何表示课堂实录【3】

平面向量的实际背景及基本概念

教学目的：

1．了解平面向量的实际背景；

2．掌握向量的几何表示；

3．理解向量的有关概念；

4．逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力和“知识重组”意识和“数形结合”能力。

教学重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。

教学难点：向量的概念和共线向量的概念。

授课类型：新授课

授课方式：讲授式、探究式

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。

教学过程：

一、引入

同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具。其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的。成为理论后又反过来对其它学科起作用。比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系。

二、新授课

（一）向量的物理背景与概念

（提问）请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量？

在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是一个既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大。

我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。

向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。

向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）

（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量）

注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

（二）向量的几何表示

引入：（由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。）

对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。

有向线段：带有方向的线段叫有向线段。（如图）

B终点

我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、

B为终点的有向线段记作AB，起点写在终点的前面。

A起点

已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作AB. 有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。）

向量的表示方法：

几何表示：①用有向线段表示；

字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：AB,CD；

③用字母a、b、c等表示。

问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问）

（①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，

也是不同的有向线段）

向量的长度（或称模）：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模）：记作AB。

零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0。

注意0与0的区别（及书写方法）。

②长度等于1个单位的向量，叫单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。

例1

如图2.1-6，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）

解：AB表示A地至B地的位移，且AB

240km

.

AC表示A地至C地的位移，且AC

300km

. （三）平行向量、共线向量与相等向量

平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量a,b,c平行，记作a//b//c。

abc共线向量定义：

平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

说明：（1）向量a与b相等，记作ab；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。

问题2：两个向量是否可以比较大小？（向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量a、b，ab或ab”这种说法是错误的。）

例2

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D

③若AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形；

④若一个向量的模为0

⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上。

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。

③不正确.④正确.⑤不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同. A B C

评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。

三、练习：

1．下列各量中不是向量的是（ ）

A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度

2.下列说法中错误的是（ ）

．．A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的

3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）

A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点

D.一个单位圆

4．已知非零向量a//b,若非零向量c//a，则c与b必定 . 5．已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定

. 6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA

的中点,则|KL|_______,KL________

参考答案：1.D 2.A 3.D 4.平行 5.

四、小结

：

1．了解平面向量的实际背景；

2．掌握向量的几何表示；

3．理解向量的有关概念。

五、作业

习题2.1相关内容

六、板书设计（略）

6. |NM|

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