2.3.1 变量之间的相关关系第一课时导学案

雷州八中高效课堂数学学科导学稿（学生版）

编号

Sx47 主编人：谭立奇

审稿人：

定稿日期：2018.1.1 协编人： 使用人：高三理科学生

班级： ，组别： ，姓名： ，组内评价： ，教师评价： . 课题：8.12变量间的相关关系、统计案例

目标锁定：

1.通过例1学会关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．

2.通过例2能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，并会利用回归方程估计预测未来

解决一些简单的实际问题。 3.通过例3学会独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．

课型：复习课

课时：2课时

学法指导：高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的基础知识和简单应用．复习时要掌握好回归分析和独立性检验的基本思想、方法和基本公式。 【知识存盘】

【要点梳理】

一、相关关系

(1)相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种________关系．相关关系是一种__________关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．

(2)函数关系是一种______关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

(3)函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．

二、两个变量的线性相关

1．在散点图中，点散布在从 到 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

2．在散点图中，点散布在从 到 的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

3．如果散点图中点的分布从整体上看大致在 ，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．当两个变量之间具有线性相关关系时，称为线性回归分析．用最小二乘法求线性回归方程系数公式

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求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．

3．相关指数

相关指数R2可以用来刻画回归的效果，其计算公式为

.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好．在线性回归中，有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近，仍可以按照求回归直线方程的步骤求得回归直线方程，显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际意义．

四．独立性检验

【自学检测】

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1．有关线性回归的说法，不正确的是(

) A．具有相关关系的两个变量是非确定性关系

B．散点图能直观地反映数据的相关程度

C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系

D．散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强

2．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多少的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．(

) 附：

A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 3.【2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关ˆ4．该班某学生的ˆaˆbxˆ．已知xi225，yi1600，b关系，设其回归直线方程为yi1i11010脚长为24，据此估计其身高为

（A）160 （B）163 （C）166 （D）170

^4．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的回归直线方程为y＝0.8x－155.则实数m的值为(

) x y 196 1 197 3 200 6 203 7 204 m A．8 B．8.2 C．8.4 D．8.5 5．下面是一个2×2列联表

则表中a、b处的值分别为________．

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【合作探究】

题型一

相关关系的判断

例1 (1)(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(

) A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关

(2)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(

)

A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关

题型二

线性回归分析

【例2】（2015新课标Ⅰ理19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

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①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为

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变式2【2017.山西四校联考】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：

年份x 储蓄存款y（千亿元）

2011 2012 2013 2014 5 6 7 8 2015 10 得到下为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，表2：

时间代号t z （Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；

（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？

1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 （附：对于线性回归方程，其中）

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题型三

独立性检验

例3【2017课标II，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（1）

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法

新养殖法

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

（2）

根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

附：n(adbc)2

K(ab)(cd)(ac)(bd)2

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变式3【2017.沈明模拟】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下:

未注射疫苗

注射疫苗

合计

未发病

20 30 50 发病

x y 50 合计

A B 100 现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为(Ⅰ)求列联表中的数据的值; . (Ⅱ)绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效? (Ⅲ)能够有多大把握认为疫苗有效?

0.05 附:

0.01 0.005 0.001 10.828 3.841 6.635 7.879

当堂检测

^1．已知变量x，y呈线性相关关系，线性回归方程为y＝0.5＋2x，则变量x，y是(

) A．线性正相关关系 B．由回归方程无法判断其正负相关

C．线性负相关关系 D．不存在线性相关关系

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2[2015福建]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:

收入x (万元) 支出y (万元) 据上表得回归直线方程8.2 6.2 ,其中8.6 7.5 ,10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 ,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为(

) A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元

3．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝－5x＋150，则下列结论正确的是(

) A．y与x具有正的线性相关关系

B．若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5 C．当销售价格为10元时，销售量为100件

D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右

4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差的平方和m如下表：

r m 甲

0.82 106 乙

0.78 115 丙

0.69 124 丁

0.85 103 ^则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性(

) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5、某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主,饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主.)

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(Ⅰ)根据以上数据完成下列的列联表;

50岁以下

50岁以上

合计

主食蔬菜

主食肉类

合计

(Ⅱ)能否有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析.附:

0.25

1.323 0.15 2.072

0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 7.879 10.828 6、[2017唐山第一次模拟]为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据:

天数t(天) 繁殖个数y(千个) 3 2.5 4 3 5 6 7 4 4.5 6 时,细菌繁殖个数. (1)

求y关于t的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,预测附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: ,

.

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