2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案推荐

2．3.2～2.3.3

平面向量的正交分解及坐标表示

[读教材·填要点]

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．

(2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

[小问题·大思维]

1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？

提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．

2．已知向量OM＝(－1，－2)，M点的坐标与OM的坐标有什么关系？

提示：坐标相同但写法不同；OM＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．

3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？

提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．

4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？

提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．

[研一题]

[例1]

已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．

[自主解答]

由题知B、D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．

设B(x1，y1)，D(x2，y2)．

由三角函数的定义，得

x1＝cos 30°＝∴B31. 2，231，y1＝sin 30°＝，

22

1x2＝cos 120°＝－，

2y2＝sin 120°＝3，

213∴D－，. 22∴AB＝3113. ，，AD＝－，2222[悟一法]

向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．因此，求向量a的坐标，关键是正确求出其起点和终点的坐标．

[通一类]

1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，

(1)求向量OA的坐标；

(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．

解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos 60°＝23，

y＝43sin 60°＝6，即A(23，6)，OA＝(23，6)．

(2)

BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7). [研一题]

[例2]

如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求DF的坐标．

[自主解答]

∵A(7,8)，B(3,5)，C(4，3)，

∴AB＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，

AC＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．

又∵D是BC的中点，

11∴AD＝(AB＋AC)＝(－4－3，－3－5) 2217＝(－7，－8)＝(－，－4)．

22∵M、N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．

1177∴DF＝－FD＝－AD＝－(－，－4)＝(，2)．

2224[悟一法]

1．向量的几种运算体系：

(1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐

标表示下的代数运算．

(2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算．

2．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

[通一类]

2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(

) 13A．－a＋b

2231C.a－b

22

13B.a－b

22 31D．－a＋b

22解析：由题意，设c＝xa＋yb，∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)，

－1＝x＋y，∴∴2＝x－y，

3y＝－2，1x＝，2

13∴c＝a－b. 22答案：B [研一题]

[例3]

已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋tAB. (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．

[自主解答]

(1)

OP＝OA＋tAB＝(1,2)＋t(3,3) ＝(1＋3t,2＋3t)，

2若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－. 31若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－. 31＋3t<0，21若点P在第二象限，则∴－0，

(2)

OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)．

若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB，

3－3t＝1，∴该方程组无解．

3－3t＝2，

故四边形OABP不能成为平行四边形．

保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？

解：由OP＝OA＋tAB得AP＝tAB. ∴当t＝2时，AP＝2AB，B为线段AP的中点．

[悟一法]

1．如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等．当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同．

2．证明一个四边形为平行四边形，可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等．

[通一类]

3．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．

(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标．

(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．

解：(1)由v＝f(u)可得当u＝(x，y)时，有v＝(y,2y－x)＝f(u)，从而f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，

f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．

(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)，

y＝4，x＝3，∴解得

2y－x＝5，y＝4，

即c＝(3,4).

若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求a与b的坐标．

[解]

法一：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则有

m＋n＝1，p＋q＝1，m＋p＝1，n＋q＝0，2222

3解得q＝－2，3n＝2，1m＝p＝，2

3或q＝2，3n＝－2.1m＝p＝，2

13131313故所求向量为a＝(，)，b＝(，－)，或a＝(，－)，b＝(，)．

22222222法二：设a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，则有

cos α＋cos β＝1，

①

sin α＋sin β＝0. ②

1由①②得(1－cos β)2＋sin2β＝1，即cos β＝. 21将cos β＝代入①②得

2

3sin α＝2，3sin β＝－，21cos α＝，2

3或sin α＝－2，3sin β＝2.1cos α＝，2

1313故所求向量为a＝(，)，b＝(，－)，

22221313或a＝(，－)，b＝(，)．

2222法三：设a＝OP＝(m，n)，b＝OR＝(p，q)，OQ＝(1,0)．

由题意有OP＋OR＝OQ. 则四边形OPQR为平行四边形．

又∵|OP|＝|OR|＝|

OQ|＝1，

∴△OPQ，△OQR均为正三角形，

13131313故所求向量为a＝(，)，b＝(，－)或a＝(，－)，b＝(，)．

22222222[点评]

法一利用模的概念和向量的坐标运算，通过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合，解法直观，简洁明了．