2.5.2 向量在物理中的应用举例教学设计和教学实录

2．5 平面向量应用举例

一、教学目标

（一）核心素养

会用平面向量知识解决几何问题、物理问题，体验向量在解决几何问题、物理问题中的工具作用，培养学生的创新精神和数学应用意识，提高应用数学的能力．

（二）学习目标

1．运用向量的有关知识解决平面几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题．

2．通过力的合成与分解、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量概念和运算的认识．

（三）学习重点

理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题．

（四）学习难点

选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）向量方法在几何中的应用：

①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．

②证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．

③求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝abxxyy＝2122122．

2abx1y1x2y2④求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋y2．

（2）向量方法在物理中的应用：

①力、速度、加速度、位移都是向量．

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②力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成．

③动量mν是

数乘向量

．

④功即是力F与所产生位移s的

数量积

．

2．预习自测

（1）在△ABC中，已知A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是（

）

5A．25

B．25

C．35

7D．25 【知识点】平面向量的模长公式．

3→＝5→|＝55．

【解题过程】BC中点为D，AD，∴|AD（,6）（-,5）222→的坐标，再求出模长．

【思路点拨】先求出向量AD【答案】B．

→·→＝OB→·→＝OC→·→，（2）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOBOCOA则点O是△ABC的（

）

A．三个内角的角平分线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条高的交点

【知识点】向量的垂直关系，向量的减法运算．

【数学思想】转化思想．

→·→＝OB→·→．∴(OA→－OC→)·→＝0．∴OB→·→＝0．

【解题过程】∵OAOBOCOBCA∴OB⊥AC．同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为垂心．

→·→＝OB→·→，两边移到同侧，利用向量减法运算，得【思路点拨】将关系式OAOBOC→·→＝0，从而得到OB⊥AC．同理OA⊥BC，OC⊥AB．

到OBCA【答案】D．

（3）用力F推动一物体水平运动s

m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为（

）

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A．|F|·s

B．Fcos θ·s

D．|F|cos θ·s

C．Fsin θ·s

【知识点】向量的内积，物理中功的定义．

【解题过程】WFsFscosFscos．

【思路点拨】利用内积公式可求得结果．

【答案】D．

（4）已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为（

）

A．(9，1)

B．(1，9)

C．(9，0)

D．(0，9) 【知识点】向量加法的坐标运算．

【解题过程】f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，

→＝OA→＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1)．

设合力f的终点为P(x，y)，则OP【思路点拨】直接采用向量加法的坐标运算求解．

【答案】A．

(二)课堂设计

1．知识回顾

（1）平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和．

三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和．

（2）平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

（3）a·b=|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b=0．

2．问题探究

uuur1uuuruuuruuur（1）水渠横断面是四边形ABCD，DCAB，且ADBC，则这个四边形为2等腰梯形．类比几何元素之间的关系，你会想到向量运算之间都有什么关系? （2）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．为什么？

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教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来．

（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标．）

探究一：平面向量解决平面几何中问题的优越性

①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？

图1 ②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？

③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？

活动：

①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．

证明：方法一：如图2．

图2 作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则Rt△ADF≌Rt△BCE．

∴AD＝BC，AF＝BE．

由于AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BE2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BC2．

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BD2＝BF2＋DF2＝(AB－AF)2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AF2＋DF2＝AB2－2AB·AF＋AD2＝AB2－2AB·BE＋BC2．

∴AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2)．

方法二：如图3．

图3 以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系．

设B(a，0)，D(b，c)，则C(a＋b，c)．

∴|AC|2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋2ab＋b2＋c2，

|BD|2＝(a－b)2＋(－c)2＝a2－2ab＋b2＋c2．

∴|AC|2＋|BD|2＝2a2＋2(b2＋c2)＝2(|AB|2＋|AD|2)．

用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系．在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积．通过以下推导学生可以发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便．教学时应引导学生体会向量带来的优越性．因为平行四边形对角线平行且→＝AB→－AD→，AC→＝AB→＋AD→，教师可点拨学生设AB→＝相等，考虑到向量关系DB→＝b，其他线段对应向量用它们表示，涉及长度问题常常考虑向量的数量a，AD→|2与|DB→|2．因此有了方法三．

积，为此，我们计算|AC→→→→→→方法三：设AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB＝a－b，|AB|2＝|a|2，|AD|2＝|b|2．

→|2＝AC→·→＝(a＋b)·∴|ACAC(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝|a|2＋2a·b＋|b|2．

①

→|2＝|a|2－2a·同理|DBb＋|b|2．

②

观察①②两式的特点，我们发现，①＋②得

→|2＋|DB→|2＝2(|a|2＋|b|2)＝2(|AB→|2＋|AD→|2)，

|AC

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即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成．教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系．

探究二：平面几何在物理中的应用

两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．这些问题是为什么？

F1

F2

师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．

分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释．

解：不妨设|F1|=|F2|，

由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

|F1|=|G|2cos2．

通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，由0~90逐渐变大，2

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cos2的值由大逐渐变小，因此，|F1|由小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．

师：请同学们结合刚才这个问题，思考θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少？答：θ=0时，|F1|最小，等于探究三：应用示例

例1．如下图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

G2．

【知识点】向量的加法运算．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】

uvuvuv|v||v1|2|v2|296(km/h)，

d0.5所以，tuv603.1(min)．

|v|96【思路点拨】如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）

本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这时船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了．

【答案】行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．

例2．如图4，YABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与

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AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

图4 【知识点】平面向量在平面几何中的应用．

【数学思想】转化思想，方程思想．

【解题过程】如图4，

→＝a，AD→＝b，AR→＝r，AT→＝t，则AC→＝a＋b．

设AB→与AC→共线，所以我们设r＝n(a＋b)，n∈R．

由于AR1→→→→→又因为EB＝AB－AE＝a－2b，ER与EB共线，

→＝mEB→＝m(a－1b)．

所以我们设ER2→＝AE→＋ER→，所以r＝1b＋m(a－1b)．

因为AR2211因此n(a＋b)＝b＋m(a－b)，

22m－1即(n－m)a＋(n＋2)b＝0．

n－m＝0，由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须m－1n＋2＝0.1→＝1AC→．

解得n＝m＝3．所以AR3→＝1AC→．于是RT→＝1AC→．

同理TC33所以AR＝RT＝TC．

【思路点拨】

为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR、RT、TC的长度，让学生发现AR＝RT＝TC，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR＝RT＝TC这个规律不变，因此猜想AR＝RT＝TC．事实上，由于R、

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T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、→，RT、TC与AC的关系即可．又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断AD→，AT→与AC→之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的AR“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR＝RT＝TC．

【答案】AR＝RT＝TC．

例3．如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BDBE交BC于E，求EC的值．

【知识点】平面向量的运算，在平面几何中的应用．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】

方法一：(基向量法) →＝a，BC→＝b，|a|＝1，|b|＝2．

设BA→＝a＋b．

a·b＝|a||b|cos 60°＝1，BD→＝λBC→＝λb，则AE→＝BE→－BA→＝λb－a．

设BE→·→＝0．

由AE⊥BD，得AEBD即(λb－a)·(a＋b)＝0．

22BE52解得λ＝，∴．

5EC335方法二：以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，

1353根据条件，设B(0，0)，C(2，0)，A，D．

（，）（，）2222

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uuur53uuur13又设E(m，0)，则BD，，

AEm-，．

-2222→·→＝0．

由AE⊥BD，得AEBD5133即m--0，

222244BE52得m＝，∴．

5EC635【思路点拨】利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．

BE2【答案】EC＝3．

同类训练

已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)．

(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．

【知识点】平面几何在物理做功问题中的应用．

【解题过程】

→＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，

(1)AB→＝(3，4)·W1＝F1·AB(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，

→＝(6，－5)·W2＝F2·AB(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J．

→＝(F＋F)·→(2)W＝F·AB12AB

＝[(3,4)+(6,-5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．

∴合力F对质点所做的功为－102 J．

【思路点拨】物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ．其中θ为

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F与s的夹角．

【答案】（1）力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J．（2）合力F对质点所做的功为－102 J．

3．课堂总结

知识梳理

（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

（2）利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．

重难点归纳

用向量知识解决平面几何、物理问题时，要注意数形结合．一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（

）

A．40 N

C．202N

B．102 N

D．103 N

【知识点】向量在力的合成中的应用．

【解题过程】|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝102，

当θ＝120°，由平行四边形法则知：

|F合|＝|F1|＝|F2|＝102 N．

【思路点拨】根据平行四边形法则求解．

【答案】B．

2．共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝

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(2lg5，1)，则共点力对物体做的功W为（

）

A．lg2

B．lg5

C．1

D．2 【知识点】向量坐标运算，向量在物理做功问题中的应用．

【解题过程】F1＋F2＝(1，2lg2)．

∴W＝(F1＋F2)·s＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2．

【思路点拨】运用坐标运算，先求合力，再利用功的公式求解．

【答案】D．

→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB△ABC的形状是（

）

A．等腰三角形

B．直角三角形

D．等边三角形

C．等腰直角三角形

【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．

→－OC→|＝|CB→|＝|AB→－AC→|，

【解题过程】∵|OB→＋OC→－2OA→|＝|AB→＋AC→|，

|OB→－AC→|＝|AB→＋AC→|，

∴|AB∴A，B，C是同一矩形的三个顶点，且∠BAC＝90°．

∴△ABC是直角三角形．

【思路点拨】利用向量运算转化条件，并“翻译”为几何结论，判断三角形形状．

【答案】B．

4．已知点A(3，1)，B(0，0)，C(3，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于→＝λCE→，其中λ等于（

）

E，那么有BCA．2

1B．2

C．－3

1D．－3

【知识点】平面向量共线．

【解题过程】如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，

3|BC|→＝－3CE→．

CE＝3，∴|CE|＝3，∴BC

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【思路点拨】先根据题意，画出图形，数形结合．

【答案】C．

5．如图所示，两根绳子把重1kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．

【知识点】力的合成分解，平面向量在物理中的应用．

【解题过程】设A、B所受的力分别为f1、f2，

10N的重力用f表示，则f1＋f2＝f，以重力的作用点C为f1、f2、f的始点，作右→＝f，CF→＝f，CG→＝f，则∠ECG＝180°图，使CE－150°＝30°，∠FCG＝180°12－120°＝60°．

3→→∴|CE|＝|CG|·cos 30°＝10×2＝53．

1→|＝|CG→|·|CFcos 60°＝10×2＝5．

∴在A处受力为53 N，在B处受力为5 N．

【思路点拨】作出受力分析，结合向量的平行四边形法则求解．

【答案】在A处受力为53 N，在B处受力为5 N．

6．如图所示，已知矩形ABCD，AC是对角线，E是AC的中点，过点E作MN交AD于点M，交BC于点N，试运用向量知识证明AM＝CN．

【知识点】平面向量坐标运算．

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【解题过程】

建立如图所示的直角坐标系，

ab设BC＝a，BA＝b，则C(a，0)，A(0，b)，E(2，2)．

又设M(x2，b)，N(x1，0)，则

→＝(x0)，CN→＝(x－a，0)．

AM2，1→∥EN→，ME→＝(a－x，－b)，EN→＝(x－a，－b)，

∵ME122222abab∴(2－x2)×(－2)－(x1－2)×(－2)＝0．∴x2＝a－x1．

→|＝x2＝|x|＝|a－x|＝|x－a|．

∴|AM2211→|＝(x－a)2＝|x－a|，

而|CN11→|＝|CN→|，即AM＝CN．

∴|AM【思路点拨】图形非常规整，考虑先建系，利用向量的坐标运算求解，简化运算过程．

【答案】略．

能力型

师生共研

7．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

【知识点】平面向量的运算，平面向量在物理中的应用．

【数学思想】数形结合．

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【解题过程】

π设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<2)．则

|f||F|cos θ＝|f|，∴|F|＝cos θ．

∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．

∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．

【思路点拨】根据受力分析，求出绳的拉力为F和水的阻力为f之间的关系式，由此分析浮力的变化情况．

【答案】①③．

8．如图，已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值．

【知识点】向量的坐标运算，平面向量在平面几何中的应用．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】

建立如图所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)，

→＝(0，a)，BA→＝(c，a)，OC→＝(c，0)，BC→＝(2c，0)．

OA因为BB′、CC′都是中线，

→′＝1(BC→＋BA→)＝1[(2c，0)＋(c，a)]＝(3c，a)，

所以BB2222→′＝(－3c，a)．

同理CC2292a2因为BB′⊥CC′，所以－4c＋4＝0，a2＝9c2．

uuuruuura2－c29c2－c24ABAC所以cosA＝uuuruuur＝22＝22＝．

5a＋c9c＋cABAC【思路点拨】考虑利用向量的坐标运算，能很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，然后再利用向量的坐标运算快捷地解决问题．

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4【答案】5．

探究型

多维突破

9．已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF．

【知识点】向量的坐标运算，平面向量在平面几何中的应用．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】

证明：

以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，

→|＝λ，则A(0，1)，P|OP（→＝于是PA（-2222，E，F，

，）（1，）（,0）2222222→＝2，EF．

,1）（-1,-）22222222→|＝∵|PA（-）(1)＝λ2－2λ＋1，

22→|＝λ2－2λ＋1，

同理|EF→|＝|EF→|，∴PA＝EF．

∴|PA2222→·→＝PAEF＋＝0，

（-）（1）（1-）（-）2222→⊥EF→．∴PA⊥EF．

∴PA【思路点拨】根据题意，先作图．分析可知，能很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，然后再利用向量的坐标运算证得结论．

【答案】略．

10．如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a．若长为2a的线段PQ以点A为中点，

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→→→→问：PQ与BC的夹角θ取何值时，BP·CQ的值最大？并求出这个最大值．

【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．

【数学思想】数形结合．

【解题过程】

→⊥AC→，∴AB→·→＝0．

方法一：∵ABAC→＝－AQ→，BP→＝AP→－AB→，CQ→＝AQ→－AC→，

∵AP→·→＝(AP→－AB→)·→－AC→) ∴BPCQ(AQ→·→－AP→·→－AB→·→＋AB→·→

＝APAQACAQAC→·→＋AB→·→＝－a2＋AP→·→－AC→) ＝－a2－APACAP(AB1→→＝－a2＋2PQ·BC＝－a2＋a2cosθ．

→与BC→的方向相同时，BP→·→最大，其最大值为0．

当cosθ＝1，即θ＝0，PQCQ方法二：如下图，

以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB|＝c，|AC|＝b，

则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a．

设点P的坐标为(x，y)，则Q(－x，－y)．

→＝(x－c，y)，CQ→＝(－x，－y－b)，BC→＝(－c，b)，PQ→＝(－2x，－2y)．

∴BP→·→＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by．

∴BPCQ

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uuuruuurcx－byPQBC∵cos＝uuuruuur＝a2，∴cx－by＝a2cosθ．

|PQ||BC|→·→＝－a2＋a2cosθ．

∴BPCQ→→→→当cos＝1，即θ＝0，PQ与BC的方向相同时，BP·CQ最大，其最大值为0．

【思路点拨】利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．

→与BC→的方向相同时，BP→·→最大，其最大值【答案】当cosθ＝1，即θ＝0，PQCQ为0．

自助餐

→＝a，OB→＝b且BC⊥OA，C为垂足，若OC→＝λa，则λ等1．如图，非零向量OA于（

）

a·bA．|a|2

a·bC．|b|2

a·bB．|a||b|

|a||b|D．a·b

【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．

→＝OC→－OB→＝λa－b．

【解题过程】BC→·→＝(λa－b)·∵BC⊥OA，∴BCOAa＝0，

a·b即λa－a·b＝0．∴λ＝|a|2．

2→·→＝(λa－b)·【思路点拨】由

BC⊥OA，得到

BCOAa＝0，然后转化求解λ．

【答案】A．

→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5．则AB→·→＋BC→·→2．已知平面上三点A、B、C满足|ABBCCA

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→→＋CA·AB＝______．

【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．

【解题过程】

34△ABC中，B＝90°，cos A＝5，cos C＝5，

4→·→＝0，BC→·→＝4×∴ABBCCA5×＝－16；

（-）53→·→＝5×CAAB3×()＝－9．

5→·→＋BC→·→＋CA→·→＝－25．

∴ABBCCAAB【思路点拨】根据模长，得出B＝90°，可得到各向量之间的夹角余弦．

【答案】－25 3．一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h．水速为12 km/h，船到达B处所需时间为____________．

【知识点】向量的运算，向量在物理中的应用．

【解题过程】

v实际＝v船＋v水＝v1＋v2

|v1|＝20，|v2|＝12，∴|v|2＝|v1|2－|v2|2＝202－122＝16(km/h)．

0.8∴所需时间t＝16＝0．05(小时)＝3(分钟)．

∴该船到达B处所需的时间为3分钟．

【思路点拨】根据向量运算的平行四边形法则求解．

【答案】3分钟．

4．在风速为75(6－2) km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．

【知识点】向量的运算，向量在物理中的应用．

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【数学思想】数形结合．

【解题过程】

设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞机的飞行速度为vb，

则va＝vb＋v0，且va，vb，v0可构成三角形(如图所示)，

→|＝|v|＝150，|BC→|＝|v|＝75(6－2)，|AC→|＝|v|，

∵|ABa0b作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD＝45°，

→|＝|BE→|＝|EA→|＝752，

∴|CD→|＝|DE→|＋|EA→|＝|CB→|＋|EA→|＝75(6－2)＋752＝756，

∴|DAuuur3CD752从而tan∠CAD＝uuu＝3，∴∠CAD＝30°，

r＝756DA→|＝1502，∴v＝1502 km/h，

∴|ACb∴没有风时飞机的飞行速度为1502 km/h，方向为北偏西60°．

【思路点拨】速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．

【答案】没有风时飞机的飞行速度为1502 km/h，方向为北偏西60°．

5．在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分线的方程．

【知识点】平面向量的坐标运算，直线的方程．

【解题过程】

→＝(3，4)，AC→＝(－8，6)，

ABuuuruuurABAC344317∠A的平分线的一个方向向量为：uuuruuur＝(，)＋(，)＝(，)．

555555ABAC71∵∠A的平分线过点A．∴所求直线方程为－5(x－4)－5(y－1)＝0．

整理得：7x＋y－29＝0．

【思路点拨】直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非

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常有用．

【答案】7x＋y－29＝0．

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