探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学评价实录

必修4 1.3.1正弦函数的图象和性质(1) 一、教学目标：

1．知识目标：

正弦函数的图象

2．能力目标：

(1)会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象

(2)会用五点法画出正弦函数的简图

3．情感目标：

发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系

二、教学重点、难点：

重点：用五点法画正弦曲线

难点：利用单位圆中的正弦线画正弦曲线

三、教学方法：

借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。以讲授法为主。

四、教学过程：

教学

教学内容

环节

复

复习前面所学的正习

弦函数的对应法则、定义引

域、正弦线，诱导公式一入

等内容。

师生互动

设计意图

教师提问：正弦函数的对应法温故知新

则、定义域、正弦线，诱导公式

一分别是什么？

学生回答：正弦函数的对应法则y是；定义域是R；正弦线即把r正弦值几何化；诱导公式一是sin(k360)sin(kZ)

图

象

的

形

成

1．如何画出正弦函数的图象

教师点评：只有明白以上的基本知识，才能为后续的学习提供条件。

1．教师提问：初中学习过的画1．复习初中所学的函数的基本方法是什么？你能描点作图法，进而否使用该方法画出引出如何才能更准确地画出正弦函数ysinx,x[0,2]图象

图象的问题。

学生作图：教师在此过程中引导

学生在列表的过程中比较以度

1

2．学生比较所画图象

3．用正弦线作图象

为单位和以弧度为单位哪一种更简洁，进而描点、连线。该过程中要适时的指点学生并加强学生与学生之间的和讨论和交流。

2．学生相互比较所画的图象，因各自所画图象不尽相同，故产生疑问

教师提出问题：谁画的图象最准确？怎样才能使所画图象更准确？有没有更好的方法？

3．第一步：列表，首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角0,，，63,…，2π的正弦线（这等价于2描点法中的列表）．

第二步：描点。我们把x轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．

第三步：连线。用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

因为sin(xk2)sinx,kZ,所以正弦函数ysinx在x(2,0)，x(2,4)，x(4,6)

时的图象与x(0,2)的形状完全一样，只是位置不同，因此我们把y=sinx，

x∈[0，2π]的图象沿x2

2．交流、置疑

3．准确地画出正弦函数在xR上的图象，但是此方法比较耗时，不太实用。

4．用五点法画正弦函数的简图

轴平移2,4，就可以得到应

用

举

例

归

纳

小

结

布

置

作

业

y=sinx，xR的图象。

4．教师提问：观察图象，你认为在x∈[0，2π]这一区间上，其关键作用的点有几个，分别是什么？

学生回答：这五个点分别是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)

22教师提问：你以后再画正弦函数图象会采取什么办法？

学生回答：画出以上的五点，在用光滑的曲线连结即可。

教师总结：以上方法称为“五点法”，是最常用的画正弦函数图象的方法。

例1．用“五点法”作函学生板演，教师对学生在解题思让学生巩固“五点路和规范性方面进行指导。

法”，记住五点的坐数y1sinx，在[0,2]标。

上的简图

知识：正弦函数图象的画让学生谈一谈本节课的收获并关注学生自主体法

进行反思

验，反思和发表本方法：“五点法”作图

教师归纳

节课的体验和收获

y o x

4．让学生在体验、比较各种方法之后，得出“五点法”

是常见、易用的方法，发展学生归纳概括的能力

层次一：练习A的1、2 作业分两个层次：层次一要求所通过分层作业要求层次二：练习B的1、2 有的学生都要完成；层次二要求学生巩固本节课所

学有余力的学生完成

学内容

3

必修4 1.3.1正弦函数的图象性质(2) 教学目标：

1．知识与技能

（1）理解正弦函数的性质

（2）理解周期函数与最小正周期的意义

2．过程与方法

通过正弦函数的图像，进一步体会数形结合的思想方法。

3．情感、态度与价值观

通过正弦函数性质的学习，培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃。

教学重点：正弦函数的性质

教学难点：正弦函数的周期性

教学方法：引导学生正弦函数的图像，观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。首先由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳正弦函数的性质，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数的性质的全面的理解与认识。

教学过程：

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

为学生认识函数

复习引入

1．

复习ysinx的图像

2．

函数的性质有哪些？

教师提出问题，

学生回答。

ysinx的性质作好准备。

1正弦函数的值域与最值

正弦函数ysinx的图像

性质教学

值域：观察正弦曲线分布在两条平行直线y1和y1

之间，这表明y1,1

最值：

当且仅当

x2k

4 2,kZ时，正弦函数取得最大值1；

教学环节

教学内容

动态演示正弦线的运动：

当且仅当

师生互动

设计意图

x2k2,kZ时，正弦函数取得最大值1；

观察正弦线的变化得：

值域：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度，这表明y1,1

最值：

当角的终边与y轴的正半轴重合时，正弦函数取得最大值1，

即当且仅当

从正弦曲线与正弦线两种途径探索正弦函数的性质，加深对二者的巩固与复习，体会数形结合思想在函数中的作用

x2k2,kZ时，正弦性质教学

5 函数取得最大值1；

当角的终边与y轴的负半轴重合时，正弦函数取得最小值1，

即当且仅当

x2k2,kZ时，正弦函数取得最小值1；

教学环节

教学内容

师生互动

演示前一节所做图象并提出问题(1)：上节课我们研究的正弦曲线和以往的函数图象有什么不同？

正弦图象和图（2）、（3）有什

么相同点和不同点？

如何描述图(1)、图（3）的图象特征

教师结合课件提问，从具体到抽象从特殊到一般。

观察图（1）可知：

设计意图

2正弦函数的周期性

正弦曲线连续不断无限延伸的形状

y

（1）引导学

1232ysinx021232234x

图（1）

性质教学

y135生进入探究,1),(,1),(,1)222的思维场

35sin()sinsin222（2）对比思1111131(,),(,),(,)

维

626262(x0sin(2)sin22



图（2）

图（2）

1 -5 -3 -1 0ysin(2)sin22

sin(x2)sinxsin(x2)sinxsin(x2k)sinx3 5

1 x(kZ)

观察图（3）可知：

图（3）

(5,1),(3,1),(1,1),(1,1),

(3,1),(5,1)f(5)f(3)f(1)

f(1)f(3)f(5)f(x2)f(x)

6

教学环节

教学内容

师生互动

由图（2）的分析可知：当自变量x的值每增加或减少2的整数倍时，正弦函数的值重复出现. 在单位圆中,当角的终边绕原点转动回到原处时,正弦线的数量(长度和符号)不发生变化。

从感性认识向理性认识从过渡最后抽象概括

并渗透三种语言的转化

设计意图

定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，师生共同总结函数周期性的性质教学

使得定义域内的每一个x值，都满足定义。

f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期. 说明：正弦函数是一个周期函数，2k(kZ,且k0)都是它的周期，2是其最小正周期

3正弦函数的奇偶性

7 性质教学

教师提出问题：

1．如何判断函数的奇偶性？

2．正弦函数具有奇偶性吗？

3．如何判断它的奇偶性？

学生回答：

1．

偶函数fxfx

图像关于y轴对称；

奇函数fxfx

图像关于0,0成中心对

教学环节

称。

教学内容

师生互动

2．

正弦函数具有奇偶性。

3．

方法一：由诱导公式

设计意图

教师引导学生从诱导公式、正弦曲线、正弦线三种角度探究正弦函数的奇偶性，温故知新。

从正弦曲线及正弦线双重角度体会正弦函数的单调性，进一步体会三角函数线及正弦曲线的工具性。

正弦函数ysinx的图像

sinxsinx

可知，正弦函数ysinx是奇函数。

方法二：正弦函数ysinx的图像关于原点成中心对称可知，正弦函数ysinx是

奇函数。

方法三：由正弦线知，角x、x的正弦线知，

性质教学

sinxsinx，故正弦函数ysinx是奇函数。

教师引导学生观察正弦曲线在一个周期4正弦函数的单调性

正弦函数ysinx的一个周期内的图像中，如图：

3,的图22像，可以看出：

当x由

2sinx由1增加到1；

3当x由增加到时，22sinx由1减小到1。

增加到时，2x

2

o

3



22sinx

1

o

1

o

1

8

教师根据学生的回答，得出左边的表格，直观体现变化趋势。

教学环节

教学内容

动态演示正弦线的运动：

师生互动

随着正弦线的变化，体会正弦函数的单调性。

学生总结正弦函数的单调性：

单调递增区间：

设计意图

性质教学

2k,2k,kZ22单调递减区间：

例1．设sinxt3,xR，求t的取值范围。

例2．求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：

（1）ysin2x

（2）ysinx2

（3）y(sinx1)2

应用举例

例3．求下列函数的周期

（1）ysin2x

（2）ysin(232k,2k,kZ

22师：例1中体现出什么基础知识？

例2（1）中体现什么基本方法？

例2（2）中为什么sinx与sinx2同时取得最大值？

例2（3）通过观察题目结构可以利用什么方法转化成什么问题？

例3 基本三角函数sinx的最小正周期是什么？怎样利用换元法解决（1）（2）的周期？对一般的函数

使学生巩固掌握正弦函数的性质。

从特殊到一般，类比思维

1x)

26例4．不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：

（1）sin(yAsin(x)(A0,

0,xR)如何求出周期？

18102317)sin()

（2）sin(54归纳小结

布置作业

1．知识：正弦函数的性质。

学生反思本节内容，对知识进2．思想方法：数形结合思想、换元法、类比法。

行总结，教师对思想方法进行提炼。

层次1：43页A中3、5；B中3。

层次2：43页A中4。

让学生学会学习，学会总结。

)sin()；

层次1要求所有学生完成；层使学生进一次2要求中等以上水平完成。

步巩固和应用所学知识。

9

必修4 1.3.1正弦函数的图象性质(3) 一、教学目标

（一）、知识与技能：

1、初步认识振幅、周期、频率、初相的概念，认识正弦型函数；

2、会“五点作图”作正弦型函数的图象。例：y3sinx、y11sinx、ysin2x、ysinx、32y3sinx、y3sin2x等；

333、能够认识以上这些函数与正弦函数ysinx图象的关系，即它们是如何通过正弦函数ysinx图象平移、伸缩而得到；

4、能够根据图象的特征写出正弦型函数的解析式，并能由解析式求出函数的周期、最值等； 5、明确A,,的物理意义，把数学知识用在解决相关的物理等实际问题中的能力。

（二）、过程与方法：

1、通过“五点作图”法，使得学生掌握作三角函数图象的一种一般方法；

2、通过图象变换的学习，培养运用数行结合思想分析、研究问题的能力，以及探究、创新的能力；

3、通过图象的对比，学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析、解决问题；

4、培养逆向思维解决问题的能力；

（三）、情感、态度与价值观：

1、通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；

2、事物之间总是有联系的，通过现象能够看到不同表象背后的共性，培养概括、归纳的思维习惯；

3、培养动与静的辩证关系；

4、渗透数形结合的思想方法。

二、教学重点、难点

重点：“五点作图”法；图象的平移与伸缩变换。

难点：图象的平移与伸缩变换；函数yAsinx与yAsinx的图象的关系。

三、教学方法

问题+资料，引导式教学方法

四、教学过程

教学教学内容

环节

情景1、

放短片---大观览车

引入

师生互动

学生观看短片

老师提出问题：问题1：已知转轮半径为R，转轮距地面最近距离1米，转动的角速为（rad/s），有一人在p0的位置，如图，此时设计意图

将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生建模的能力

利用解析法研究问题的能力

xop0。当经过t秒

10

后，点p0到达点p的位置，求此时此人的距地面高度。（座椅的高度不计）

生：动手解决问题

教师引导归纳：

HRsin(x)R1

概念引出概念

形成

振幅、周期、频率、相位、初相

（幻灯片）函数老师讲解：

如果以转轮轴心为坐标原点建立坐标系，那么，点P位置的纵坐标是培养学生自主学习的能力

yRsin(x)，这种函数我们在前一节见到过：

yAsin(x)，x0,,A0,0表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间TyAsin(x)

我们把这种形式的函数称为正弦型函数。

学生看书44页，第一自然段

2，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动1，称为振T2动的频率；x称为相位；x0时的相位称为初相。

的次数f

11

应用例1、用五点作图法作下列函举例

数一个周期上的图象：

（1）y3sinx

先复习回顾正弦函数（2）ysinx（3）ysin2x



3（4）y3sin2x

3（一半学生完成例1，另一半学生完成例2，最后互相交流）

解：（1）易知，函数y3sinx的周期T2，作x0,2的简图

列表：

X sinx 0 巩固、强化学生

动手作图的能力

ysinx的五点作图法

师：提问

生：回答

师：请同学们用“五点法”

作出下列函数在一个周期

上的简图

培养学生类比、归纳生：动手做图（1）、（4）

的能力

列表

描点

连线（光滑曲线）

（2）、（3）可以利用电脑生成，分别放在一个坐标系中与函数ysinx的图像分别比较。

师：（1）请说出每个函数的最大值、最小值、值域，振幅，周期等；

（2）在同一坐标系中，对比这些函数分别与20 1 3sinx 0 3 描点作图：

y

o



320 0 -1 -3

2

0 0 ysinx图象的关系，观察图像说出它们（例：1y3sinx和ysinx）3分别是由ysinx的图象如何变换得到？

（3）学生总结归纳：

y3sinx,xR的值域是[-3，3]，图象可看作把x 函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）而得到。

师引导归纳：

1、函数yAsinx的值域是A,A，可知A的大小，



12

例2、用五点作图法作下列函数的图象：

（1）y反映曲线yAsinx波动幅度的大小。

2、

一般地，函数

培养学生抽象概括的能力

1sinx

3yAsinx,xR（其（2）ysinx（3）ysin

3中A）0，且A1）的图象，可以看作把函数1x

2ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

完成

（4）学生总结：

11（4）ysinx

323函数ysinx的图3象可看作ysinx曲线上所有点向左平移长度得到。

师引导归纳：

一般地，把函数ysinx的图象上所有的点向左（当个单位30时）或向右（当0时）平移个单位长度，就得到函数。

（5）类似，由学生完成总结ysin2x型

应用例3、如图，是一个按照正弦举例

规律变化的交流电的图象，根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式。

老师给出问题，图象

学生：看图、思考并回答问题

读图、提取信息的能力

13

思维拓展

总结归纳图象变换的一般规律：

由ysinx图象经过怎样的问题：由两条途径得到变化得到y3sin2x

3培养思维的条理性

y3sin2x的图象

3

途径一：

使思维向纵深发展，步骤1----由ysinx

进一步揭示客观事物步骤2-----（沿x轴平移）

的内在规律

步骤3----（

）

步骤4----（

）

得到:函数y3sin2x的图象

3途径二：

步骤1----由ysinx

步骤2-----（所有点的纵坐标不变，横坐标发生变化）

步骤3----（

）

步骤4----（

）

得到:函数y3sin2x的图象

3

归纳知识方面：图象的平移规律；

让学生谈本节课的收获，并小结

进行反思

方法：1、数形结合的思想；

2、由特殊到一般的研究规教师归纳

律

14

层次一：教材49页练习A，作业

T1 （4），T2（3）、（4），习题1-3A T7、T8 层次二：习题1-3B T1、T2、T3、T4

板书

设计

课后

反思

作业分两个层次，第一层次要求所有学生都要完成；第二层次要求学有余力的学生完成。

通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容

15

必修4 1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(1) 一、

教学目标

1、知识与技能目标：理解余弦函数的性质，能正确使用“五点法”“几何法”“图象变换法”画出余弦函数的图象。

2、过程与方法目标：通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。

3、情感、态度与价值观目标：通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

二、

教学重点、难点：

本小结的教学重点是余弦函数的性质与图象，用“五点法”作函数yAcosx的图象，并求这个函数的最大值、最小值、周期及单调区间。

难点是余弦函数的图象与正弦函数的图象之间的关系以及yAcosx的图象画法。

三、

教学方法：

本节教学方法选用类比法，通过与正弦函数的图象与性质的类比得出余弦函数的性质，从而达到温故知新的教学效果。

四、教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复

习

引

入

深入浅出，温故知新。

复习1、正弦函数的图象与性质

师：前面我们学习了正弦函

数的图象与性质，请同学们2、回顾图象平移的有关知识

在下面画出正弦函数的图象并写出性质。

3、画出函数ysinx的生：学生独立完成。

2师：教师正确点拨。

图象

关于图象平移我们常见的有哪些？



4回顾公式sinxcosx

生：学生回答。

2引出函数ycosx的图象

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

16

复

习

引

入

师：教师整理。你能运用

ysinx图象的平移画出函数ysinx的图2象吗？

生：学生试画，教师矫正。

师：sinx?

2

通过类比法，学生会轻松得出余弦函数的性质，从而会增加学生学习的自信心，激发学习的兴趣。

概

念

形

成

由上得出ycosx的图象。

让同学观察图象，通过与函数ysinx类比的方法得出ycosx的性质。由学生独立完成，教师完善

性质：1、定义域：xR

2、值域：y1,1y的最大值为1，最小值为1

3、周期：2

4、奇偶性：偶函数，图象关于y轴对称

5、单调性：

单调减区间：2k,2k1；

单调增区间：2k1,2k1

17

教学环节

巩

固

概

念

教学内容

例1求下列函数的最大值或最小值：

（1）y3cosx1

师生互动

在教师的启发下，尽量由学生完成，最后给出正确的解题步骤。

练习由学生独立完成，大家共同完善正确答案。

设计意图

让学生感知，如何用学的知识去解决问题。

1（2）ycosx3

2（3）y21

21cosx例2判断下列函数的奇偶性：

（1）ycosx2

（2）y=sinxcosx 练习：第53页练习A的1、2题。

复

习

引

入

（1）前面我们用五点法画学生独立画图象，并观察图象，结合前面学过的

依旧引新，类比推理，降低难度，调动学生主动思考，增加自信、成就感。

yAsinx的图象，那么大家能否用五点法画yAsinx的图象性质给出相应结论。

教师设问：

（1）在yAsinx中yAcosx的图象？请画y2cos2x的简图。

振幅=？周期T=？频率f=？4初相=？

（2）yAsinx与（2）类比yAsinx的图象的变化性质，讨论的图象yAcosx的性质。

yAcosx的图象之间有什么关系？

学生回答：

（1）振幅=A

2

1（3）频率f

T（4）初相=

（2）周期T=

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

18

（5）yAcosx可以看作是由

yAsinx向左平移得到。

2

概

念

形

成

yAcosx

（1）振幅A

师：由同学对以上问题的回顾与研究，对于2（2）周期T=

1（3）频率f

T（4）初相=

yAcosx你能得到什么结论？

锻炼学生积极思考、归纳总结的能力

概

念

巩

固

1例3：求函数y2cosx43的周期、振幅、频率、初相。

练习：求下列函数的振幅、周期、初相。

（1）y4cos3x

例3以学生为主，教师为辅。

练习由学生独立完成，教师指导。

对学习的新知识进行检测与巩固。



5（2）y

概

念

深

化

11cosx

274

师：学生思考，利用平移变换，如何将

练习1：下列各题中，两个函数的图象之间有什么关系？

1cosx与ycosx

33（2）ycosx与ycosx

5（1）y(3)ycosx4与ycosx

教学环节

教学内容

师生互动

19

设计意图

（4）ycos2x与3ycosxycos(x)

3ycosx

练习2：求函数ycos2x3

y3cos(2x)3学生思考，教师指导。

根据学生接受程度增删，意在对所学知识有深刻的全面的理解。

y2cos(3x)的单调区4间。

归

纳

小

结

1、知识：a、余弦函数图象与性质；b、yAcosx

的图象与性质。

2、数学思想方法：类比法、数形结合思想。



让学生谈本节课的收获，并进行反思，教师协助归纳。

让学生学会反思、总结、自主学习，重视数学思想方法在研究解决问题中的作用。

布

置

作

业

P53：练习A

P61：1、（2）；2、（2）；

3、（3）；4、（4）；

8、（1）（4）。

作业分两个层次，第一层次要求所有学生都要完成；第二层次要求学有余力的学生完成。

通过分层使学生进一步巩固本节课所学内容。

20

必修4 1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(2) 一、教学目标

1、知识目标

（1）通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象；

（2）借助图象理解正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

2、能力目标

（1）迁移、类比的能力

（2）绘图，观察，类比推理，探索知识。

3、情感目标

（1）渗透数形结合的思想，用数形结合的思想理解和处理问题。

（2）学生养成看问题要从实际出发，尊重客观规律，懂得实践是认知的源泉；发现数学美；体验成功后的喜悦。

二、教学重点、难点

1、教学重点：正切函数的图象及正切函数的主要性质

2、教学难点：利用正切线画出正切函数的图象，并认识到直线x是此图象的两条2渐近线。

3、学好本部分的关键：充分利用图象说明正切函数的特性，通过一定的训练使学生了解图象性质。

三、教学方法

通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象，利用正切线画出正切函数的图象，并认识到直线x是此图象的两条渐近线。借助单位圆的直观，教师可2以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。

四、教学过程

教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

1、复习我们已经研究了的正弦函数、余弦函数的图象和性

质

从已有的知2、复习单位圆的正切线。

教师识出发，发现新3、利用正切函数与正弦、余弦函数存在商数关系，知道正提出提出知。通过对正切复切函数的周期π。

问题，学生线的复习为研习sinxsinx回答。

究正切函数的tanxtanx

引

图象做好准备。

cosxcosx入

研究正切函数的和性质只须研究其一个周期里的图象和性

质即可.那么如何选择这个周期的左右端点呢？类比正弦、余弦

函数图象的画法，你能否画出正切函数的图象呢？

21

概

一、正切函数ytanx的图象

念1、让形学生类比1、根据正切函数的定义域：xkkz，我们常常选择成

正弦、余弦2函数图象,这一周期研究正切函数的图象。

的画法，首22先讨论画正切函数2、做正切函数图象的步骤：

图象的步骤，然后自①作直角坐标系，并在直角坐标系

轴左侧作单位圆．

己动手尝试画出正②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

切函数的图象。

③找横坐标（把

轴上

到

这一段分成8等份）．

④找纵坐标，正切线平移．

⑤连线．

y



x

22

2、教

师通过演

示课件，进根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到一步明确y 正切函数ytanxxR，且xkkz的图象，称“正画图的步2骤，展示一切曲线”

个周期内

正切曲线

是如何得

0 3x 到的。

3

2222

22

三角函数线的主要意义在于用一个圆中的线段直观地展现了三角函数值的变化规律.

正切曲线的作法，主要体现了对应思想和等价转化的思想，要很好地感受.

3、由正切函数的周期性，通过图象的平移，进而得到其它区间内的图象。

要特别注

意观察分可以看出，正切曲线是由通过点k,0,kZ且与y轴析直线2x是2互相平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成。

此图象的

两条渐近二、正切函数的性质 线。

1、

定义域：x|xk,kz，

2

2、

值域：R

k时，tanx

观察：当x从小于kkz，x

22引导k时，tanx。

当x从大于kkz，x学生观察，22共同获得

3、

周期性：T

4、

奇偶性：tanxtanx奇函数。

函数的定义域表明了函数的图象为什么是夹在两条平行线之间的无穷多支曲线组成. 这些平行线都是正切曲线的渐近线

巩固研究函数性质的一般方法：通过图象研究函数的性质。

训练学生观察、分析图形的能力。

5、单调性：在开区间k,kkz内，函数单调22递增。

例1、不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）

与

（2）

与应用举

解：（1）∵例

又

∵

学生自己独立完成，教师适当时候点拨。

；

比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到

的同一单调区间内，利用

的

．

，在

上是增函数

23 单调递增性来解决．

∴

（2）∵

又

∵

，函数

，

是增函数，

∴

即

巩固正切函

数的图象，利用

．

正切函数的图

象求自变量的

取值范围。

例2、用图象解不等式tanx3

（对于基础较好的学生可以改编为：tanx30）

解：利用图象知，所求解为k,kkz

32

关于例3，亦可利用单位圆求解

（对于基研究复合函数础较好的的性质时，要灵例3、求函数ytanx的定义域、值域，并指出它的周期学生可以活运用基本函4提问：数的性质. 性、奇偶性、单调性。

ytanx

解：定义域：x|xR且xk,kz

4例3的变式的4的图象是教学可根据学值域：R 周期为π 非奇非偶函数

如何由生的基础水平ytanx和课堂实际调3在k,k上是增函数。

的图象得节. 44到的？

图象可看变式1：求函数ytanx的定义域、值域，并指出它的作是4ytanx周期性、奇偶性、单调性。

的图象向

24

变式2：求函数ytanx的定义域、值域，并指出它的4左平移4单位）

周期性、奇偶性、单调性。

例4、求函数ytan3x的定义域、值域，并指出它的周期

3

性、奇偶性、单调性。

k5

解：由3xk得x，

32318

k5所求定义域为x|xR,且x,kz



318值域为R，周期T3，是非奇非偶函数。

kk5在区间,kz上是增函数。

318318（1）

的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得

上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

（2）

性质．

从方法和知识等几方面小结，培养学生学会总结的思维习惯，重视数学思想方法在分析和解决问题中的作用。

归纳小

结

定义域

奇偶单调增区

渐近线方值域

周期

对称中心

性

间

程

奇函

数

，

3、数学思想方法：

数形结合的数学思想

类比的思想方法

布P56练习A V1，2，3，4，5 置

作业

25

必修4 1.3.3已知三角函数值求角

(一)

教学目标

1.

知识目标

(1)

理解根据三角函数线和三角函数图象,解决有关已知正、余弦及正切函数值，求角问题。

(2)

初步了解反三角函数符号的来源及其意义。

(3)

正确运用arcsinx，arccosx，arctanx表示角。

2．能力目标

(1)通过已知正弦三角函数值求角，培养学生会用类比的方法得出由余弦值或正切值求角。

(2)通过对解题步骤的分析，掌握有关技巧，提高分析问题，解决问题的能力。

3．情感目标

通过对知识的讲解，使学生了解已知三角函数值求角的过程，培养学生辨证唯物主义的观点。

（二）教学重点、难点

重点是已知三角函数值求角，难点有：根据[0，2]范围确定有已知三角函数值求角；对符号arcsinx，arccosx，arctanx的正确认识；并用符号表示所求的角。

（三）教学方法

本节课采用观察、启发探究、类比的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索、和交流的过程中掌握已知三角函数值求角的过程，会表示给定范围内的角。同时设置适当的练习，加以巩固，深化对知识的理解。

（四）教学过程

教学

环节

教学内容

师生互动

教师运用多媒体展示三角

函数线的作法，

并通过口答形式复习特殊叫的三角函数值。

师：以上我们知道给出角，我们能求出函数

值，今天我们尝试已知三角函数值求对应的角。

设计意图

复

①

三角函数线的作法

习

②

三角函数各周期内简图

引

③

求特殊角的三角函数值

入

共同回顾

点明主题

知

识

的

讲

解

学生思考后…. 教师分析并

作答,利用正弦

且x[，]，求x的取值集合线求角. 22

2问题2：已知sinx，2提问形式让学生

且x[0，2]，求x的取值集合.发现问题1、2的区别,引导2学生如何解决问题

问题3:已知sinx,2

且xR,求x的取值集合.让学生动手,师生共同纠错.

2问题1：已知sinx,2

锻炼学生发现问题,解决问题的能力.

26

结论

一般地:对于正弦函数y=sinx,如果已知函数值y(y[1,1]）,那么在[，]上有唯一的x22值和它对应，记为1(2)回答sinx，23xarcsinysinx，2（1y1，x）sinx0,sinx0.3458等,22

对以上3问题比较,重点分析问题1. (1)从三角函数图象上观察其单调性,一一对应关系.

培养学生归纳总结能力并学会举一反三

x[的值.

,]上的x22

提出问题

问题4：（1）已知cosx2，2x[0，]，求x的值.2,2x[0,2]求x的值.2，2(2)已知cosx(3)已知cosxxR,求x的值.问题5：已知tanx师:能否类比正弦对余弦提出相类似的问题. 生:编题(提醒单调区间)

学生互相讨论并回答

培养学生类比的思想及动手能力

3，且3x（，），求x的值.22

(1)在区间[0，]上，符合

ycosx，

y[1，1]的角x，记为

xarccosy

结（1y1，0x）论

(2)ytanx,yR,且学生总结并做巩固练习

老师点评应注意的问题. 培养学生分析问题的能力

练习`1：求下列各式的值（1）arcsin32,)22则xarctany

x(1（2）arcsin（）22（3）arccos（）23（4）arctan3

27

例1：求适合下列条件的x

（1）sinx0.5736

x[0,2]

2(2)cosx举例2深化

x[0,2](3)tanx3.415x[,2]

培养学生归纳总师生共同分析，

结能力

归纳总结解题步骤

第一步:根据所给三角函数值判定角x所在象限

第二步:如果函数值为正,先求出对应锐角x1;

如果函数值为负,先求出与其绝对值对应的锐角x1

第三步:如果函数值为负,则根据x可能是第几象限的角得出(0,2п)内对应的角,如果是第二象限角,那么可表示为-x!+π,如果它是第三或第四象限角,可表示为x1+π或-x1+π

第四步:如果求出(0,2π)以外对应角,则可以利用终边相同的三角函数值写出结果

师生共同总结-----交流-----完善

引导学生学会自己总结,让学生进一步体会知识形成发展完善的过程

课(1)

请学生回顾本节课学习时的重点问题

小(2)

通过回顾本节课的探索结

学习过程,理解解题方法

布(1)

教材P63页习题1-3.A

置9、10 作(2)

预习总复习内容

业

12小组名单（组长：毛英）

程少华 范灵超 毛英 仝叶梅 李宜君 王晓辉 杨磊 毛强 王振斌 郝俊奎 林燕 谢姗姗

28