复习参考题获奖说课稿

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等. 二、四心与向量的结合

(1)OAOBOC0O是ABC的重心. 证法1:设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03

OAOBOC0yyy(yy)(yy)(yy)023231y13O是ABC的重心. 证法2:如图

AOAOBOC

OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线,且O分AD

为2:1 O是ABC的重心

BOEDC(2)OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心. 证明:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足. OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

同理OABC,OCAB

AEOO为ABC的垂心

(3)设a,b,c是三角形的三条边长,O是ABC的内心

BDCaOAbOBcOC0O为ABC的内心. ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量, cbABAC平分BAC, cbbcABAC),令

AO(abccb证明:1

AObcABAC() abccb化简得(abc)OAbABcAC0

(4)OAOBOCO为ABC的外心.

典型例题: 例1:O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足aOAbOBcOC0

OPOA(ABAC),0,

,则点P的轨迹一定通过ABC的(

) A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

【分析】:如图所示ABC,D、E分别为边BC、AC的中点. AABAC2AD

OPOA2AD

OPOAAP

AP2AD

AP//AD

BDEC点P的轨迹一定通过ABC的重心,即选C.

例2:(03全国理4)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(ABABACAC),0,

,则点P的轨迹一定通过ABC的(

B

) A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

【分析】:ABAC分别为AB、、AC方向上的单位向量, ABAC平分BAC, ABABACAC点P的轨迹一定通过ABC的内心,即选B.

例3:O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA((

) ABABcosBACACcosC),0,

,则点P的轨迹一定通过ABC的2

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

【分析】:如图所示AD垂直BC,BE垂直AC, D、E是垂足. A(ABABcosBABBCABcosBACACcosCACBC)BC

E=

BDCACcosCACBCcosCACcosC

ABBCcosB=ABcosB=BC+BC=0 点P的轨迹一定通过ABC的垂心,即选D.

练习: 1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P,满足PAPBPC0,若实数满足:ABACAP,则的值为(

) A．2

B．3

C．3

D．6 22．若ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,OAOBOC0,则OAOB(

) A．11

B．0

C．1

D．

223．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0,则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是(

) A．0

B．354

C．

D．

2434．ABC的外接圆的圆心为O,若OHOAOBOC,则H是ABC的(

) A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

5．O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,若OABCOB

222CAOCAB,则O是ABC的(

) A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

6．ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OHm(OAOBOC), 则实数m =

3

222

→→→→1ABACABAC→→→7．(06陕西)已知非零向量AB与AC满足(

+

)·BC=0且

·

=

, 则△ABC2→→→→|AB||AC||AB||AC|为(

) A．三边均不相等的三角形

B．直角三角形

C．等腰非等边三角形

D．等边三角形

8．已知ABC三个顶点A、B、C,若ABABACABCBBCCA,则ABC为2(

) A．等腰三角形

B．等腰直角三角形

C．直角三角形

D．既非等腰又非直角三角形

练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C

4