探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期名师教学设计

正弦函数的值域和最值

教学目标：

1、会求函数ysinx在给定区间上的值域问题；

asinxb2、会求函数y的值域问题；

csinxd3、会求函数y＝ɑsin2x＋bsin x＋c的值域问题。

教学重点：三种类型的正弦函数的值域和最值的求法。

教学难点：含有参数的正弦函数的值域和最值的求法。

教学过程：

一、课前练兵

1.填表：

解析式

y＝sin x

y＝cos x图像

xπ2kπ（kZ）时 ymax1；2x2kπ（kZ）时 ymax1；最值

πx2kπ（kZ）时 ymin1；

2x2kπ（kZ）时 ymin1；2.说出下列函数的值域：

1ysinx1，xR2y2sinx3，xR

x3y3sin，xR23

34y，xRsinx2

二、新课讲解

1.求函数yAsinx的值域问题：

【研一题】

2例1.求函数ysinx，x0,的值域。

63解：x 0,

25x，3666121sinx1，即y，12632

变式1.求函数y2sin2x，x0,的值域。

632变式2.求函数y2sinx，x0,的值域。

632变式3.求函数y2asinx，a为常数且a0x0,的值域。

63解：当a0时，ya,2a，当a0时，y2a,a.

【悟一法】

求函数yAsinx在给定区间上的值域问题应由内而外，先由的范伟，再结合图像求出值域（不一定代端点值）

x的范伟求x

【通一类】

变式4.已知函数y2asin2a为常数且a0x0,的最xb，63大值是6，最小值是5，求实数a,b的值。

 当a0时，ymax2ab6当a0时，,b4

yminab5a1解：ymaxab6ymin2ab5a1,b7

综上可知：a=1,b=4或a=-1,b=7 asinxb2.求函数ycsinxd【研一题】

的值域问题：

2sinx7，xR的值域。

例2.求函数ysinx2解：法一(分离常数法):

2sinx73y2sinx2sinx2xR,1sinx1

1sinx23

1113sinx2

313sinx2

3325sinx2所以原函数的值域是：[3,5]

法二(反解法):

2sinx7由y得：y(sinx2)2sinx7sinx2即：（y-2）sinx=7-2y,当y=2时，显然成立；

72y当y≠2时，sinx

y2sinx1

72y72y1，两边平方的：1

y22y2由此可得原函数的值域是：[3,5] asinxb【悟一法】求函数ycsinxd【通一类】

的值域问题：

方法一:分离常数法 方法二:反解法

变式：已知（m-2）sinx+2m-7≥0,在x∈R上恒成立，求实数m的取值范围。

解：（变量分离）msinx22sinx7

sinx210

2sinx7

m5

sinx2max3.求函数y＝ɑsinx＋bsin x＋c的最值问题：

【研一题】

例3.求函数解：令t2xR的最小值。

ysin2x4sinx2，sinx,xR,t1,1

则yt24t2t222

当t1时，ymin1

变式1.求函数解：令txR的最小值。

ysin2x4sinx2，2sinx,xR,t1,1

则yt24t2t22

当t1时，ymin1

变式2.求函数解：令txR的最小值。

ysin2xsinx2，sinx,xR,t1,1

2172则ytt2t42

17

当t时，ymin24【悟一法】

求函数y＝ɑsinx＋bsin x＋c的最值问题令t=sinx,然后换元转化成二次函数的最值问题。

注意t=sinx的范围的确定（不一定是端点值为最值）

【通一类】

变式3.求函数解：令t2a为常数的最小值。

ysin2x2asinx2，2sinx,xR,t1,1

则yt22at2ta2a2

当a1时，ymin2a3

当a1时，ymin2a3

当1a1时，ymin2a2

三、课堂小结

1、求函数yAsinx在给定区间上的值域问题：

的范围，

方法：由内而外，先由x的范伟求x再结合图像求出值域。（不一定代端点值）

asinxb2、求函数ycsinxd的值域问题：

方法一:分离常数法 方法二:反解法

3、求函数y＝ɑsinx＋bsin x＋c的最值问题：

方法：令t=sinx,然后换元转化成二次函数的最值问题

注意t=sinx的范围的确定。（不一定是端点值为最值）

4、求函数2yAcosx和函数y＝ɑcosx＋bcosx＋c的值域问题可

2以通过类比正弦函数解决。