小结教学设计实例

平面向量小结教学设计

2017—2018学年度第

二

学期

科目

授课地点

课 题

数学

公开课类别

3号楼4楼

录像

授课日期

执教者

梅延峰

授课班级

高二（16）班 2018年5月31日第 7节

平面向量小结

1、知识与技能目标：了解本章知识网络结构，进一步系统掌握向量基本概念、运算、重要定理和公式，能进行简单的综合运用。

2、过程与方法目标：通过对知识的归类和重新整合，使学生逐步养成复习教 学 目 标

归纳重组旧知的好习惯。

3、情感态度与价值观目标：认识向量的工具性作用，加强数学的应用意识。

重点：向量及其相关概念、运算、坐标表示、定理公式及综合运用；

重 点、

难 点

难点：向量的概念、向量的运算法则定理的综合运用

“发展教学模式”的教学程式：出示基本知识（内容）——观察、分析、迁移——编构 教学模式、

程序

教学辅

助手段

知识点归纳

一.

向量的基本概念与基本运算

发展的网络、解决“最近发展区”——归纳领悟，形成能力. 多媒体课件

1向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法

AB，a；坐标表示法axiyj(x,y)

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记



作｜a｜

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

知

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝0

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向

量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

识

③单位向量：模为1个单位长度的向量

回

向量a0为单位向量｜a0｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移顾



到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行与

任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为

共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，

现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好新

平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为重

整

合



ab大小相等，方向相同x1x2

(x1,y1)(x2,y2)yy21

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法



设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC

（1）0aa0a；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

（2）

三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

ABBCCD．

PQQRAR，但这时必须“首尾相连”

3向量的减法

①

相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量



记作a,零向量的相反向量仍是零向量



知

识

回

关于相反向量有：

（i）(a)=a；

(ii) a+(a)=(a)+a=0；

(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，

记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）顾

4实数与向量的积：

与

重

新

整

①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；

（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的

方向相反；当0时，a0，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

合

5两个向量共线定理：



向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a

6平面向量的基本定理：



如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一

平面内所有向量的一组基底

7

特别注意: （1）向量的加法与减法是互逆运算

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由

于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行

综合考查，是知识的交汇点

二.

平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位

知

识

向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标

回

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其顾

相对位置有关

与

2平面向量的坐标运算：

重

新

整

合

(1)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

(2)

若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1

(3)

若a=(x,y)，则a=(x, y) (4)

若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10

(5)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2

若ab，则x1x2y1y20

3

向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的

坐标表示和性质，每一种运算的刻划有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

运几何方法

坐标方法

运算性质

算类型

向

1平行四边形法则

abba

ab(x1x2,y1y2)

量

2三角形法则

(ab)ca(bc)

的

知

识

回

顾

与

重

新

整

合

加

法

向

量

的

减

法

向

量

的

乘

法

ABBCAC

三角形法则

ab(x1x2,y1y2)

aba(b)

ABBA

a是一个向量, 满足: >0时,a与a同向; <0时,a与a异向; =0时, a=0

a(x,y)

OBOAAB

(a)()a

()aaa

(ab)ab

a∥bab

向

ab是一个数

量

的

a0或b0时, 数

量

ab=0 积

a0且b0时, abx1x2y1y2

abba

(a)ba(b)(ab)

(ab)cacbc

a2|a|2,|a|x2y2

ab|a||b|cosa,b

|ab||a||b|

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

︱b︱cos

b=︱a︱·

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·

叫做a与b的数量积（或内积）

规定0a0

2向量的投影：︱b︱cos=ab∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值|a|

称为射影

b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积

3数量积的几何意义：

a·

224向量的模与平方的关系：

aaa|a|

5乘法公式成立：

ababaab2bab；

222222a22abb2a2abb

6平面向量数量积的运算律：

知

识

回

顾

与

①交换律成立：abba

②对实数的结合律成立：abababR

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

重

7两个向量的数量积的坐标运算：

新

整

合

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2

8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=

（001800）叫做向量a与b的夹角

cos=cosa,b

abab=x1x2y1y2x1y1x2y22222

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b

10两个非零向量垂直的充要条件：





a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20

探究一：平面向量的概念

例1.下面五个命题：1、所有单位向量相等；2、长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；3、若a,b满足ab且a,b同向，则ab;4、由于0方向不确定，故0与任何向量不平行；5、对于任何向量a,b，必有abab;其中正确命题的序号为（ ）A,1,2,3 B,5 C,3,5 D,1,5例2 给出下列四个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

→＝DC→，则ABCD为平行四边形；

③若AB④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中不正确的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性以及两个向量相等必须满足：

(1)

模相等；(2)方向相同．

探究点二：平面向量的线性运算

[例1]

(1)(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc. 上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

(

)

A．1

B．2

C．3

D．4 例2 (1)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，

→＝1AB→，→＝1AD→，→＝λAC→，F两点，且交其对角线于K，其中AEAFAK则λ的值为(

) 321111A.5

B.4

C.3

D.2

→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，(2)△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝(

) 则AD

1122A.3a－3b

B.3a－3b

3344C.5a－5b

D.5a－5b 注意例2（1）提供有两种解法，用三点共线知识解此题视角独到，方法巧妙。

本题主要考查向量的线性运算．属于基础知识、基本运算的考查．

[例3]

(2013·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|

＝1，则|c|的取值范围是

(

) A．[2－1，2＋1]

C．[1，2＋1]

B．[2－1，2＋2]

D．[1，2＋2] 本题主要考查向量的坐标运算、向量模的几何含义与向量模的最值求解，意在考查考生的转化能力、数形结合思想的运用能力．由于a和b是互相垂直的单位向

量，故可建立坐标系，运用向量的坐标运算求解．又因为已知|c－a－b|＝|c－(a＋b)|

＝1，故可考虑向量模的几何意义．

归纳总结

平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的

积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的终点与起点，导致加法与

运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用加法三角形法则时两个向量减法混淆；错用数乘公式．对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，必须首尾相接，运用减法三角形法则时两个向量必须共起点，否则就要把向量进行

平移，使之符合条件．

探究点三：平面向量的数量积

综合应用举例

1．向量数量积的运算

(1)a·b是一个向量．(

) (2)(a·b)·c＝a·(b·c)．(

) (3)a·b＝0，则a＝0或b＝0.(

) π(4)两个向量的夹角的范围是0，.(

) 2

2．向量数量积的应用

→＝a，AC→＝b，且a·(1)已知△ABC中，BC边最长，ABb>0，则△ABC的形状为钝角三角形．(

) →＝DC→，→·→＝0，(2)在四边形ABCD中，AB且ACBD则四边形ABCD是矩形．(

) 2π(3)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为3，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2大小为19.(

) (4)已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5，1)，则共点力对物体做的功W为2.(

)

例3、1在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB=5.求ABBC,CD;2,若a3,4,b2,1,求a2b2a3b和a+2b。

向量的数量积的运算结果是一个数量，平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法．我们遇到求向量的模时，可先求向量模的平方．

4．(2013·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，

π|x|x，y∈R.若e1，e2的夹角为6，则|b|的最大值等于________．

5．(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量

在

方向上的投影为

(

) 3231532315A.2

B.2

C．－2

D．－2

2π变式题 (1)已知e1，e2是夹角为3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．

(2)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．

若AB

总结：

用平面向量解决平面解析几何问题时，可以用基向量的方法和坐标法，在便于建立直角坐标系的情况下，通过建立平面直角坐标系，使向量的坐标运算更理想一些．解决向量与三角知识的综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算，然后再进一步转化为实数运算(即坐标运算).

1、倡导课前课后探究学习，课堂归纳整理提高整合的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。

2、注重模块知识联系，提高学生对数学的整体认识；通过对知识的整合，使设计理念

学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。

3、注重信息技术与数学课程的整合：现代信息技术的广泛应用正对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现现代信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。恰当运用现代信息技术，提高教学质量。