2.1.2 向量的几何表示第一课时教学实录

2.1.2 向量的几何表示

教学目标：

知识与能力：

理解向量、零向量、向量的模、单位向量的概念；

理解向量的几何表示，会用字母表示向量；

了解平行向量、相等向量的概念及表示法。

过程与方法：

学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决。

情感态度与价值观：

1、有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；

2、努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态；

3、通过实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念。

一．激情导课

思考1：一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地，可以用什么方式表示小船的位移？

思考2：如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？

B终点

A起点

起点、长度、方向

师：对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示……数学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为如何用几何方式表示向量最合适？

解答：对于向量，我们通常用有向线段来表示，用有向线段AB表示向量，向量

AB的大小和方向是如何反映出来的？

线段按一定比例（标度）画出，它的长短(有向线段的长度)表示向量的大小，箭头的指向(有向线段的方向)表示向量的方向。

1

二．民主导学

1.向量的表示

（1）向量的几何表示

对于向量，我们通常用有向线段来表示，用有向线段AB表示向量，向量AB的大小叫做向量的长度(模)。

表示为：|AB|

(2)字母表示法

为了书写的方便，除了用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示外，例如AB，向量也可以用黑体的单个小写字母a，b，c，…，或a，b，c表示，如图。

要注意手写体a，b与印刷体a，b的不同，向量的字母表示法有利于向量的代数运算。

思考4：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

2.两个特殊向量

零向量：模为0的向量，记作0。

单位向量：模为1个单位的向量。

师：单位向量的内涵：单位向量与选取的单位长度有关，如以1cm为1个单位长度，长度为1cm的向量就是单位向量，长度为2cm的向量就不是单位向量；又如以2cm为1个单位长度，则长度为2cm的向量就是单位向量，长度为1cm的向量就不是单位向量。

思考5：怎样理解零向量的方向？怎样理解向量aa？

零向量的方向是任意的，表示非零向量a的单位向量。

思考6: “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗? 有向线段包含起点，方向和长度三个要素，而向量只包含方向和大小（长度）两个要素，也就是说，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，因此，我们用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点。零向量不能看作是有向线段.

例如，在图所示的平行四边形ABCD中，AB与DC表示同一向量，而AB与DC表示不同的有向线段（因为它们的起点不同），但它们都可以表示向量AB（或DC）。

知识运用

2

例1.温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

例2

AB与

BA

是否为同一向量？

例3 有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？是否都平行？

例4______________________________称为向量；常用_________________表示，记为____________，

又可用小写字母表示为____________。

例5把同一平面内所有模不小于2且不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形是______？

思维拓展：平行向量按其方向和长度可分为哪几种情况？

可分为四种情况：

①方向相同，模相等；②方向相同，模不等；③方向相反，模相等；④方向相反，模不等。

三．课堂小结：

平面向量的基本概念

1.向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。

注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可。

2.向量的表示

①用一个小写字母表示向量，如

，

等；

②用有向线段表示向量，以A为起点,B为终点的向量记为， （注意起点写在前面、终点写在后面）

3.向量的模

4零向量

5.单位向量

四．课堂练习：

1.问答问题

（1）平行向量是否一定方向相同？

3

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（6）两个非零向量相等的时候当且仅当什么？

2.

判断

（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量

（2）向量的模是一个正实数

（3）若|a|>|b| ，则a > b

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