阅读与思考 概率与密码名师教学实录

《几

何

概

型》教学设计

郭永帅

教材：人教版《数学》必修3第135页—138页

一、教材分析

本节课选自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修3§3.3节，《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，主要是学习几何概型的特点及其概率的求法. （一）教材的地位与作用：几何概型是区别于古典概型的另一类等可能概型，将研究有限个基本事件过渡到研究无限多个基本事件.通过学习,进一步体会概率的思想及其丰富内涵.感受几何概型在解决实际问题中的作用.

（二）教学目标：

知识与技能：

1、通过具体实例正确理解几何概型的定义及与古典概型的区别；

2、掌握几何概型的概率计算公式并能进行简单的计算与应用. 过程与方法： 1、通过“雷击电话线”和“抛掷黄豆”两个试验感受结果的无限性与等可能性，引入几何概型；

2、通过计算引例中的概率问题，互相交流得出几何概型的计算公式，体验从特殊到一般的思想方法；

3、通过分析具体问题的实际背景对问题进行观察、对比和交流讨论，能找出（画出）全部结果构成的区域以及满足条件的事件所构成的区域，从中领悟类比思想、转化思想、数形结合思想. 情感与态度价值观：在引入以及例题部分充分发挥学生的合作意识和团队精神，认识几何概型在实际生活中的应用，从中体验成功的喜悦. （三）教学重点与难点：

教学重点：理解几何概型的定义，会用公式计算概率；

确定重点依据:根据课标要求及学生在学习中可能会混淆几何概型与古典概

型. 教学难点：1、等可能性的判断及对几何概率模型中基本事件的构成分析；

2、将实际问题转化为几何概型. 确定难点依据:首先判断几何概型，尤其是等可能性比古典概型更难于判断

其次在解决几何概型的问题中学生的最大困难就是建立数学

模型.

1

二、教学设计

教学环节

一、

以

境

激

情

导

入

新知

教学素材

问题1：一条长50米的电话线架于两电线杆之间，其中一个杆子上装有变压器.在暴风雨天气中，电话线遭到雷击的点是随机的.试求雷击点距离变压器不小于20米情况发生的概率.

师生互动

1.教师引导学生从以下几个方面思考：

1）本题中基本事件是指什么？

2）基本事件的总数？

3）满足条件的基本事件个数？

2.学生交流回答；教师板书课题.

设计意图

1.增强数学学习的趣味性，激发学生的学习兴趣；

2.在思考问题的过程中感受基本事件的无限性，发现其与古典概型的不同. 3.自然引入本节课课题—几何概型.

问题2：

如图所示的边长为2的正方形区域内有一个面积为1的心形区域现将一颗豆子随机地扔在正方形内计算它落在阴影部分的概率（不计豆子的面积且豆子都能落在正方形区域内）

定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型

.

1.

教师引导学生从以下几个方面思考：：

1）本题中基本事件是指什么？

2）基本事件的总数？

3）满足条件的基本事件个数？

4）上述两题中基本事件除了无限性外是否还等可能？

2.学生交流讨论，师生共同得出几何概型的特点. 3.教师提问：

那么我们应该如何来计算上述两问题的概率呢？

4.学生交流后回答

2 1.把实际问题抽象成数学模型，是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析的重要一步. 2.紧扣几何概型的特点是公式推导的关键，让学生经历对事物从特殊到一般的认识过程，促使学生的认知结构不断完善.

教学环

节

一、

以

境

激

情

导

入

新知

二、

剖

析

例

题

巩固

深化

5.利用动画演示问题2 计算公式：

若心形所在的位置发生改变或心型的形状发生构成事件A的区域长度改变（面积不变）是否 （面积或体积）P(A)会影响概率的大小

全部结果所构成的区域长度6.学生相互交流得出结 （面积或体积）论

7. 教师给出几何概型的

定义及计算公式并利用两个引例解释几何概型中随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状，位置无关，只与该区域的大小有关.

例１：某人午觉醒来,发现表1.教师提出问题：

1）本题中基本事件停了,他打开收音机,想听电台是指什么？

2）全部结果构成的整点报时,求他等待的时间不区域是什么？

多于10分钟的概率. 3）构成事件的区域是什么？

2.学生计算，教师板书解

题过程. 3.对学生中出现的不同

解法给予表扬和点评.强

调学生注意不管哪种解法都必须满足基本事件

等可能性这个前提.

反馈练习：

学生思考，完成解答. 有一杯1升的水,其中含有1个教师巡堂，及时给予学细菌,用一个小杯从这杯水中生指导. 取出0.1升,求小杯水中含有

这个细菌的概率

3 教学素材

师生互动

设计意图

3.在概念的形成环节中设计了两个不同的引例分别与长度及面积有关，让学生感受不同背景下的几何概型.

4.利用动画增强趣味性和直观性便于学生接受. 求解几何概型的概率，最关键就是分析基本事件的构成以及“测度”的寻找；通过组织学生观察、交流得出结果，完成感性认识到理性认识的转变.强化学生对概念及计算公式的理解.

巩固几何概型的概念和计算公式,感受不同情境下概率的计算.

教学环

节

三、

变式例练

排难

解惑

教学素材

师生互动

设计意图

例２：设关于x的一元二次方1.例2由学生完成，教1.由于我们的学生在解决书上例2时可能会遇到如下两个程x22ax10若a是在区师点评. 2.对于变式训练教师难点： 间[0,2]上任取的一个数求上1）建立数学模型（将可从以下方面做适当引实际问题转化为数述方程有实根的概率. 学问题）

导：

变式训练：例2中，将题目改2）含有二个变量的 1）找出两道题中基本

几何概率问题.故将为关于x的一元二次方程例2换成了学生所熟事件构成的不同点？

悉的一元二次方程x22axb20若a是从 2）利用线性规划的知根的存在性问题作[0,2]上任取的一个数，b是识画出基本事件构成的为背景并且设置同背景下从一个变量从区间

0,2上任取的一个区域. 拓展到两个变量的几何概型问题，形成数，求上述方程有实根的概

梯度分散难点.

率.

（附课本例题：假设你家订了一2.在问题的解决过程份报纸，送报人可能在早上6：30中体验成功的喜悦.

到7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00到8：00之间，问你父亲在离开家前能收到报纸的概率）

四、

归

纳

小

结

自

我

评

价

请同学们阅读课本，回顾本节课的内容，谈谈本节课的收获与困惑.以下方面小结：

学生自由发言，教师为学生排难解惑. 概念·

知识技能：

计算公式

类比思想

·

思想方法：转化思想

数形结合思想

·

情感与价值：认识几何概

型在实际生活中的应用，同

时在解决问题的过程感受

与同伴合作的乐趣

4 1.学生利用教材资源回顾本节课的内容，在自我反思的基础上学会梳理知识，培养归纳总结能力. 2.渗透数学思想方法，提高学生的数学素养.

教学环

节

五、

分

层

作

业

启

迪

升

华

教学素材

师生互动

1、

必做作业：142 A组1、2 1、课

后

完

成.

2、学生课外思考交流2、

选做作业：如图所示，

合作.

在等腰直角三角形3.学生课后合作完成. ABC中，在线段AB4.教师提供多彩的学上取一点***台.

M，求AM

变式训练：若将题目中的在线段AB上取一点M改为过直角顶点C在ABC内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM

3、请同学们以小组为单位上网搜索“蒲丰投针”与“贝特朗奇论”并制作一张数学小报

设计意图

1.巩固概念，落实基础. 2.弹性作业体现同起点不同终点的思想，使不同层次的同学都有所获；同时为下一节“随机数的产生”做准备. 3.对于选作作业能让学生更进一步的体会等可能性这一前提.

4.利用网络搜集更多与课程有关的资源和信息，主动拓展自己的认知领域，感受数学的博大精深. 附板书设计

§３.2几何概型

定义：

计算公式：

例1:

练习

例2:

设计理由：课件并不能代表一切，美观大方的板书重点突出浓缩了教学内容，同时为学生提供了规范的书写.

5

三、教法学法分析

我说课的指导思想为：从理论到实际再回到理论.在教学环节中师生的双边活动可以用以下框架图来表示

学 生

活 动

教 学

流

程

教 师

活 动

创设情景导入新知学法指导优化思维排难解惑巩固深化承上启下留下悬念自我评价更新教法

以

境

激

情

剖

析

例

题

巩

固

深

化

归

纳

小

结

分

层

作

业

感悟体验推理论证应用新知主动质疑巩固答辩互问互检课堂小结自我评价课后反思发现创新在以境激情环节及剖析例题的环节中主要通过几个问题启发学生自主思考采用了启发式的教学方法而学生则通过观察、交流得出结果体现了探索发现式的学习方法；在师生共同总结规律后学生的学习方式又以接受式为主；在巩固深化环节中的例2通过设置变式、多媒体展示等教学手段采用了讨论式与探究式并存的教学方法，学生则进行相应的自主探索、同伴交流等多样化的学习方式.

最后通过本节课的学习结合教学目标，从知识、能力、情感三方面预测可能会出现以下情况：

1.

学生能理解几何概型的特点及定义，并能运用计算公式进行计算；在数学建模方面，估计又少部分学生会有一定的困惑，需要以后的教学中引导学生多参与. 2.

学生能领悟一些基本的数学思想与方法，但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对有些问题的认识会比周全，如“基本事件发生的等可能性”的理解可能不到位.良好的数学素养有待于进一步的提高. 3.

由于学生层次不同，体验与认识有所不同.对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚的求学态度；对基础较差的学生，由于不善于表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找一些机会让其体验成功.

6