2.5.2 向量在物理中的应用举例教学设计案例

《任意角三角函数》单元教学设计

单元名称：《任意角三角函数》

姓名

学科年级

李海能

高一

工作单位

教材版本

张家界市民族中学

人教A版

单元学习概述

（在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值．在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用．而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位．本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的定义是这节课的重点，能够利用单位圆认识该定义是解决教学重点的关键．

单元教学目标

（1）理解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）借助单位圆理解任意角三角函数的定义。

（3）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出正弦，余弦，正切函数的图象，了解三角函数的周期性。

（4）借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

（5 ）理解同角三角函数的基本关系式：

（6）结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义；能借助计算器或计算机画出22,）上的性质（如单调yAsin(x)的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。

课时划分

任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2课时

任意角的三角函数的定义，诱导公式； 3课时

第三课时：三角函数的图象与性质、函数的图象均为函数图像的研究，6课时

第四课时：三角函数模型的简单应用为三角函数和性质的应用及实际应用 4课时

各课时间的联系

整章内容分为15个课时，任意角与弧度制是对初中的角进行了推广，并引入了弧度制，实现角的度量的实数化；

任意角的三角函数、三角函数的诱导公式为3课时；这3课时在前2课时的基础上定义了任意角三角函数的概念，并推导出了其基本的性质----诱导公式，为后面图像与性质的研究创造了基础

三角函数的图象与性质、函数yAsin(x)的图象共6个课时；这6个课时为本部分的重点，透彻地体现了三角函数这一周期性的模型的各种性质，巩固了研究函数性质的方法，体现了数形结合，。

三角函数模型的简单应用为第四课时，目共4课时的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。教科书在素材的选择上请注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用，引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其它学科的知识解决问题的能力。

课时一

一、教学内容分析

任意角的概念和弧度制

二、教学目标

（１）

通过对生活中相关实例的观察，了解任意角的概念，体会引入任意角的必要性和实际意义；

（２）

能够建立适当的坐标系来讨论任意角，并会判断任意角终边在直角坐标系中的位置；

三、学习者特征分析

1．初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于0～360。结合实际生活中的例子，由教材的“思考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，借助信息技术工具（如：几何画板），让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。学习本节角的概念的推广困难不大。

2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。这里可以借助信息技术工具（如：几何画板），建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相集合。

四、教学策略选择与设计

1．

改进呈现方式，用恰时恰点的问题引导学生学习。

在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教材的问题性和思想性，在知识的发生发展过00

程中，利用“观察”“思考”“探究”等栏目，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题，启发学生的积极主动思维。这样，可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的，不是强加于人的。

2.借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】

（1）角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；

（2）动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。

五、教学重点及难点

本节课的教学重点是：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角、象限角的表示方法及判断。

本节课的教学难点是：把终边相同的角、象限角用集合和数学符号语言正确地表示出来。

六、教学过程

环节

教学内容设计

设计意图

师生双边互动

学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。

教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已00不仅仅局限于0～360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 教师：提出问题

学生：回答问题

教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.学生：举例，再说明所举例的角为什么不00在0～360。

教师：提供教材中的几个例子。

学生：组织讨论

教师：引导学生从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考。

教师：引导学生通过类比正数、负创

设

情

境

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性

组

织

探

究

1．任意角概念的引入

⑴.问题：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？

⑵.举出不在的角的实例，并加以说明。

⑶.你认为刻画这些角的关键是什么？

回顾已有知识

结合具体的实例，感受角的概念推广的必要性

让学生认识到刻画这些角不仅要用旋转量，还要用旋转方向。

⑷.给出任意角的定义

2．象限角

⑴.问题：如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？

（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210?/SPAN>，－150?/SPAN>，－660?/SPAN>）

⑵.给出象限角的概念

3．终边相同的角

探究：将角按照上述的方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB（如图1.1—5），以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？

⑴.在直角坐标系内标出210?/SPAN>，－150?/SPAN>角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关系？328?/SPAN>、－32?/SPAN>、－392?/SPAN>角的终边呢？

⑵.直角坐标系内，角α对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角α终边相同的角？如果存在，如何表示？

4．练习

教科书P6练习第1～2题

例

题

分

析

例1.在0～360范围内，找出与0-95012′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

例2.写出终边在y轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式00-360≤α≤720的元素β写出来. 00

利用新概念重新认识问题。

通过尝试探究，由学生感受没有统一标准时，角的表示不方便。

探究终边相同的角之间的关系，理解并掌握改关系。

从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。

从具体到一般，认识终边相同的角的关系及其表示。由几何位置“终边相同”探讨其代数特征的“统一”。

数和零，定义角的正角、负角和零角的概念。

学生：观察图1.1－3，进一步认识正角、负角。

教师：让学生利用任意角的定义，回答本节开始的“思考”中的表的校正问题。

学生：画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法。

教师：在总结分析合理放法的基础上，给出象限角的概念，并说明在同一坐标系下讨论角的好处。

然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念。

学生：思考每组角的数量关系。

教师：引导学生用含有其中一个角的关系式表示另外的角。

教师：[展示课件]让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现“终边相同”的角的关系，并利用集合表示出来。

学生：口答

教师：通过提问的形式向学生传递答案。

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

教师：分析、板书例1。

学生：自学例2。

教师：指出这两个集合求并集的关000键是把270改写成90+180，然后重新组合。

师生：共同完成例3，注意k的正确取值是关键。

尝

试

练

习

1．教科书P6练习第3～5题

2．补充：

①时针经过3小时20分，则时针转过的角度为

，分针转过的角度为

。

②若角α是第二象限角，则180啊?I>α是第

象限角。

问题：1.你知道角是如何推广的吗？象限角是如何定义的呢？

2.你掌握了与角α终边相同的角的集合的表示方法吗？

3.本节课你体会到哪些数学思想方法？

4．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？

作业与反馈：

1．教科书P10习题1.1A组第1～3题

2．选做题：

①.写出终边在坐标轴上的角的集合。

②写出终边在y=上的角的集合通过练习，掌握象限角的判断、终边相同的角的表示方法。

学生：尝试独立完成练习

教师：巡视，个别辅导

学生：回答结果

教师：给出评价

小

结

与

反

思

让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。

学生：回答，讨论交流，补充

教师：归纳总结，突出重点知识；

解决学生的疑惑点。

评

价

设

计

S,并把中适合不等式00-360≤α<720的元素β写出来. ③若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是

；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是

；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是

。

1．你能举出一些日常生活中的0“大于360的角和负角”的例子吗？与同桌交流，并熟练掌握它们的表示，进一步理解具有相同终边的角的特点．

2．【探究学习】如果角α是第二象限角，那么在哪里？

等角的终边落S关注学生的能力差异。

1．终边相同角的表示；

2．判断角是第几象限角；

3．【发展要求】能用集合和数学语言表示终边满足一定条件的角；

课

外

活

动

在实际生活中体验数学的应用价值

探究学习，激发学习兴趣。

七、教学评价设计

项目

A级（90～100）

认真听课，没有走听课神、讲闲话等现象

情况

发言情况

积极举手发言，并有自己的见解

B级（70～90）

听课比较认真，偶尔有走神、讲闲话等现象

C级（70以下）

个人评价

同学评价

教师评价

听课不认真，走神、

讲闲话现象比较严重

能举手发言，答案很少发言，不表达自中自己的思维较少

己的观点

能与人合作，能接受别人的意见

缺乏与人合作的精神，难以听取别人的意见

合作善于与人合作，虚心学习听取别人的意见

情况

课堂认真迅速地完成作作业业，作业质量高

情况

我这样评价自己：

伙伴眼里的我：

老师的话：

能完成作业，速度不能完成作业

比较慢或质量一般

八、PPT及板书设计

九、新课标的具体体现

新课程更加注重学生的全面发展，个性发展和终身发展的基本规律, 体现了时代对基础性学习的能力、发展性学习能力和创新性学习能力培养的整体要求。体现了学生各种素质在学科课程培养中的有机联系,体现了时代对基础性学习能力、发展性学习能力和创新性学习能力培养的整体要求.还知道了教学目标分析与编写应注意的问题：就教学目标的整体性而言，在制定教学目标时，应将课程目标，单元目标和课时目标有机的结合起来．通过逐层具体化来完成最终的教学目的．就教学目标的灵活性

而言，我的理解是灵活性就是要有针对性．要带着问题进教室．因为学生之间存在着差异，我们要做到因材施教就必须在制定教学目标时关注到最低点和最高点．在教材中依据教学内容，设计教学目标，注意挖掘教学中的一些知识，制定出灵活而富有弹性的、适合学生特点，符合学情的教学目标点到才能面到！就教学目标的层次性而言，我认为教学目标本身就含有一定的层次关系．它是一个由简至难，由低级到高级，由表及里的发展体系．在制定教学目标时要准确的把握，从而进行分析与描述．符合学生的认知规律，符合教学特点。总之，教学目标的分析应与教学内容紧密结合，要在充分了解和分析教学内容本身的基础之上来确定教学目标．通过尝试设计主题单元，我掌握了单元备课先进的理念和设计方法。