探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质第一课时教学实录

课

题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（2）

教学目的：

1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

3掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法

教学重点：正、余弦函数的性质

教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用

授课类型：新授课

教学过程：

一、复习引入：

1．

正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

sinyxMP，cosOM

rr向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = sinx

1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = cosx 3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0)

(3,1)

(,0)

(,-1)

(2,0) 22)

xR的图象相同

2（1）y=cosx,

xR与函数y=sin(x+（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象

2（3）也同样可用五点法作图：y=cosx

x[0,2]的五个点关键是

3,0)

(,-1)

(,0)

(2,1) 224．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式

二、讲解新课：

(1)定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

分别记作：

y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R (2)值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即

－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sinx,x∈R (0,1)

(＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1

2②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1

2①当且仅当x＝而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1

(3)周期性

由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx

(k∈Z)知：

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正

数就叫做f(x)的最小正周期

注意：

1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx

2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

(4)奇偶性

由sin(－x)＝－sinx

cos(－x)＝cosx

可知：y＝sinx为奇函数

y＝cosx为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

(5)单调性

从y＝sinx，x∈［－当x∈［－32,2］的图象上可看出：

，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1

223当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1

22结合上述周期性可知：

＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1223增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小22正弦函数在每一个闭区间［－到－1

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

三、讲解范例：

例1 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么

(1)y＝cosx＋1，x∈R；

(2)y＝sin2x，x∈R

解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝

函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2

(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝由2x＝Z＝得x＝＋2kπ，k∈Z｝

2＋2kπ，

2＋kπ

4

即

使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1

例2求下列函数的定义域：

＋kπ，k∈Z｝

4(1)y＝1+1

(2)y＝cosx

sinx解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1 即x≠3＋2kπ(k∈Z) 23＋2kπ，k∈Z｝

2∴原函数的定义域为｛x｜x≠(2)由cosx≥0得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z) 22∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z) 22例3求函数y＝－cosx的单调区间

解：由y＝－cosx的图象可知：

单调增区间为［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z) 单调减区间为［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z) 例4求下列三角函数的周期：1

y=sin(x+)

32 y=cos2x

3 y=3sin(解：1

令z= x+x+) 25

而

sin(2+z)=sinz

即：f (2+z)=f (z) 3]=f (x+)

∴周期T=2

33f [(x+2)+ 2令z=2x

∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)] 即：f (x+)=f (x)

∴周期T=

3令z=x+

则

25xx4++2)=3sin()=f (x+4)

2525f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(∴周期T=4

四、课堂练习：

1．求下列函数的周期：

1y=sin(2x+)+2cos(3x-)

2 y=|sinx|

3 y=23sinxcosx+2cos2x-1 46)

最小正周期T1=

42) 最小正周期

T2=

63解：1 y1=sin(2x+

y2=2cos(3x-∴T为T1 ,T2的最小公倍数2

∴T=2

2

T=

3 y=3sin2x+cos2x

∴T=

2．

直接写出下列函数的定义域、值域：

1

y=1

2 y=2cosx

1sinx解：1当x2k-2 x[2k+1

kZ时函数有意义，值域:[,+∞] 222] 3, 2k+] (kZ)时有意义, 值域[0, 223．

求下列函数的最值：

1 y=sin(3x+3cosx)-1

2 y=sin2x-4sinx+5

3 y=

43cosx2k=2k+即

x=

(kZ)时ymax=0 42312解：1

当3x+当3x+2k=2k-即x=

(kZ)时ymin=-2 4234

kZ时ymax=10 22 y=(sinx-2)2+1

∴当x=2k-当x=2k-3 y=-1+

kZ时ymin= 2 21

当x=2k+

kZ时

ymax=2 3cosx当x=2k

kZ时

ymin= 1

24．函数y=ksinx+b的最大值为2,

最小值为-4，求k,b的值

解：当k>0时

当k<0时

kb2k3

kb4b1kb2k3（矛盾舍去）

∴k=3

b=-1 kb4b15．求下列函数的定义域：

1 y=3cosx12cos2x

2 y=lg(2sinx+1)+2cosx1

3 y=cos(sinx)

解：1

∵3cosx-1-2cos2x≥0

∴∴定义域为：[2k-1≤cosx≤1

2, 2k+]

(kZ) 33712kx2ksinx66(kZ)

22

1cosx2kx2k2332k6x2k3(kZ)

∴定义域为：(2k,2k](kZ)

63

3

∵cos(sinx)≥0

∴

2k-≤x≤2k+

(kZ) 22s≤y≤1

∵-1≤sinx≤1 ∴xR co1五、小结

正、余弦函数的性质、以及性质的简单应用，解决一些相关问题

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后反思：