复习参考题教学实录

平面向量的数量积（习题课）

高一数学备课组

熊勇

【学习目标】

1、通过对知识点的复习，熟练掌握平面向量的数量积的概念及其坐标表示

2、通过题组一的练习与讲评，会运用平面向量数量积的概念及坐标表示求向量的数量积；

3、通过题组二的练习与讲评，会求一个向量在另一个向量方向上的投影；

3、通过题组三的练习与讲评，掌握平面向量夹角的求法；

4、通过题组四的练习与讲评，掌握平面向量垂直的简单运用；

5、通过对题组的学习，熟练掌握平面向量数量积及其简单运用，进一步规范书写，培养学生数形结合的思想与方法。

【学习重难点】

1、平面向量数量积的概念及其坐标运算；

2、平面向量夹角的概念与运算；

3、平面向量的垂直关系及其运用。

【课型】习题课

【课时】1课时

【过程设计】：

【知识点复习】

1、向量的数量积：ab|a||b|cos

2、投影：|a|cos叫做a在b方向上的投影

3、向量数量积的坐标表示

abx1x2y1y2（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和）

cosab|a||b|x1x2y1y2x12y12x22y22

4、向量垂直的坐标表示

abx1x2y1y20

【题组训练】

题组一：平面向量数量积的概念及坐标运算

→→1、(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝(

) 3A．－a2

23C.a2

4答案

D 3→→→→→→→→→→解析

因为BD·CD＝BD·BA＝(BA＋BC)·BA＝(BA)2＋BC·BA＝a2＋a2cos60°＝a2，故2

3B．－a2

43D.a2

2

选D项．

→→→→→2、如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD＝(

) A．23

C．33

答案

D →→→→→→→→→→→→→→解析

∵AB·AD＝0，∴AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝(AB＋3BD)·AD＝AB·AD＋3BD·AD→→→＝3·|BD||AD|·cos∠ADB＝3|AD|2＝3 π3、已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．

3答案

－6 1解析

由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12－2e1·e221－8e22＝3－2×－8＝－6. 24、若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为(

) 3A．－

2C．2

答案

D 解析

a·b＝3×2＋m×(－1)＝6－m＝0，∴m＝6. 题组二：平面向量投影的计算

11、已知向量a、b的夹角45°，且|a|＝4，(a＋b)·(2a－3b)＝12，则|b|＝______；b在a方2向上的投影等于______．

答案

2；1 3 B.

2 D．6

B．32 D.3 解析

a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝4|b|cos45°＝22|b|，

11又(a＋b)·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2＝16＋2|b|－3|b|2＝12，

22解得|b|＝2或|b|＝－22(舍去)．

3b在a上的投影为|b|cos〈a，b〉＝2cos45°＝1. 2、若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为(

) A.3

C.65

5 B.13

5 D.13

答案

C a·b2×（－4）＋3×765解析

a在b方向上的投影为|a|cosθ＝＝＝.故选C. |b|5（－4）2＋72题组三：平面向量的夹角计算

1、若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(

) A．30°

C．120°

答案

C 1解析

(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0⇒cos〈a，b〉＝－，所以a，b的夹2角为120°，故选C. 2、已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．

答案

π

3

B．60°

D．150°

a·b21解析

由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，所以|a||b|2×22π〈a，b〉＝. 353、已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(

) 2A．30°

C．120°

答案

C 5解析

设c＝(x，y), ∵a＋b＝(－1，－2)，且|a|＝5，|c|＝5，∵(a＋b)·c＝，

25551a·cx＋2y∴(－1，－2)·(x，y)＝.∴－x－2y＝，∴x＋2y＝－.∴cosθ＝＝＝－.

222|a||c|25·52π∵0≤θ≤π，∴θ＝，故选C. 34、已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，

(1)若a与b的夹角是钝角，则λ∈________．

(2)若a与b夹角是锐角，则λ∈________．

106610答案

(1)(，＋∞)

(2)(－∞，－)∪(－，) 3553解析

(1)∵a、b的夹角为钝角，

∴a·b＝(λ，2)·(－3，5)＝－3λ＋10.

10∴－3λ＋10<0，∴λ>.

3 B．60°

D．150°

10又当反向时，λ不存在，∴λ∈(，＋∞)．

3(2)∵a、b夹角为锐角，

∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉>0.

10∴－3λ＋10>0，∴λ<.

36又当λ＝－时，〈a，b〉＝0°不合题意．

56610∴λ的范围为(－∞，－)∪(－，)．

5535、已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a≠±b，则a＋b与a－b的夹角的大小是________．

答案

π

2解析

解法一

(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，

π∴a＋b与a－b的夹角为.

2→解法二

设OA＝a＝(cosα，sinα)，

→OB＝b＝(cosβ，sinβ)，

→→则|OA|＝|OB|＝1.

→→→→∴a＋b与a－b分别表示以OA，OB为邻边的菱形OACB的两条对角线所对应的向量OC，BA，π由菱形的对角线垂直知a＋b与a－b夹角为. 2题组四：平面向量垂直的坐标表示及其运用

1、已知a＝(4，3)，向量b是垂直于a的单位向量，则b等于(

) 3443A．(，)或(，)

55553443C．(，－)或(－，)

5555答案

D 3x＝－，5x＋y＝1，解析

设b＝(x，y)，则有解得或

444x＋3y＝0.y＝－y＝.55223434 B．(，)或(－，－) 55553434 D．(，－)或(－，) 55553x＝，52、已知向量a＝(2，t)，b＝(1，2)，若t＝t1时，a∥b，若t＝t2时，a⊥b，则(

) A．t1＝－4，t2＝－1

C．t1＝4，t2＝－1

答案

C B．t1＝－4，t2＝1 D．t1＝4，t2＝1

3、已知点A(1，2)，B(3，－2)，点P在线段AB的垂直平分线上，则P点的坐标(x，y)应满足的关系式是(

) A．x－2y－2＝0

B．x－2y＋2＝0 C．2x－y－1＝0

D．2x－y＋1＝0 答案

A 解析

设AB中点为D，则D点坐标为(2，0)，

AB→＝(3，－2)－(1，2)＝(2，－4)，

DP→＝(x，y)－(2，0)＝(x－2，y)．

据题意得AB→⊥DP→.

∴(2，－4)·(x－2，y)＝0，∴2(x－2)－4y＝0，

即x－2y－2＝0. 4、已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(

A．(779，3)

B．(－773，－9) C．(73，79)

D．(－79，－73) 答案

D 解析

设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)．

由(c＋a)∥b，得2(2＋n)－(－3)(1＋m)＝0，①

由c⊥(a＋b)，得3m－n＝0.②

m＝－7联立①②，解得9，.∴c＝(－77n＝－79，－3)．

3题组五：平面向量数量积中的参数问题

1、在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，OD是AB边上的高，若AD→＝λAB→，则实数λ等于(

A.a·（b－a）|a－b|2

B.a·（a－b）|a－b|2

C.a·（b－a）|a－b|

D.a·（a－b）|a－b|

答案

B 2、已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(ka－b)＝0，则实数k的值为(

) A.32

B.－32

C．±32

D．1 )

)

答案

A 题组六：向量运算的综合运用

1、设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|. 解析

∵|a|＝|b|＝1，∴|a|2＝|b|2＝1.

又∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝13－12a·b＝32，∴6a·b＝2.

∵|3a＋b|2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝12，∴|3a＋b|＝23. 2、若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求非零向量a，b的夹角的正弦值．

解析

设a，b的夹角为θ.

（2a－b）＝0，（a＋b）·由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得

（a－2b）·（2a＋b）＝0，2b－b2＝0，

①2a＋a·∴2

22a－3a·b－2b＝0.

②55①×3＋②，得a2＝b2.∴|a|2＝|b|2，即|a|＝881由①得，a·b＝b2－2a2＝－|b|2.

41－|b|2410a·b∴cosθ＝＝＝－.

|a||b|1052|b|8310310∴sinθ＝，∴a，b夹角的正弦值为

10105|b|.

83、若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝35，则b＝________．

答案

(－3，6) x＝λ，解析

a与b共线且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)．设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，得y＝－2λ.由|b|＝35得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b＝(－3，6)．

4、若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________．

答案

6 解析

∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，

即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.

于是|a＋b|＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋1＋4＝6. 5、向量a＝(1，3)，b＝(2，4)，c＝a＋λb，d＝λa－b，若c⊥d，则λ的值为(

) 1±52A.

7C．±1

答案

B 5±221 B.

14 D．以上A、B、C均不对

解析

∵c⊥d，∴c·d＝0.∴(a＋λb)·(λa－b)＝0，

即λa2－λb2＋(λ2－1)a·b＝0(*)．

又a2＝1＋9＝10，b2＝4＋16＝20，a·b＝2＋12＝14代入(*)式得7λ2－5λ－7＝0，∴λ＝5±221

14【当堂测评】

1、设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(

) A．(－15，12)

C．－3

B．0 D．－11 2、已知|a|＝3，|b|＝5，且〈a，b〉＝45°，则向量a在向量b上的投影为(

) 32A.

2C．4

B．3 D．5 3、设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(

) A．150°

C．60°

B．120°

D．30°

4、设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．

2π5、已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k3的值为________．