阅读与思考 三角学与天文学课程导入

任意角的三角函数（第一课时）

一、教学目标

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；

2．

经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.

二、重点、难点、关键

重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.

难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数.

关键：如何想到建立直角坐标系；比值的确定性（

α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）. 三、教学理念和方法

教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学

四、教学过程

知识回顾

初中的锐角三角函数是怎么定义的？

探索新知

显然任意角是没法都放进直角三角形的，初中锐角三角函数的定义不适用于任意角了。

1、在前面的课程中已经把角放在直角坐标系中，我们把锐角也放进直角坐标系中来研究一下（怎么放？）

y

r ·

P(x,y) O M （图1）

x

思考：1）、比值会随着锐角

的变化而变化吗？

2）、当锐角

定了之后，比值会随着点P的移动而改变吗？（不会）几何画板演示

3）由1）2）我们知道锐角的三角函数是可以这样定义的，它与终边上点的坐标有关，与点在终边的位置无关（不能是O点），那么这种定义能否推广到任意角呢？（几何画板演示）

2、得出结论：设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P（x，y），P与原点O之间的距离记作r（r=x2y2＞0），那么

；

；

思考：该定义能不能更简洁？（几何画板演示，在单位圆内）

3、任意角的三角函数的定义：

4、定义的推广：设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P（x，y），P与原点O之间的距离记作r（r=x2y2＞0），那么

；

；

思考：上面的三角函数的定义中，谁是自变量？谁是函数值？

它们都是以角（弧度制）为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们称为三角函数。

例1、

求

的正弦、余弦和正切值. 练习：求下列三角函数值

求值

0

例2、

已知角

的终边过点P（-12，5），求

的三个三角函数值。

练习1、已知角

的终边经过点

（-3，-4），求角

的正弦、余弦和正切值 .

2、已知角

的终边过点P（-12a，5a）

，求

的三个三角函数值。

3、已知角

的终边在直线

上，求

的三个三角函数。

5、任意角的三角函数中，谁是自变量（角与实数的对应关系），谁是函数值？他们的定义域是什么？

三角函数

定义域

sinα

R cosα

R tanα

{α|α∈R，且α≠kπ+π/2 }

它们的值域我们在以后的学习中再研究。

6、三角函数值在各象限的符号

例3、求证：当且仅当下列不等式组成立时，角

为第三象限角.

7、诱导公式一、

例4、求下列三角函数值

（1）

(2)

)

练习：确定下列三角函数值的符号

练习：求值cos11713tan19sin63

课堂总结和反思：1、所学内容

2、探索新知的方法

3、数学思想