信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表精品学案

必修四3.2（1）简单的三角恒等变换---证明三角恒等式

陈维杰

【教材分析】

本节主要包括利用已有的十一个公式证明简单的三角恒等式,体会三角恒等变换在数学中的应用，通过例题的证明,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成在三角恒等式的证明过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力。

【教学目标分析】

1、能够用二倍角的余弦公式的变形推导出半角公式，理解“倍，半”是相对的；能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，体会公式的顺用，逆用，变用；提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用。

【教学重难点】

重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.

2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.

难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【教学设计建议】

一、复习

两角和与差的正弦sin 两角和与差的余弦cos 两角和与差的正切tan 二倍角公式：sin2 cos2 tan2 二、新课引入

22由cos2cossin变形可得1cos22cos,1cos22sin，观22察这两个式子，看它们有什么共同点？

从左向右看：角减半，次数翻倍，升幂；

从右向左看：角翻倍，次数减半，降幂。

上述式子中与2有什么关系；那么探究：如果用代替2，三、例题讲解

又与有什么关系呢？

2代替又会得到怎么样的结果。

2

例1．试用cos表示sin2解：由是2，cos22，tan22. 2的二倍角，在二倍角公式cos212sin中用代替2，代替

222即得：cos12sin所以：sin22

21cos……①

22在二倍角公式cos22cos1中用代替2，即得：cos2cos所以：cos22代替

221

21cos……②

2将①②两个等式的左右两边分别相除，即得：

tan221cos

1cos例1的结果还可以表示为：

sin21cos1cos1cos

,cos,tan22221cos所在象限决定。

2sin1cos练习1、（1）求证：tan

21cossinsin2sincos222sin

证明：tan2cos2coscos1cos222sin2sinsin2221cos

又tan2cos2sincossin222sin1cos 所以：tan 21cossin上述公式称为半角公式，符号由强调：上述公式在角翻倍的同时次数不变，这点不同于半角公式。

45且3,求cos,sin,tan的值。

52222453,

解：sin且52（2）sin

353cos且

5422cos21cos21355

25sin21cos213525

2531cos52

tan321cos151探究：代数式变换与三角变换有什么不同呢？

归纳:对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换。

例2、求证：sincos1[sin()sin()]

2分析：等式的证明可以从左证到右，也可以从右证到左，也可以两边忘中间证，还可以等价变形后再证明；但基本原则是由繁到简。所以上述等式如果从右式出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会很容易得出左式。但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sincos呢？想到sin()sincoscossin.从方程角度看这个等式sincos，cossin分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sincos的公式，列出sin()sincoscossin后，cossin为未知数解相应的以sincos，的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果。

121

=[sincoscossinsincoscossin]

2

证明：方法1、右边=[sin()sin()]

=sincos=左边

所以得证。

方法2、

练习2、求证：

sin()sincoscossinsin()sincoscossin将上述两式的左右两边分别相加，得sin()sin()2sincos1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]

21sinsin[cos()cos()]

2上述三个式子以及例2中的式子统称为积化和差公式。

例3、求证：sinsin2sin

2cos2

例3由例2得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与例2没有什么区别.只需做个变换，令，，则2，2,代入例2式即得例3式。

证明：由sin()sin()2sincos……①

设,

那么2,2

将,的值代入①得：

sinsin2sin练习3、求证：

2cos2

sinsin2cos22sin22

coscos2coscoscoscos2sin2sin2上述三个式子以及例3中的式子统称为和差化积公式。

例4、证明：sin2xx(1tanxtan)tanx

2cosx2 x

sinxsin2sinxcosx2左边 证明：

12cosxcosxcosx

2

xxcosxcossinxsin

22sinx

xcosxcos

2

xcos(x)

2sinx

xcosxcos

2

sinx

cosx

tanx

右边

所以得证。

sin(a)sin()tan2练习4、证明：

1222sincostan证明：

所以

得证。

四、小结：

1、半角公式；

2、体会公式的顺用，逆用，变用。

3、证明三角恒等式应强化“化异为同”的意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次左边=sincoscossinsincoscossinsin2cos2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin212sincos2sin2cos21sin2cos2tan21tan2右边

为同次；这就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异，寻找它们的联系，再利用三角公式进行恒等变换，使之达到转化的目的。

五、作业

教材习题3.2 A组1,2 备课参考例习题：

1、

求证：2(cosxsinx)cosxsinx

1sinxcosx1sinx1cosx2、

求证：1sin2

14tan2tan2cos22223、

在ABC中，求证：sinAsinBsinC2sinAsinBcosC

【教学设计感悟】

等式的证明可以从左证到右，也可以从右证到左，也可以两边忘中间证，还可以等价变形后再证明；但基本原则是由繁到简。教学过程主要是引导学生重点观察余弦的二倍角公式，掌握角的倍、半间关系，不断培养学生的观察能力、灵活运用能力；和差化积、积化和差公式的推导，教学中要引导学生观察式子的结构，联系两角和（差）的正弦公式，重点突出换元的思想、化归的思想、方程的思想等。最后，通过引导学生比较所证明的公式，找出异同点，加深记忆，通过总结证明公式的过程，不断提高利用三角变换进行三角函数式的求值、化简、证明的能力。