信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学目标

正切函数的性质与… 1教学目标 教学目标

（一）知识和技能目标：

1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法”

2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用．

（二）过程与方法目标：

1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法；

2、培养学生类比、归纳的数学思想；

3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。

2学情分析 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如：

1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；

2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 3重点难点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。

1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质；

2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=p/2 +kp，kÎZ在确定图象形状时所起的关键作用。

（二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用，

（三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数；

4教学过程 4.1 第一学时

教学活动

活动1【导入】 （一）、复习

问题1：我们是怎样作出正弦函数y=sinx,x∈R的图象的？

五点法。但在正弦函数图像的生成过程时我们是如何讲解的呢？

对，我们是利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即

内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。

问题2：那么正切函数的图象怎样画？与正弦函数图象的画法类似吗？

正弦函数和正切函数都是三角函数，正弦函数的图像是借助了函数的周期性和正弦线，我们是不是可以考虑正切函数的图像也借助于这样的思路画出呢？

问题3：由前面的知识可知：一个周期函数的作图问题，只需作出它在一个周期内的函数图象，然后通过左右扩展即可得到它在整个定义域内的图象。如果正切函数也是周期函数的话，我们就可以这么做，那么正切函数是周期函数吗？如果是，最小正周期又是多少呢？

活动2【讲授】新知探究 解决：1、首先考虑定义域：

2、为了研究方便，再考虑一下它的周期：

的周期为T=π（最小正周期）

问题4：我们可以先画长度为一个周期π的图象，选择哪一部分最好呢？

因此我们可选择

的区间作出它的图象。

将（0，

）的图象与

的图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。

问题5：解决了正切函数的周期性，要画出正切函数的图像呢？我们是不是还要什么是角的正切线？那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

问题6：如何利用正切线画出函数y=tanx,x∈(-π/2，π/2)的图象呢？

作法

①等分

②作正切线

③平移

④连线

问题7：如何画函数y=tanx(x∈R,且x≠π/2+kπ)k∈z

图象？

定义：根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且

的图象，称“正切曲线”

板书：切函数的性质

引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：

，

（2）值域：R

观察：当

从小于

，

时，

当

从大于

，

时，

。

（3）周期性：T=π

（4）奇偶性：tan(－x)=－tanx, ∴正切函数是奇函数。

（5）单调性：

在开区间

内，函数单调递增。

⑹

渐进线方程

用形象的语言对渐进线的概念加以描述，渐近线各点由对应着函数在此处无定义，值域无最大值、最小值．

“三点两线法”’

三点: 两线: 判断下列语句是否正确：

y=tanx在定义域上是单调增函数；

（2）y=tanx在第一象限是单调增函数；

（3）

，而y=tanx 是单调增函数，

活动3【活动】分析 五）、例题讲解及课内巩固练习

例1、比较下列每组数的大小

（1）tan167 与tan173

（2）tan（

）与tan 说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。

变式训练

例2、求函数y=tan(x+ )的定义域和单调区间及其对称中心。

变式训练：求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间，对称中心

解不等式：

变式训练：

活动4【导入】提升 5.课后提升

（1）y=|sinx|的周期变成了 ,那y=|tanx|变成了什么？

（2）

课后作业

（1）课本第1，

3题

（2）列表比较正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及性质

1.4.3 正切函数的性质与图象 课时设计

课堂实录 1.4.3 正切函数的性质与图象 1第一学时

教学活动

活动1【导入】 （一）、复习

问题1：我们是怎样作出正弦函数y=sinx,x∈R的图象的？

五点法。但在正弦函数图像的生成过程时我们是如何讲解的呢？

对，我们是利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即

内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。

问题2：那么正切函数的图象怎样画？与正弦函数图象的画法类似吗？

正弦函数和正切函数都是三角函数，正弦函数的图像是借助了函数的周期性和正弦线，我们是不是可以考虑正切函数的图像也借助于这样的思路画出呢？

问题3：由前面的知识可知：一个周期函数的作图问题，只需作出它在一个周期内的函数图象，然后通过左右扩展即可得到它在整个定义域内的图象。如果正切函数也是周期函数的话，我们就可以这么做，那么正切函数是周期函数吗？如果是，最小正周期又是多少呢？

活动2【讲授】新知探究 解决：1、首先考虑定义域：

2、为了研究方便，再考虑一下它的周期：

的周期为T=π（最小正周期）

问题4：我们可以先画长度为一个周期π的图象，选择哪一部分最好呢？

因此我们可选择

的区间作出它的图象。

将（0，

）的图象与

的图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。

问题5：解决了正切函数的周期性，要画出正切函数的图像呢？我们是不是还要什么是角的正切线？那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

问题6：如何利用正切线画出函数y=tanx,x∈(-π/2，π/2)的图象呢？

作法

①等分

②作正切线

③平移

④连线

问题7：如何画函数y=tanx(x∈R,且x≠π/2+kπ)k∈z

图象？

定义：根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且

的图象，称“正切曲线”

板书：切函数的性质

引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：

，

（2）值域：R

观察：当

从小于

，

时，

当

从大于

，

时，

。

（3）周期性：T=π

（4）奇偶性：tan(－x)=－tanx, ∴正切函数是奇函数。

（5）单调性：

在开区间

内，函数单调递增。

⑹

渐进线方程

用形象的语言对渐进线的概念加以描述，渐近线各点由对应着函数在此处无定义，值域无最大值、最小值．

“三点两线法”’

三点: 两线: 判断下列语句是否正确：

y=tanx在定义域上是单调增函数；

（2）y=tanx在第一象限是单调增函数；

（3）

，而y=tanx 是单调增函数，

活动3【活动】分析 五）、例题讲解及课内巩固练习

例1、比较下列每组数的大小

（1）tan167 与tan173

（2）tan（

）与tan 说明：比较两个正切值大小，关键是相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。

变式训练

例2、求函数y=tan(x+ )的定义域和单调区间及其对称中心。

变式训练：求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间，对称中心

解不等式：

变式训练：

活动4【导入】提升 5.课后提升

（1）y=|sinx|的周期变成了 ,那y=|tanx|变成了什么？

（2）

课后作业

（1）课本第1，

3题

（2）列表比较正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及性质