2.1.3 相等向量与共线向量ppt课件课堂实录

2．1.3 相等向量与共线向量

1．掌握并能判断相等向量和平行向量．

一、旧知回顾：

1．概念

(1)向量：既有____，又有____的量叫做向量，如力，位移等．

(2)数量：只有大小，没有____的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．

向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．

(3)有向线段：带有____的线段叫做有向线段．其方向是由____指向____，以A为起点、→→B为终点的有向线段记作__(如图所示)，线段__的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．

(4)有向线段的三个要素：____、____、____.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的____就唯一确定．

【做一做1】

下列量中是向量的是(

) A．长度

B．身高

C．速度

D．面积

2．向量的表示法

(1)几何表示：用________表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就→是向量的____(或称模)，如向量AB的长度记作__．

(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成→→→带箭头的小写字母a，b，c，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，→如以A为起点，以B为终点的向量记为AB. 【做一做2】

已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(

)

C．起点是M

D．终点是M

→A．也可以用MN表示

B．方向是由M指向N

二、新知探究

①共线向量所在直线平行或重合．如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．

②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．相等向量是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．

【做一做3－1】

单位向量的长度等于(

) A．0

B．1

C．2

D．不确定

→【做一做3－2】

如图所示，在平行四边形ABCD中，与AB共线的向量有__________．

→答案：1．(1)大小

方向

(2)方向

(3)方向

起点

终点

AB

AB

(4)起点

方向

长度

终点

【做一做1】

C →2．(1)有向线段

长度

|AB| 【做一做2】

D 3．0

1

长度

a＝b

有向线段

相同

相反

a∥b

平行

直线

共线

【做一做3－1】

B →→→【做一做3－2】

BA，DC，CD

题型一

向量的有关概念

【例1】

下列说法正确的是(

) →→→→A.

AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线

B．长度相等的向量叫相等向量

C．零向量的长度等于0 D．共线向量是在同一条直线上的向量

反思：(1)对向量有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量、共线向量之间的区别和联系．

(2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．

题型二

在图形中找出相等或共线向量

【例2】

如图，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．

→(1)写出与向量AB共线的向量；

→(2)写出与向量AB相等的向量．

分析：寻找相等向量时，需要考虑线段的长度和方向；寻找共线向量时，只需要考虑线段的方向，不需要考虑线段的长度．

→→→反思：在图形中找出与AB共线的向量时，首先是BA，再就是判断其他向量m是否与AB→→共线，若m所在直线与直线AB平行或重合，则m∥AB，否则它们不共线．在所有与AB共→→线的向量中，与AB方向相同且长度相等的向量与AB相等．

题型三

画出实际问题中的向量

【例3】

一辆汽车从点A出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D. →→→(1)作出向量AB，BC，CD；

→(2)求|AD|. 分析：根据行驶方向和距离作出向量，进而求解．

反思：在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

题型四

易错辨析

易错点

混淆向量的有关概念而致错

【例4】

判断下列各命题的真假：

(1)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

(2)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

(3)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

→→(4)向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；

(5)有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中假命题的个数是(

) A．2

B．3

C．4

D．5 错解：A或B或D 错因分析：本题易发生的错误是忽略零向量而判断(1)为正确；不理解共线向量而判断(3)为正确；混淆向量共线与平面几何里两直线平行而判断(4)正确；混淆向量与有向线段概念而判断(5)正确．

反思：对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．因此“大于”“小于”对向量来说没有意义，而向量的模可以

比较大小．零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．

答案：

→→→→【例1】

C

AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A项错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B项错；按定义，零向量的长度等于0，故C项正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D项错．

→→→→→→→→【例2】

解：(1)与向量AB共线的向量是BA，DE，ED，DC，CD，CE，EC；

→→→(2)与向量AB相等的向量是CE和DC. 【例3】

解：(1)如图所示．

→→→→(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线．

→→又|AB|＝|CD|，

∴在四边形ABCD中，ABCD. ∴四边形ABCD为平行四边形，

→→∴|AD|＝|BC|＝200千米．

【例4】

C

正解：(1)假命题．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．

(2)真命题．

(3)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．

(4)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．

(5)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．

1．已知非零向量a，b满足a∥b，则下列说法错误的是(

) A．a＝b

B．它们方向相同或相反

C．所在直线平行或重合

D．都与零向量共线

2．下列说法正确的个数为(

) ①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；

②零向量没有方向；

③向量的模一定是正数；

④非零向量的单位向量是唯一的．

A．0

B．1

C．2

D．3

3．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与OA相等的向量是(

)

A.OC

B.OD

C.OB

4．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．

D.CO

(1)写出与AE共线的向量；

(2)写出与AE相等的向量．

5．一个人从点A出发沿东北方向走了100 m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m到达点C. (1)画出AB，BC，CA. (2)求|CA|.

答案：1．A 2．A

①错误．只有速度、位移是向量；

②错误．零向量有方向，它的方向是任意的；

③错误．|0|＝0；

④错误．非零向量a的单位向量有两个：一个与a同向，一个与a反向．

3．D

OA与CO方向相同且长度相等，则OA＝CO. 4．解：(1)与AE共线的向量有EA、BD和DB. (2)与AE相等的向量是BD. 5．解：(1)如图所示．

(2)|AB|＝100 m，|BC|＝100 m，∠ABC＝45°＋15°＝60°，

∴△ABC为正三角形．∴|CA|＝100 m