2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学内容概述

《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计

花凉中学

张琼琴

一、

教材分析

本节课内容为选修2—1（人教A版）《空间向量的正交分解及其坐标表示》第一课时。在前几节课内容中，学生已基本完成由平面向量到空间向量的认知构成，本节课内容承接前面空间向量的相关运算的基础上，由平面向量基本定理类比形成空间向量基本定理的概念，进而完成

对空间坐标运算的学习，承上启下，为空间向量在立体几何中的应用打下良好的基础。

二、

学情分析

高二学生已经学***面向量的知识，因此本节课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，具备一定的分析问题和解决问题的能力。可以通过类比的数学思想，找到平面向量与空间向量的区别与联系，但学生在把向量推广到空间中时思维具有一定的片面性、不严谨的特点。

三、

三维目标

1、知识与技能

掌握空间向量基本定理，能准确地将空间任意向量在一个基底下表示出来，掌握空间向量的正交分解及坐标表示。

2、过程与方法

让学生从已有的知识出发，引导学生从特殊到一般的思维过程，体验数学的发现和创造的历程。

3、情感态度与价值观

在轻松的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究的教学情境。

四、

教学重难点

重点：空间向量基本定理、用基底表示已知的向量

难点：空间向量基本定理的推导及应用

五、

教学方法

借助多媒体，采用启发、合作式教学

六、教学过程

教学环节

知

识

平面向量基本定理

回

顾

提

出

问

题

教学设计

设计意图

回顾旧知，为推广到空间做准备

平面内任意一个向量p都可以用不共线的向量a,b来表示，对于任意一个空间向量是否有类似的结论？

引向课题

1、设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，对于空间任意一个向量p，是否可以用i,j,k将p表示出来？

解：设p=OP，点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，存在实数z，使得OP=OQ+zk.

在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，让学生体会类比、推广的思想，通过z由特殊到一般的存在有序实数对(x,y)，使得

思维过程，引导揭PkyjO示空间向量与平OQ=xi+yj.

面向量的区别与i联系

x所以，OP=xi+yj+zk.

Q我们称，xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。

2、在空间中，如果用任意三个不共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k，你能得出类似的结论吗？

研

究

探

索

教学环节

教学设计

1、空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序数对{x,y,z}，使得设计意图

p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。

注：（1）空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

（2）由于零向量与任意两个非零向量共面，所以，一个基底中的三个基向量都不是零向量。

思考：平面向量的正交分解及其坐标表示？

2、空间向量的坐标表示：设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底），以e1,e2,e3的公共起点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它的探

究

新

知

通过学生的归纳总结，提高学生的概括能力。

对所得到的结论进一步探究，实现对知识的进一步拓展得到新的知识内容。

起点与原点O重合，得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知，存在有序数对{x,y,z}，使得

p=xe1+ye2+ze3.我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标，记作p=(x,y,z).

例1、如图，M,N分别为四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，O用向量OA,OB,OC表示MN,OP知

识

应

用

和OQ.

解：MN=MO+ON

=-AMQPNBC111OA+OB+OC

22212111OP=OM+MP=OA+MN=OA+OB+OC

236331111OQ=OM+MN=OA+OB+OC.

3366运用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题，培养学生应用数学知识解决问题的能力

规

律

总

结

用基底表示空间向量时要结合基底和所求图形，运用运通过分析，引导算法则和公式，将空间向量问题反复转化为平面向量问学生发现解决问题，最终用基底表示出所要表示的向量。

题的共性特点

变式一：若例1中OA,OB,OC为空间中的一组单位正变

式

训

练

交基底，请写出MN,OP和OQ在这一组基底下的坐标。

变式二：在例1中能否用MN,OP和OQ表示出AB，若能，请写出表达式；若不能，请说明理由。

1、

知识内容：（1）空间向量基本定理的内容、空间向量基底的概念

（2）空间向量的单位正交基底、正交分解及坐标表示

2、数学思想方法：由特殊到一般、类比、转化等数学思想方法

课本第94页

练习第1、2题

用变式训练巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构

课

堂

小

结

完善学生的认知结构，明确学习内容

课后作业

七、板书设计

标题

1、空间向量基本定理

例1：

注：

变式一：

2、空间向量的正交分解及坐标表示

变式二：

（1）

单位正交基底

（2）

空间直角坐标系

（3）

空间向量的坐标表示

八、教学反思：