复习参考题优质课教案整理

3.1.1

两角差的余弦公式

许芳项目

内容

3.1.1

两角差的余弦公式

课题

（共

1

课时）

1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质. 2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归教学

目标

思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变

修改与创新

化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.[来源:Zxxk.Com]

3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法. 教学重、

教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 难点源:Z*xx*k.Com][来

教学难点:探索过程的组织和适当引导. 学法指数形结合；分组讨论

导

我们在初中时就知道cos45°=23,cos30°=,由此我们能否得到22cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验教学过证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？程

cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来

探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.

提出问题

①请学生猜想cos(α-β)=?

②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示

cos(α-β)呢？

③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?

④细心观察C(α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？

⑤如何正用、逆用、灵活运用C(α-β)公式进行求值计算？

活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=313,而cosα-cosβ=cos60°-cos30°=,这一反例足以22说明cos(α-β)≠cosα-cosβ.

让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.

问题②,既然cos(α-β)≠cosα-cosβ,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？

图1 如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β.过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,那么OM就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1,垂足为A,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,过点P作PC垂直于AB,垂足为C.那么,OA表示cosβ,AP表示sinβ,并且∠PAC=∠P1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβcosα+sinβsinα,所以,cos(α-β)=cosαcosβ+sinα

sinβ.

教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.

图2

问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ),∠AOB=α-β.

由向量数量积的定义有OA·OB=|OA||OB|·cos(α-β)=cos(α-β),

由向量数量积的坐标表示有

OA·OB=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,

于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cosθ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则OA·OB=cosθ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA·OB=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).

由此可知,对于任意角α、β都有

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))

此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C(α-β).有了公式C(α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.

问题④,教师引导学生细心观察公式C(α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=

__________等.因此,只要知道了sinα、cosα、sinβ、cosβ的值就可以求得cos(α-β)的值了.

问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=cosα=cos［(α+β)-β］=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.

讨论结果:①—⑤略. 应用示例

思路1 例1

利用差角余弦公式求cos15°的值.[来源学科网ZXXK]3, 2

活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C(α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究. 解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°

=232162.

22224方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45°

=1223×222262.

4

点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学

生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会. 变式训练

1.不查表求sin75°,sin15°的值

解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°

=232162.

22324sin15°=1cos215=1(622826262.

)=1644点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法. 2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°. 解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0. 点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C(α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性. 例2 已知sinα=45,α∈(,π),cosβ=,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 5213

活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(α-β)的值,必先知道sinα、cosα、sinβ、cosβ的值,然后利用公式C(α-β)即可求解.从已知条件看,还少cosα与sinβ的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成. 解:由sinα=4,α∈(,π),得

522cosα=1sina1().

45235

又由cosβ=5,β是第三象限角,得132[来源:Z,xx,k.Com]

sinβ=1cos1(5212).

1313所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

=()(35541233)().

1351365

点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯. 变式训练

已知sinα=解:①45,α∈(0,π),cosβ=,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 5134当α∈［,π)时,且sinα=,252得cosα=1sina1()又由cosβ=4523, 55,β是第三象限角,得

132sinβ=1cos1(1252)=. 1313所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

541233)(). 1351365.4②当α∈(0,)时,且sinα=,得

25=()(cosα=1sina1()又由cosβ=2354523, 55,β是第三象限角,得

132sinβ=1cos1(5212).

1313所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

=3541263()().

51351365

点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cosα的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏. 课堂小结

1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点. 2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的. 作业

课本习题3.1

A组2、3、4、5.

3.1.1

两角差的余弦公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))

例1

利用差角余弦公式求cos15°的值.

[来解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°

板书设计

=232162.

22224方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45°

=

1223×222262.

4

本节课对两角差的余弦公式推导，运用了数形结合的思想，过程中学生有一定难度，教学反由于初中几何基础不一导致，因此教学环节层层设问引导，成功引导学生推导出余弦公式。思

再通过例题与变式训练加强对余弦公式的记忆。