信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学设计和教学实录

利用正切线画函数y=tanx , x∈(-π/2, π/2) 的图象教学设计

秦安县第四中学 赵福强

一、教材内容分析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（北师大版）数学必修四第一章第七节《正切函数的图像与性质》的选修部分。本节课主要是类比正弦函数图像的画法，利用正切线画正切函数的图像，通过画正切函数的图象来理解正切函数的图象与性质。利用正切线画正切函数的图像来研究正切函数的图象与性质得过程不仅是对正切曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定基础。

二、学情分析

本节课是在学习了正弦、余弦、正切函数的图象与性质后，继续学习正切函数图像的画法。学生已经掌握了任意角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将类比正弦和余弦函数的图象的画法，研究正弦和余弦函数的图象和性质，进一步研究正切函数的图象的画法，并理解和掌握正切函数的图象和性质，这也是为后面学习解析几何中，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系等内容做好知识储备的课．

三、教学目标

1.知识与技能:

结合正弦函数和余弦函数的学习，能根据任意角的正切值和正切线分析得出正切函数图象的画法，理解和掌握正切函数的有关性质，并能运用图象和性质解决有关的简单问题。

2.过程与方法：

在探究正切函数基本性质和图象的过程中，逐步渗透数形结合的思想，继续培养学生的作图、读图、识图的能力和良好的数学学习习惯．

3.情感态度价值观: 在教学中使学生了解问题的来龙去脉,体会事物间相互联系的原理，能在合情推理中得出结论,强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透。

四、教学重难点

1.教学重点：正切函数的图象及其主要性质

2.教学难点：

（1）利用正切线画出函数ytanx ,x(2,2)的图象；

（k2,k2)(kz)上单调递增，（2）正切函数在每一个开区间但在定义域上不单调。

五、教学用具

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的图象、定义域、值域和它的周期性变化，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

六、教学过程

（一）复习引入

什么是正切线？

正切函数值tan=AT ，把有向线段AT叫做正切线。

【设计意图】通过体会角的正切值和正弦函数值之间的关系，从而过度到研究正切函数图象与性质。

（二）探究新知

ytanx,x(,)的图象。

1.画 22下面请大家思考，我们能否模仿利用正弦线和余弦线得到正弦函数和余弦函数图象的方法，画出的正切图象呢？

画法：

（1）等分

把单位圆右半部分分成8等分 （2）做正切线 （3）平移 （4）连线



【设计意图】通过画正切函数的图象加深学生对正切函数图像和性质的理解，体现了数学中的类比思想。

2. 正切曲线

tan由tan(x+π)=tan x，把

y



x

,

x



(

,

)

图象向左、向右平移，得到以下图形

22

把ytanx(xk,kz)的图象，叫做正切曲线。

2【设计意图】利用诱导公式完成图象，为学生学习正切函数的性质做好铺垫。

3.观察正切函数图象，我们能从中得到正切函数的哪些性质？

{ x|xk,kZ}

（1）定义域：

2（2）值域： R

（3）周期性：最小正周期是

, （4）奇偶性：奇函数 （5）对称性：关于点(

,0）成中心对称

【设计意图】学会识图，由图象分析性质（强调数形结合）。

4.思考

（1）根据正切函数的图象，正切函数是定义域上的增函数吗？

（2）如何确定正切函数的增区间？

（k在开区间2,k2)(kz)上是单调递增函数

注意：但是不能说在整个定义域上是增函数，要举例为学生解释，扫清学生心中“为什么？”的疑惑。

（3）函数yAtan(x)的周期？ 函数yAtan(x)的周期T

【设计意图】强调对正切函数的单调性和周期的理解。

（三）例题讲解

例1:比较大小

（1）tan320

与tan2150 （2）tan18与

tan(2859)

(四)课堂练习

1.求函数y=tan(x +

)的定义域。

2.比较大小

（1）

tan167°与tan173°

（2）tan

与tan

3. 求函数y=

+1的单调区间及对称中心。

【设计意图】讲练结合，巩固课堂效果。

（五）课堂小结

1.利用正切线画正切函数的图象 2.正切函数的性质：

（1）定义域：{x|x 2k,kZ }（2）值域：（3）周期性：最小正周期是

, （4）奇偶性：奇函数



R

（5）对称性：关于点(

,0）成中心对称 k,k,kZ内都是增函数。 （6）正切函数在开区间

22（六）布置作业

【设计意图】通过作业，更进一步的掌握正切函数的图象和性质。

（七）板书设计

利用正切线画函数y=tanx , x∈(-π/2,π/2)的图象

1.正切函数的图象画法

（1）等分

把单位圆分成8等分 （2）做正切线 （3）平移 （4）连线

2.

正切函数的性质

{x|xk,kZ}（1）定义域： 2例1：



（2）值域： R

（3）周期性：最小正周期是

, （4）奇偶性：奇函数 （5）对称性：关于点(

,0）成中心对称

（6）单调性正切函数在开区间

k,k,kZ22内都是增函数

（八）教学反思：

本次教学过程的引入比较合理，对于正切函数图象选用哪个区间作为代表区间加以讨论解释，在课堂上，充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学规律。从讲课的情况来看，我能始终抓住以类比思想主线。我让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，对新知识进行分析，使新旧知识点有机的结合在一起，学生对新知识也较易接受；同时强调数形结合，通过多媒体教学，使学生通过对图象的观察，对知识点的理解更加直观、形象，提高了学生的学习兴趣，达到良好的教学效果。这使我对今后的教学更有信心。我将坚持以学生为本，以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种

教学课件，逐步培养学生养成两方面能力：学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力。这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利学生综合运用能力的提高了，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果。