2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计实例

平罗中学高一数学组集体备课教案（必修四）

年 月 日第

课时

课题

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

课型

新授课

识与技能

教学

目标

掌握平面向量正交分解及其坐标表示

过程与方法

初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法

情感、态度与通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系. 价值观

教学

向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示

重点

教学

平面向量的坐标表示. 难点

教学

讲授法、练习法

方法

教 学 过 程

教学环节

问 题

师 生 活 动

设

计

意

图

备注

一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2. 我们知道飞机在起飞时若沿仰角的方向起飞的速度为v,可

教师创设引入新课

情境引入新课

特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段. 学生小提出问题

组讨组讨论,解决问题并得出学生通过小

导入分解为沿水平方向的速度vcos和沿竖直方向的速度vsin. 新课

从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,探究新知

①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹论,教角与直线的夹角一样吗？

师指导

结论

编写：罗瑞

审定：平罗中学高一数学组

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:

图1 探究过程

已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. 显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内. 如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

学生通过小组讨论,解决问教师指导

题并得出结论

审定：平罗中学高一数学组

编写：罗瑞

由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为

不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形. 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便. 讨论结果: ①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样. ②可以.

探究提出问题

新知

①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序

实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?

学生小组讨论,

②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

图2 探究过程

如图2,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得

a=xｉ+yj ①

这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作

a=(x,y) ②

学生给出讨论结果,教师给出总结引导学生思考

性结论

引导学生思考

探

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②究

新 式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

知

注意: (1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应. (2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,A1B1是表示a的有向线段,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则向量a的坐标为点、终点的x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐标为(x2-x1,y2-y1). (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标,流程表示如下:

讨论结果:①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). ②是一一对应的.

.学生给出讨论结果,教师给出总结性结论.

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审定：平罗中学高一数学组

例1

如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标. 教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,训练学生对平应用提高

让学生自己动面向量基本定手、动脑.教师可理的正确理解

以让学生到黑板

图3

上板书步骤

1.知识点: 向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示. 1.先由学生回顾本节学习的数学回顾要点，强课堂2.数学方法: 待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作知识. 小结

图. 2.教师与学生一化记忆. 作业

课本习题2.3 A组1.

起总结本节学习的思想方法. 板 书 设 计

2.2.2 向量数乘运算及其几何意义

一、向量的夹角与垂直的定义

例1 二、平面向量的正交分解

三、平面向量的坐标表示

教 学 后 记

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审定：平罗中学高一数学组