复习参考题ppt专用说课稿内容

专题三 三角函数与平面向量

考向一

三角恒等变形

1.讲高考

（1）

考纲要求：1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差

的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换. （2）命题规律：1.预计2016年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；2.对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练.

例1【2015江苏高考，8】已知tan2，tan【答案】3 1，则tan的值为_______. 712tan()tan7【解析】tantan()3.

1tan()tan127【考点定位】两角差正切公式

【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

3)10例2【2015高考重庆，理9】若tan2tan，则（

）

5sin()5cos(A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】C 【解析】

3333333)coscossinsincostansincos2tansin101010101010510

由已知，sin()sincoscossintancossin2tancossin55555555cos(

cos5cos331552sinsin(coscos)(coscos)3cos10510＝210101010103，选C. 12sincossincos552510【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 【名师点睛】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．

2.讲基础

1．巧记六组诱导公式

对于“k，kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，2符号看象限．

2.“死记”两组三角公式

（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin()sincoscossin

cos()coscossinsin

tan()tantan

1tantan（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

tan22tan

21tan3.讲典例

【例1】【四川成都七中高2016届高三上学期10月阶段考试（一）】

已知则sincoscos( ) 2 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得：sinsin23costan3，因此

sincoscos2tan131，选C. sincoscos222sincostan142考点：切化弦

【趁热打铁】【河南省名校2015届高三上学期期中】已知tan()2，则sin2sincos2cos23的值为

. 【分析】首先根据诱导公式求得tan的值，再根据同角三角函数的基本关系将表达式转化为关于tan的表达式. 4sin2sincoscos2【解析】由已知得tan()tan2，则sinsincos2cos3

22sincos224tan2tan119．

2tan15【例2】【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试】若0,，且23cos2cos2，则tan（ ）

210A. 1

2B. 1

3C. 1

4D. 1

5【答案】B 【解析】

试题分析：coscos(332，cos2sincos

2101012tan3123tan20tan70tan,tan7舍

所以1tan210322)考点：齐次式. 【趁热打铁】【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中】若sin（+π17π

），则cos（+）_____．12312【分析】利用诱导公式观察角与角之间的关系，再利用诱导公式进行变形. 【解析】cos（+7πππ1）cos（++）=-sin(+）=-

121221234.讲方法

三角恒等变形是指利用同角公式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式等对三角式进行各种有目的的变形.变形中主要涉及角、函数名、结构、运算方式的变形，其技巧常有化异为同、辅助角、三角代换、和差配凑、幂指变换等. 三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角不等式的证明等，熟练

掌握同角公式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式，降幂公式，辅助角公式等是解决问题的前提. 几个常见的变形切入点：

sincos可凑倍角公式；

1cos可用升次公式；

1sin可化为1cos，再用升次公式；或1sinsincos

222④asinbcosa2b2sin（其中

tan2b）这一公式应用广泛，熟练掌握. a⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；

⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

⑦常见的配角技巧：22；()；()；1[()()]；2[()()]；124()；(). 24445.讲易错

若函数f(x)xxasincos()的最大值为2，试确定常数a的值．

224sin(x)21cos2x【错因】上述表达式中要根据诱导公式以及二倍角公式的降幂变形，最后利用辅助角公式将函数转化为关于x的三角函数的表达式，用错公式是本题出错的原因. 12cos2xxx111a2【正解】∵f(x)asincoscosxasinxsin(x)，tan，

a4cosx2222441a24a15.

由已知得4考向二

三角函数的图象和性质

1.讲高考

（1）考纲要求：1.能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等），理解正切函数的性质；3.了解函数yAsin(x)的物理意义：能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，，对函数图象

变化的影响. （2）命题规律：1.预计2016年高考仍将作为基础内容出现于综合题中，分值为5到12分；2.三角函数的周期性、单调性、有界性及图象的平移和伸缩变换，以函数性质为主的结合图象的综合题，在复习时应予以关注. 例1.

【2015高考新课标1，理8】函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( ) (A)(k(C)(k1313,k),kZ (B)(2k,2k),kZ

44441313,k),kZ (D)(2k,2k),kZ 4444

【答案】D 1+42【解析】由五点作图知，，解得=，=，所以f(x)cos(x)，令445+3422kx2k42k,kZ，解得2k131＜x＜2k，kZ，故单调减区间为（2k，4443），kZ，故选D. 4【考点定位】三角函数图像与性质

【名师点睛】本题考查函数yAcos(x)的图像与性质，先利用五点作图法列出关于，方程，求出，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求，使解题的关键. 例2.

【2015高考湖南，理9】将函数f(x)sin2x的图像向右平移(0的图像，若对满足f(x1)g(x2)2的x1，x2，有x1x2A.2)个单位后得到函数g(x)min3，则（ ）

5 B. C. D.

12346【答案】D.

【解析】

试题分析：向右平移个单位后，得到g(x)sin(2x2)，又∵|f(x1)g(x2)|2，∴不妨

2x1∴22k，2x2222m，∴x1x22(km)，又∵x1x2min3，

236，故选D. 【考点定位】三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以

f(x)Asin(x)为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 2.讲基础

函数ysinx的图象变换得到yAsin(x)的图象的步骤

（1）确定yAsin(x)k(A0,0,||)中的参数的方法：

在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A即由MmMm，k，由周期T确定，222T求出，由特殊点确定．

（2）由ysinx的图象变换到yAsin(x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是||个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是||原(0)个单位．因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是于x加减多少值．

3.讲典例

【例1】【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试】

将函数fxsinx的图6象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数gx图象的一个对称中心可以是（ ）

A. ,0

12B. 5,0 12C. 

,0

3D. 2,0

3【答案】C 【解析】

试题分析：gxsinx1x，kx2k,kZ

36262

令k0,x3，

∴gx图象的一个对称中心是,0. 3考点：三角函数图象的平移、三角函数的对称中心. 【趁热打铁】【四川省资阳市2015届高三第一次诊断性测试】将函数ysin(2x)的图象向右平移

3

(0)个单位，所得图象关于原点O对称，则的最小值为（

）

A.2

B.

C.

D.

[来源:

33612【分析】将平移以后的表达式表示出来，图象关于原点对称，等价于平移以后的函数为奇函数，即可求解. 【解析】将函数ysin2x3的图象向右平移0个单位，得ysin2x

3sin2x2是奇函数，∴20，解得，故答案为C. 363【例2】【河北省衡水中学2016届高三二调4】已知函数ysinxm的最大值为4，最小值为0．两个对称轴间最短距离为，直线x是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为( ) 62A．y4sin2xC．y2sinx【答案】B 6 B．y2sin2x D．y2sin2x2

632

3（x）考点：函数yAsin图象与性质

【趁热打铁】【嘉兴市第一中学2015届高三上学期期中考试】函数fx12sinx(sinx3cosx)的图象向左平移个单位得函数gx的图象，则函数gx的解析式是 ( ) 3A．

gx2sin2x B．gx2cos2x

2C．gx2cos2x【答案】A 【解析】

试题分析：化简函数2 D．gx2sin2x

3f(x)12sin2x3sin2xcos2x3sin2x2sin(个单位得函数gx的图象，则62x)2sin(2x6)的图象向左平移3g(x)f(x故选A．

3)2sin[2(x3)6]2sin(2x2)2sin[(2x2)]2sin(2x2)，

考点：1．三角恒等变形公式；2．三角函数图象变换．

4.讲方法

1.函数yAsin(x)(A0,0)的图象的作法

（1）五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，

3，，，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

22（2）图象变换法：由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

2.确定yAsin(x)b(A0,0)的步骤和方法

（1）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A（2）求，确定函数的周期T，则可得（3）求，常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

MmMm，b. 222. T

②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图象的“峰点”)时x“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x“第五点”时x2．

3.利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的2；3；21个最小正周期，可求解参数的2值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A的值．在求函数值域时，由定义域转化成x的范围，即把x看作一个整体，再结合三角函数的图象求解．

5.讲易错

函数y|sinx|cosx1的最小正周期与最大值的和为

. 【错因】在求函数的最小正周期的时候，未结合函数图象考虑，得到函数的最小正周期为. 1sin2x1,(2kx2k)2【正解】∵y，作出其图象，知原函数的最小正周期为2，最大1sin2x1,(2kx2k)2值为11，故最小正周期和最大值之和为2.

22考向三

解三角形

1.讲高考

（1）考纲要求：1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.掌握运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. （2）命题规律：1.预计2016年高考将以正弦、余弦定理的直接应用为主要考查目标，以解答题形式出现的可能性较大，难度以中档题为主；2.结合向量或几何知识构建综合性题目是可能的发展方向，复习时需加以关注.

例1【2015高考天津，理13】在ABC

中，内角A,B,C

所对的边分别为a,b,c

，已知ABC的面积为315

，bc2,cosA,

则a的值为 .

【答案】8

2【解析】因为0A，所以sinA1cosA1415，

4

又SABCbc2115得b6,c4，由余弦定理得

bcsinAbc315,bc24，解方程组28bc241a2b2c22bccosA624226464，所以a8. 4【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理. 【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A的正弦值，再由三角形面积公式求出bc24，解方程组求出b,c的值，用余弦定理可求边a有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现. 例2【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.

【答案】1006

【解析】依题意，BAC30，ABC105，在ABC中，由ABCBACACB180，

600BC，即BC3002m，

sin45sin30CDCD在RtBCD中，因为CBD30，BC3002，所以tan30，所以CD1006m. BC3002所以ACB45，因为AB600，由正弦定理可得【考点定位】三角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理. 【名师点睛】本题是空间四面体问题，不能把四边形ABCD看成平面上的四边形.

2.讲基础

正弦定理

abc2R(2R为△ABC外接圆的直径)．

sinAsinBsinC变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；

sinAabc，sinB，sinC；

2R2R2Ra:b:csinA:sinB:sinC. 余弦定理

a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC；

b2c2a2a2c2b2a2b2c2推论：cosA，cosB，cosC；

2bc2ac2ab变形：2bccosAbca，2accosBacb，2abcosCabc. 应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．

3.已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

2222222223.讲典例

【例1】【华中师大一附中2016届高三上学期期中检测】在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c, 且(2ba)cosCccosA错误！未找到引用源。 , c3, sinAsinB26sinAsinB，则ABC错误！未找到引用源。的面积为( ) A.333错误！未找到引用源。 B.2 C.错误！未找到引用源。 82D.

33错误！未找到引用源。

4【答案】D

考点：正弦定理及余弦定理的应用

【趁热打铁】【四川成都七中2015届高三上学期期中】在ABC中，若a、b、c分别为角A、B、C

的对边，且cos2BcosBcos(AC)1，则有（

）

A.a,c,b成等比数列

B.a,c,b成等差数列

C.a,b,c成等差数列

D.a,b,c成等比数列

【分析】利用三角恒等变形将条件中的表达式化简，再利用正弦定理将其转化为边之间满足的关系. 【解析】由cos2BcosBcos(AC)1变形得：cosBcos(AC)1cos2B，

∵cosBcos(AC)，cos2B12sinB，

∴上式化简得：cos(AC)cos(AC)2sin2B，∴2sinAsinC2sinB，

即sinAsinCsinB，由正弦定理得：acb，则a,b,c成等比数列，故选D. 【例2】【中学联盟】【江苏省苏州市第五中学2016届高三上学期12月月考】（本题满分14分）

在

ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，且（1）求角A的值； （2）若a10，bc5时，求ABC的面积．

【答案】（I）cosA2222sinBsinCcosB成等差数列．

,,sinAsinAcosA1A； 23(II)S153. bcsinA24sinBsinCcosBsinBcosBsinC,,2成等差数列知 -------------2分

sinAsinAcosAsinAcosAsinA【解析】（I）由法1sinBcosAcosBsinA2sinCcosAsin(BA)sinC2sinCcosA

所以cosA1A --------------------------6分

23a2c2b2a2c2b2bc2ac法222b1222cb2c2a2bc

222abcaabca2bc所以cosA1A --------------------------------6分

232222(II)、由余弦定理知abcbcbc3bc----------------------------------8分

代入a10,bc5得bc5-------------------------------------------------------------------11分

所以S153bcsinA-------------------------------------------------14分

24

【趁热打铁】【黑龙江哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试18】在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，tanC（1）求A,C；

（2）若SABC33,求a,c．

【答案】（1）【解析】

sinAsinB,sin(BA)cosC．

cosAcosBA4,C3．（2）a22,c23.

sinAsinB切化弦整理得sin(CA)sin(BC).由题A,B,C

cosAcosB2为三角形内角，故有CABC则C，BA，代入sin(BA)cosC得

3351sin(BA)则BA或BA（舍去），联立可解得A,C 662试题分析：（1）由已知tanC（2）由已知SABC33可得ac162

acsinBac33，再根据正弦定理sinAsinC28将（1）中解得 A,C 的值代入，联立可解得a,c

试题解析：因为tanCsinAsinBsinCsinAsinB，即，

cosAcosBcosCcosAcosB所以sinCcosAsinCcosBcosCsinAcosCsinB，

即sinCcosAcosCsinAcosCsinBsinCcosB，

得sin(CA)sin(BC)．所以CABC,或CA(BC)（不成立）．

即

2CAB, 得C3，所以．BA2．

3又因为sin(BA)cosC155，则BA，或BA（舍去），

得A,B．

266412（2）SABCacac162, 即

， acsinBac33,又sinAsinC282322得a22,c23.

考点：解三角形

4.讲方法

判定三角形形状的两种常用途径：

（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．

（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．

提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．

三角形面积公式的应用原则：

（1）对于面积公式S111bcsinAacsinBabsinC，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

222（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

5.讲易错

已知ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且acosC则角B为（

）

A.3cb，若a1,3c2b1，2

B.

C.

D.

46312【错因】未利用正弦定理进行边角的统一是本题错误的典型例子. 【正解】由acosC33cb及正弦定理得，sinAcosCsinCsinB，

2233sinCcosAsinC，cosA,A；

226又sinBsinACsinAcosCcosAsinC，∴又∵a1,3c2b1，∴2Ra2，∴23sinC4sinB1,23sinB4sinB1，

sinA63cosBsinB1,3111cosBsinB，∴sinB，

22232∵B是三角形内角，∴3B6,B6，选B. 考向四

平面向量的数量积及其应用

1.讲高考

（1）考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角. （2）命题规律：1.预计2016年高考仍将对向量的长度和角度进行重点考查，题型延续选择题或填空题形式，分值为4到5分；2.运用向量的数量积处理其他数学问题是一种新的趋势，复习时需加以关注. 例1【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，AB6，AD4.若点M，N满足BM3MC，

DN2NC，则AMNM（ ）

（A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C 【解析】

AMABAMNM311AD,NMCMCNADAB，所以

443221111(4AB3AD)(4AB3AD)(16AB9AD)(1636916)9，选C. 4124848【考点定位】平面向量. 【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于AB6，AD4故可选AB,AD作为基底. C是边长为2的等边三角形，b满足2a，C2ab，例2.【2015高考安徽，理8】已知向量a，则下列结论正确的是（ ）

（A）b1 （B）ab （C）ab1 （D）4abC

【答案】D 【解析】如图，



由题意，BCACAB(2ab)2ab，则|b|2，故A错误；|2a|2|a|2，所以|a|1，又ABAC2a(2ab)4|a|22ab22cos602，所以ab1，故B,C错误；设B,C中点AD，且ADBC，而2AD2a(2ab)4ab，所以4abC，故为D，则ABAC2选D. 【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积. 【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OAOBBA，这是一个易错点，两个向量的和OAOB2OD（D点是AB的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量AB,AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、

坐标公式、几何意义等. 3.讲基础

1.平面向量的坐标表示及运算

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.

即：已知A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB(x2x1,y2y1).

①坐标表示：我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a(x,y).

②坐标运算：已知a(x1,y1),b(x2,y2)，

|a|xy，

ab(x1x2,y1y2)，

2121ab(x1x2,y1y2)，

a(x1,y1),abx1x2y1y2.

2.两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则AOB(0)叫a与b的夹角

3.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab|a||b|cos，(0)并规定0与任何向量的数量积为0

4.数量积的几何意义：“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；

当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；

当0时投影为|b|；当180时投影为|b|

几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积

5．代数性质（两个向量的数量积的性质）：

（1）两个非零向量a与b，ab



ab0；

（2）两个非零向量a与b，当a与b同向时，ab|a||b|；当a与b反向时，ab|a||b|

（3）cosab；

|a||b|2（4）aa|a|，|a|（5）|ab||a||b|. 6.运算律：

交换律：abba.

aa；

分配律：a(bc)abac，(a)b(ab)a(b).

3.讲典例

【例1】【华中师大一附中2016届高三上学期高三期中检测】已知向量a，b是单位向量，若ab0，且cac2b5，则cab的取值范围是( ) 3A.,5 B. 2,5 5【答案】C 【解析】

试题分析：由题不妨设3535,5 D. 2,C. 

55a1,0,b0,1,cx,ycac2bx12y2x2y25

，

2易知x,y的轨迹为线段2xy200x1

，cabx1y122，

所以问题转化为求点(1，-1)与线段上点的距离的范围问题，

如图易知其范围为35,5. 5

考点：平面向量坐标运算

【方法点睛】本题主要考查运用平面向量的坐标运算性质将问题转化为点与直线的距离问题，运用了转化的思想方法，将负载问题转化为常见的距离问题使问题得到解决，平时一定要注意这种方法在求解取值范围问题中的应用.

【趁热打铁】【辽宁省葫芦岛市一高2016届上学期期中考试9】

设M是ABC内一点，且ABAC23，BAC30.定义f(M)(m，n，p)，其中m、n、p分别是MBC、MCA、MAB的面积.若114f(P)(，x，y)，则的最小值是

2xyA.8 B.9 C.16 D.18 【答案】D. 考点：1、基本不等式；2、平面向量数量积的运算. 【思路点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、新定义的理解以及基本不等式的应用，具有一定的综合性，属中档题. 其解题思路为：首先由平面向量的数量积运算公式并结合已知BAC，求出ABAC的值，然后由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形的面积即求出MBC、MCA、MAB的面积之和，再结合新定义可得出x与y之间的等式关系，最后利用基本不等式即可求出所求式子的最小值. 【例2】【辽宁省葫芦岛市一高2016届上学期期中考试6】已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，若

ae1e2，b4e12e2，则a与b的夹角为（ ）

A.30 B.60 C.120 D.150

【答案】C.

【解析】

试题分析:因为

ae1e2，b4e12e2，所以ab(e1e2)(4e12e2)4e12e1e22e2，221而e1e2e1e2cos60，所以ab4e12e1e22e24123，而2220ae1e2e12e1e2e21113，b4e12e216e116e1e24e2168423，所以与b的夹角的余弦值为

cosabab222231，所以a与b的夹角为120，故应选C. 2323考点：1、平面向量的数量积的应用. 【趁热打铁】【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考14】

已知非零向量a,b满足abab，则a与ab的夹角a,ab ．

【答案】6

【解析】

试题分析：设OAa,OBb，abOC，由已知OAB是等边三角形，

OC是AOB的平分线，因此a,abAOC6．

考点：向量的加法与夹角．

5.讲方法

本节问题涉及无非是向量的模（长度）、向量的夹角（三角形或多边形的内角或其补角）、数量积三个量的关系.这是向量数量积定义的灵魂，同时，数量积运算也是沟通实数和向量的桥梁. 1平面向量数量积的定义及几何意义；

2平面向量数量积的运算律；

3平面向量数量积的5个重要性质. 5.讲易错

已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为45°，当向量ab与ab的夹角为锐角时，求实数的范围．

【错因】解题时忽视了ab与ab为0的情况导致错解. 【正解】由已知ab|a||b|cosa,b2323，又∵ab与ab的夹角为锐角，

21185或6∴(ab)(ab)0，且ab(ab)，由(ab)(ab)0，可得1185，由ab(ab)，可得1，，即1，从而实数的取值范围是6(,11851185)(,). 66考向五

向量与三角形相结合

1.讲高考

（1）考纲要求：1.利用加法和减法的几何含义，以及一些具有几何含义的式子，进行化简、转化向量的

计算.利用坐标运算，转化为代数问题；2.正确运用共线向量和平面向量的基本定理，去计算向量的模、两点的距离等.由于向量作为工具

（2）命题规律：1.给出三角形边相关的向量关系式，判断三角形的形状是一个热点题型；2.对给定的关系式恰当的去化简，变形，整理.最终能够说明三角形的形状.，复习时需加强这方面的训练. 例1【2015高考上海，理14】在锐角三角形C中，tan1，D为边C上的点，D与CD2的面积分别为2和4．过D作D于，DFC于F，则DDF ．

【答案】16

1515,cosA21,ABACsinA24ABAC125，又52【解析】由题意得：sinA1132ABDE2,ACDF4ABDEACDF32DEDF,因为DEAF四点共圆，因此2212532216DEDFcos(A)()

DDF151255【考点定位】向量数量积，解三角形

【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.

例2若等边ABC的边长为2，平面内一点M满足CM

A.12CBCA，则MAMB（

）

33813813

B.

C.

D.

9999【答案】C 【解析】MACACMCA(CB1322111CA)CACBBA，MBAB，

3333321228∴MAMBBAABAB.

33992.讲基础

如何利用向量的几何表示三角形的各种心

向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：[来源:学|科|网Z|X|X|K]

①PG1(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P为ABC的重心；3(ABAC),[0,)是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；ADAD是ABC中BC边的中线. ②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；(△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.

1ABAC,等于已知2ABAC)[0,)是|AB|cosB|AC|cosC③|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P

ABC的内心；向量(ABAC)(0)所在直线过|AB||AC|ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线). ④(OAOB)AB(OBOC)BC(OCOA)CA0，

OAOBOCOA2OB2OC2O为ABC的外心. 向量与平行四边形相关的结论

向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD中，设ABa,ACb，则有以下的结论：

①ABACabAD,通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若ABDC,可判断四边形为平行四边形；

②abAD,abCB,若ababab0对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；(ab)(ab)0ab对角线垂直.则平行四边形为菱形；

③abab2a2b说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；

2222

b同向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；④||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、当a、

b反向或有0|ab||a||b|

b不共线||a||b|||ab|；当a、||a||b|||ab||a||b|(这些和实数比较类似).

3.讲典例

－2AC)AB，(AC－2AB)AC，则ABC的形状是【例1】已知AB，AC是非零向量且满足(AB（

）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形

【分析】利用平面向量数量积的定义，结合三角形的性质加以判断. (AB－2AC)AB0【解析】由(AB，可得(AB)2(AC)2，

－2AC)AB，(AC－2AB)AC可得(AC－2AB)AC0－2AC)AB，可得(AB)22|AB||AC|cosAB,AC0，

即ABAC，又有(AB1，∴A，∴ABC是等边三角形，选D. 32ABC【趁热打铁】已知三个向量m(a,cos)，n(b,cos),p(c,cos)共线，其中a,b,c,A,B,C分222∴cosAB,AC别是ABC的三条边及相对三个角，则ABC的形状是（

）

A．等腰三角形

B．等边三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

【分析】利用平面向量共线的坐标表示结合三角恒等变形加以判断. 【解析】在三角形中，cosABC，cos，cos均不为0，由平面向量共线的坐标表示可得

222aAcos2bBcos2cCcos2，再由正弦定理得：

2sinAcosA2sinBcosB2sinCcosCABCtantantan，∴ABC，

ABC222coscoscos222∴ABC为等边三角形.

【例2】已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足|PA||PB|4，|PAPB|10，PAPCPBPCACAP，且BIBA()(0)|PA||PB||AC||AP|，则BIBA的值为（

）

|BA|A.

2

B.4

C. 3

D.

5

【分析】首先根据条件可知I在BAP的平分线上，再进一步根据三角形的性质以及平面向量数量积的定义解题. 【解析】∵|PAPB||AB|10，而BIBA(ACAP)(0)，∴I在BAP的角平分线上，|AC||AP|由此得I是ABP的内心，过I作IHAB于H，I为圆心，IH为半径，作PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E，F1|BF|2(P|B|A

|B|，∵|PA||PB|，|PAPB|10，∴|BH|P|A|)3，在RtBIH中，cosIBH|BH|BIBA，∴|BI|cosIBH|BH|3. |BI||BA|

【趁热打铁】若G是ABC的重心，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若aGAbGB角A（

）

A.90

B.60

C.45

D.30

【分析】利用重心的性质结合向量加法的线性运算可得ab3cGC0，则33c，从而再结合余弦定理可知A. 63【解析】∵G是ABC的重心，∴GAGBGC0，

由aGAbGB3333cGCaGAbGBc(GAGB)(ac)GA(bc)GB0，

3333

又∵GA与GB不共线，∴ab3c，再由余弦定理易得A. 634.讲方法

给出三角形边相关的向量关系式，判断三角形的形状是一个热点题型.此类题的关键是对给定的关系式恰当的去化简，变形，整理.最终能够说明三角形的形状.常用的技巧有：

（1）利用向量加减法的运算可以合并或分解. （2）利用拆、添、减项等技巧,对式子进行变形化简. （3）利用一些常见的结论进行判断.

常见的结论：

（1）

给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角, MAMBMP，等于已知MP是AMB的平分线

（2）给出MAMB（3）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形; （4）

在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形; （5）在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（6）

在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（7）在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（8）在ABC中，给出OPOA222(ABAC)(R)等于已知AP通过ABC的内心；

|AB||AC|BC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，（9）在A三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（10）

在ABC中，给出AD1ABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线.

25.讲易错

已知O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C为△ABC的内角，若则m的值为

（

）

A.1

B.sinA

C.cosA

D.tanA

【错因】未能结合条件中给出的等式两边同时作与AB的数量积. 【正解】连AO，并延长交圆O于D，连BD，CD，由cosBcosCABAC2mAO，sinCsinBcosBcosCABAC2mAO得

sinCsinBcosBcosCABAC2mAOmADm(ABBD)，两边同时点乘AB，得

sinCsinB22cosBcosCABACABmAB，又正弦定理和数量积的定义得sinCsinBcosBcosCcosAcos(AC)cosCcosAcosBsinCcosCsinCcosAmsin2C，故m

sinCsinCsinA.