复习参考题教学目标设计

平面向量的数量积运算（第二节复习课时）

佛山市大沥高级中学高三数学备课组

授课：周智杰

一、教学目标：

1、

运用公式、简单几何图形进行数量积运算，平面向量垂直关系的应用。

2、

运用数量积公式求两个向量的夹角和向量的模。

二、平面向量的数量积考纲：

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

三、知识点

1．平面向量数量积的有关公式

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．

结论

模

夹角

几何表示

|a|＝a·a

cos θ＝坐标表示

2|a|＝x1＋y21

a·b|a||b|

cos θ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1·x2＋y2

a⊥b的充要条件

2.

常用公式：

222a·b＝0

2x1x2＋y1y2＝0 ab(ab)a2abb

四、课前练习

2a2abcosb

1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(

) A．(－15,12)

B．0

C．－3

D．－11 A．(－15,12)

C．－3

B．0 D．－11 解析：选C

∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，

∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3．

2、（2016年全国I卷高考）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a

b，则x=

. 【答案】2

33．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a______，a·b＝________．

解析：因为a＝(－2，－6)，

所以|a|＝－22＋－62＝210，

又|b|＝10，向量a与b的夹角为60°，

1所以a·b＝|a|·|b|·cos

60°＝210×10×＝10．

2答案：210，10 4．(2016·北京高考)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．

解析：由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2，

a·b＝1×3＋3×1＝23．

233设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝．

2×22π∵θ∈[0，π]，∴θ＝．

6π答案：

6五、课堂评练：

1、向量数量积运算

例1、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，

―→―→则AB·AD＝________．

解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝22，

―→―→―→―→―→∴AB·AD＝AB·(AC＋CD) ―→―→―→―→＝AB·AC＋AB·CD

―→―→―→―→＝|AB|·|AC|cos 45°＋|AB|·|CD|cos 45°

＝22×2×22＋22×1×＝6．

22法二：建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得A(0,2)，B(－2,0)，

D(－1,0)，

―→∴AB＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，

―→AD＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，

―→―→∴AB·AD＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6．

答案：6 练习1、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，E是DC靠近点C的三等分点，求ABAE________．

解析：DE2,ABAEAB(ADDE)ABADABDE

0ABDECOS0O6

巩固练习：课后习题1、2、6、7. 2、运用数量积求向量夹角

例2．(2017·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(

A．π6

B．ππ4

C．3

D．2π3

解析：选B

∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－2a，b＝0，∴a，b＝22，∴b＝π4．

练习2．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为(

) A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

解析：选B

(a＋2b)·(a－3b)＝－18，

∴a2－6b2－a·b＝－18，

∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a·b＝－18，

∴a·b＝3，∴a，b＝a·b|a||b|＝36＝12，

∴a，b＝60°．

巩固练习：课后习题8、9。

3、运用数量积求向量的模

例3．（1）a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；

（2）已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°．计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；

（1）

) a，

（2）法一（公式法）：(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝43．

②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，

∴|4a－2b|＝163．

法二（几何法）：

练习3 、(2017·合肥质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝(

) A．2

B．2

C．22

解析：选B

由a⊥(a－2b)得，a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0，则|a－b|＝a－b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|b|＝2，故选B．

巩固练习：课后习题3、4、5、10. 六、小结

1、平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，通常出现在选择题或者填空题。当出现线性运算问题时，要选好基底向量，注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等. 2、向量数量积的2种运算方法

方法

定义法

运用提示

当已知向量的模和夹角θ时，可利适用题型

适用于平面图形中的向量数量积

D．4 用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ

的有关计算问题

当已知向量的坐标时，可利用坐标适用于已知相应向量的坐标求解坐标法

法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，数量积的有关计算问题。

y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2

七、课后习题

1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝(

) A．－6

B．10

C．5

解析：选D

∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，

∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D．

12．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的3值为(

) 9A．4

B．－4

C．

49

D．－

4D．10 解析：选B

∵n⊥(t m＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，

即t m·n＋|n|2＝0，

∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0．

31又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，

43解得t＝－4．故选B．

3．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(

) A．2

B．3

C．2

D．4 解析：选C

由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，所以|a|＝1＋x2＝4＝2．

2π4．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为3，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于(

) A．3

B．23

C．3

D．4 1a，b＝8，所以4＋2|b|×＝8，2解析：选D

因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b解得|b|＝4．

5、2017文科数学（全国II卷）.设非零向量a，b满足a+b=a-b则

Aa⊥b B. a=b C. a∥b D. ab

【答案】A 【解析】由|ab||ab|平方得(a)22ab(b)2(a)22ab(b)2，即ab0，则ab，故选A.

6、（必修四108页A2改编）△ABC中，a=5,b=8,C=60°，CACB___20_____，BCCA____-20____．

7、2017年数学文2）1）（全国Ⅰ卷）已知向量a=（–1，，（m，．若向量a+b与a垂直，则m=________．

b=【答案】7 【解析】

试题分析：由题得ab(m1,3)，因为(ab)a0，所以(m1)230，解得m7

5―→―→8、在△ABC中，AB＝(2，3)，AC＝(3，2)，则△ABC的面积为________．

2

9.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．

解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，

所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，

即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，

则m＝(－2,1)，n＝(－1,2)，

m·n4所以cos〈m，n〉＝＝．

|m||n|54答案：

5

―→―→―→―→―→―→―→―→―→10．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2．若AP＝λ

AB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

―→―→―→―→―→解析：BC＝AC－AB，由于AP⊥BC，

―→―→所以AP·BC＝0，

―→―→―→―→即(λAB＋AC)·(AC－AB) ―→―→―→―→＝－λAB2＋AC2＋(λ－1)AB·AC

1－

＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×2＝0，解得λ＝7答案：

12

7．

12