构建知识体系教案设计范例

二次根式

一、知识结构

本章在同学们学***方根和算术平方根的基础上进一步学习二次根式的有关知识。主要内容有：二次根式的概念、性质、化简和二次根式的运算。

下面向同学们介绍一下本章知识的相互联系，它们可用知识结构框图表示：

二

次

算根术

平

—

式

—

二次根式的性质

—

二次根式的化简

的概

方根

念

|

二次根的运算

|

|

|

二二二

次次次分母根根根

式式式有

理的的的加乘除化

减法法

二、本章的重点与难点

重点：同学们从结识结构图中可以看出，二次根式的化间和运算是本章的学习主线，故是学习的重点。

难点：现在学习的二次根式，根号内常含有字母，在化简和运算过程中不可避免地涉及根号内所含字母的取值范围的确定和讨论，故是本章学习的难点。

三、学习辅导

(一)、二次根式中的两个“非负”

对于二次根式a，有两个“非负”：第一，根据二次根式的定义：式子a(a≥0)叫做二次根式，可以知道a≥0；第二，根据算术平方根的定义，可以知道a≥0，弄清这两个“非负”，才能顺利地学习二次根式的化简和计算，但是许多同学在学习的时候往往忽视这两点，造成解题错误，因此，我们在学习时必须抓住以下两点：

㈠．二次根式中被开方数（或被开方式的值）必须是非负数，这是二次根式有意义的条件，也是进行二次根式运算的前提，如公式(a)2=a,仅当a≥0时成立。

例1.下列各式有意义时，求表示实数的字母的取值范围：

⑴s2a；

⑵(4x)2；

⑶x+x

解⑴∵－5－2 a≥0

∴a≤5

2

⑵对于任何实数x，都有(4－x) 2

≥0，故x为一切实数

⑶x有意义，须有x≥0；

足x≥0和x≤0的x只有x=0 x有意义，须有－x≥0,即x≤0而同时满20033a1|a|11|a|例2.求值：

1a1a解：要使每个根式有意义，必须使|a|－1≥0，且1－|a|≥0，即|a|=1 3(1)10但分母1－a≠0，故a=－1，从而原式=1(1)2003=(－1)2003=－1 ㈡.二次根式a的值为非负数，是一种常见的隐含条件。

例3.若(x2)2=2－x

求x的取值范围

解：∵(x2)2≥0

∴2－x≥0

即x≤2 例4.若2xy8+x2y1=0

求xy

解：2xy8和x2y1=0 都是非负数，

要使2xy8+x2y1=0 2xy80只有

x2y10x3解得：

y2于是xy=3－2=1

9根据a是非负数这一结论，课本上给出一个重要公式：

aa2=|a|=a(a0)

(a0)在应用这个公式时，先写出含绝对值的式子|a|，再根据a的取值范围进行思考，可避免错误，这类题目一般有以下三点：

1．被开方数是常数

例5. 化简(12)2

解：∵1－2＜0

∴(12)2=|1－2|=2－1

2 被开方数是含有字母的代数式，但根据给出的条件，先确定被开方式a2中的a的符号。

例6．已知a=－2

b=－3 求a50a3b－a2b218a的值

b3分析：要防止以下的错误：原式=5a22ab－3a22ab=2a22ab

再把a=－2，b=－3代入求值，得原式=163

这是因为先化简中没有考虑条件a＜0

b＜0 解：∵a＜0

b＜0

∴原式=－5a22a2b－3a22ab=－8a22ab

当a=－2，b=－3时

原式=－643

11例7. 已知0 ＜x＜1，化简：(x)24－(x)24

xx1111解：原式=(x)2－(x)2=|x+| －

|x－| xxxx11∵0＜x＜1

x+＞0

x－＜0 xx11∴原式= x++ x－=2x xx例8．如果(3x)2=x－3

(x5)2=5－x

化简

3612xx2+x220x100

解：由x－3≥0

5－x≥0

知3≤x≤5 ∴3612xx2x220x100=|6－x|+|x－10| =(6－x)+(10－x)=16－2x 3．被开方数是含有字母的代数式，必须根据字母的取值范围进行分类讨论

例9．化简（a－3）解：由被方数故原式=(a－3)1

3a1≥0，知3－a＞0 3a3a1=(a－3)·(3a)23a3a

(3a)3a3a

3a练习：

1．求下列各式中，x的取值范围：

=⑴152x

；

⑵2x1+12x

2．若x26x9－3+x=0

求x的取值范围

当a=3时，求|1－a|+a24a4的值

24．化简

x1

x㈡、与同学们谈二次根式运算的合理化

在二次根式的运算中，合理的运算程序可使运算简捷、正确，这就要求同学们进行细心观察，反复推敲，并掌握一点规律。

1．根据数的特点合理变形

例1．化简：146535

分析：直接进行分母有理化，分子的计算较繁，如将分子配成完全平方，就正好能约分，得到简化。

解：原式=(35)235=3+5

例2．化简12186262

解：将分子、分母分别提取公因式

原式6(231)2(231)13

2．先化简，后求值

例3．已知：x=23，y=123，求1010的值

x1y1分析：直接将x,y代入，或化简后代入，都不方便，注意到

xy=123·123=1 得101010(xy2)10(xy2)10

x1y1xyxy1xy2

3、从整体着手

解4. 已知8x+5x=5，求(8x)(5x)的值

分析：先求出x的值是不可取的，因此从对条件变形入手。

解∵8x+5x=5，两边平方，得

8－x+2(8x)(5x)+5+x=25 从而有(8x)(5x)=6 例5. 已知15x2－25x2=2，求15x2+25x2的值

分析：注意到已知和待求值的代数式的结构特点

可设15x2+25x2=A（A＞0）

解：设15x2+25x2=A 2215x25xA(1)∴

2215x25x2(2)①2+②2

得A2+4=80 ∴A2=76

∴A=219

四、试试看[第一章

二次根式自测题] 1．判断题

(1)．6xx=18x3x－－－－－－－－－－－－－－－（

）

3(2)．(x1)(x2)=x1·x2

（x≥1）－－－－（

）

(3)．若a=2+3，b=123，则a＞b－－－－－－－－（

）

(4)．当a＜0时，－2a2．填空题

b=－2ab－－－－－－－－（

）

2a(5)．化简：(12)2=__________________；

(6)．化简：3a2b(b＜0)=_________________；

(7)．化简：262102=_________________；

(8)．化简：(0.2)4=___________________；

4c3(9)．化简：=_____________________；

59ab(10)．当a＜－7时，则(a7)2=___________；当a＞3时，

则(a2)2(3a)2=_______________；

a2a2(11)．当a______时，=1，当a_______时，=－1；

aa(12)．1－32的有理化因式是_______________；

(13)．当x取________时，102x的值最小，最小值是_______；

当x取________时，2－5x的值最大，最大值是________；

(14)．在实数范围内分解因式：x2－22x+2=_________；

a+5)2+2ab=0

则a+b=__________。

43．把下列各式分母有理化：

(15)．若((16)．3107xyxy

；

(17)．

；

(18)．1aabb(a≠b) 4．计算

11132+50

；

8－(19)．352(20)．(526)(23) (21)．(123)(123) ；

(22)．a1a1a1a1aa1

；

5．化简

(23)．(x4)2(x1)2

(x＜x＜4)

x2y22xy(24)．(x+y)

(x＜y＜0) x2y22xy6．已知：x=112

，求代数式3－x24x4的值

7．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足连AE 若AB=a，BC=1 ，求△AED的面积