2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示第二课时教案

“体现高中数学相关分支教育价值的教学设计”--

《平面向量的基本定理与正交分解》（人教A必修4第2章第3节）

一、

教学设计

内容和内容解析

“平面向量的基本定理与坐标运算”是必修4第二章第三节的内容,共需2课时。前两小节主要是坐标向量概念的构建,其核心内容是平面向量基本定理;后两小节以运用概念计算为主.为了让学生对定理能有完整的认识,我将“平面向量的基本定理”与“平面向量的正交分解”合成一个课时，剩下的坐标部分归于第２课时．

本节之前是由实际问题引入向量概念，研究向量的线性运算，较集中地反映了向量的几何特征，本节之后的教材主要是研究向量的代数运算。向量的优势更多地体现在于沟通几何与代数的联系，进而通过代数运算来研究几何和其它的问题,而连接两者的关健就是基本定理；所以在向量知识体系中这个定理具有核心地位，是向量中承前启后的内容.

另外，它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生体会数学的思维方式方法，帮助学生进行数学的思考和说理，对学生的数学能力发展是十分重要的.

目标和目标解析

（1）理解平面向量的基本定理，具体要求为：

①运用已有知识研究平面向量基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程；

②体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用；

③将向量的“唯一分解”与实数对的“一一对应”建立联系，奠定了建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义. （2）掌握向量的正交分解，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会将给定的向量正交分解；通过向量正交化、坐标化的探索，激发学生探索、合作与交流的意识，体会从一般到特殊的研究规律，逐步培养求简思维与模型化思想．

（3）①通过体验平面向量的基本定理的探究过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力；

③在教学中体会知识的形成过程,体会数学的思维方式方法，感受数与形的和谐统一。

教学问题诊断分析

本节围绕向量在两个基底上的唯一分解展开，在物理中已有了将力、速度进行分解的经验，和向量线性运算的经验，引入基底这一概念比较自然，但很多学生在学习中只是依样画葫芦，并不清楚引入基底这个概念的意义，更不能很好地选择、运用基底进行运算求解。

教学中许多教师并未将本课的理论学习置于教学中心,在对定理进行平铺直叙后,即将重心快速转向坐标的表示与运算.这类知识的教学一直困扰我很久，是简单让学生记住公式结论，纯粹地模仿技能，还是让学生通过思考、探究、实践，总结出公式结论呢？思考后我认为,决不能让学生的主体参与被削弱,对定理的理解与领悟被剥夺,而难以产生真正意义上的思想共鸣,也为向量的本质理解与数形结合的运用埋

1

下了隐患.尤其是在解决平面向量的有关问题时,学生就会偏向于代数解决(坐标化),有时会由于代数推理能力的不足,半途而废.而一旦问题偏离了思维方向,需要通过几何构图来解决,则会无从下手而望题兴叹. 教学支持条件分析

往年教学中，大多学生只是记结论，根本不理解其发生过程。虽然可以利用结果求解一些题目，但不利于学生思维深度性和活跃性的培养。高中对平面向量基本定理的研究,并不是严格的证明,故通过教育技术的运用来帮助学生理解,这一过程能在教学中有充分地展现,这也是关注教学过程,帮助学生养成动手动脑的习惯. 定理的教学过程比较枯燥，为了提高学生学习的信心和兴趣，需要有一个比较有新颖的引入。如何体现“新颖”呢？我认为多媒体课件的使用在这方面起到了不小的作用。通过课件展示向量化的方块字“江”（我的姓氏），能激发学生学习的兴趣和主动性，在教师引导下师生增进彼此亲近感，消除了学生的焦虑心理，学生的主动性受到了激发，获得成就感。

另外现在的许多软件具有很强的交互性,故在教学中我充分地运用信息技术,使学生的学习富有乐趣,同时又可以通过不同的方式来刺激学生,帮助学生迅速地掌握教学内容. 教学过程设计

（一）．课题引入（采用多媒体）江的硬笔书法（此处链接一flash动画）

①自我介绍，从姓氏“江”字引出向量话题

课件展示“向量化”的方块字：笔画顺序---方向

线段长度—大小

A

②提问1：是否存在相等的向量？存在，有哪些？

G I H C 学生：长度相等且方向相同的向量即为相等的向量

B 教师：强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起点位置

D 无关. F K E J 图1 L 提问2：怎样才能让自己写出来的字比较好看呢？起笔落笔该在什么位置？（教师出示一张书法用纸）

教师：请同学们试着在纸上写自己的姓氏。

学生：学生拿出准备好的书法用纸开始试着写自己的姓氏。

y A B D F K E o L G I H 教师：如果没有书法用纸写出来的字有这么好看吗？

学生：没有。

教师：这是什么原因呢？

学生：字的框架结构该不好布置，位置不好确定。

教师：对，非常好！大家看第二图（用多媒体演示做好

的课件），大家发现了什么？有这样一张纸你们能写出x 和老师一样的“江”字吗？ J 学生：字的位置好确定了，能了。 教师：很好！平面内每一个点都可以用一对实数

图2

2 C

(即它的坐标)来表示，那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也可以用一对实数来表示？如果可以，会是如何？为了解决这个问题，我们需要学习一些预备知识. 板书课题：平面向量基本定理及正交分解

设计意图：利用向量化的方块字引入，比较生活化有新意，激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机．另外，教师要抓住每一次在新课中复习旧知的机会。

③引入新课---平面向量基本定理及正交分解

（二）．新课讲解

1.平面向量基本定理

问题1：我们看课本P92习题2.2(A组)12题: △ABC中, AD

AB,DE//BC,且与边AC相交于点E, △ABC的中线AM与DE相交于点N,设 , ,用a、b表示向量,,,,,,. 14

类似的,用两个不共线的向量来表示其它向量的问题在例题和习题中还有多处. 从这些题目中我们不难发现,图中所有的向量都可用向量a、b来表示,那么自然地会问这样一个问题:平面内的任意一个向量是否都能用类似12题的方法,用给定的两个不共线的向量来表示呢?

说明：有些学生通过作图来说明这一问题,在解决问题时提醒学生,这里的向量是自由向量,其始点是可以移动的,所以在用纸笔作图时,将三个向量的起点放在一起可便于研究问题.教师可循着学生的思路通过计算机作图来帮助其他学生认清这个问题.

问题2：从前面的研究中我们发现任意一个平面向量都可以用两个不共线的向量表示,那么对于给定的向量a及向量e1,e2,若要将a用e1,e2表示其形式是怎样的?

说明：通过电脑作图让学生体会a可能与e1,e2中的一个共线,也可能与e1,e2都不共线, 引导学生得出结论 . 教师也可以通过在电脑作图来展示不同的 1,2所作出的向量a.

事实上在物理上也常有将一个力分解成若干个力,将几个力合成为一个力. 可以看作是力的分解合的成向量表示形式. 从前面的研究及力的分解合成的经验可以发现:向量 ,中的 1,2是唯一确定的.

由此我们有定理: 平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 ,2使 . 1D

我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base).

例1：已知向量e1,e2求作向量 （课本上P94例1） . M C A 变式训练1：如图，在梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,M,N分别为DC,BA的中点，

3 N B

若 此例为例1的适度延展) b表示 (DC,BC,MN.ABa,ADb,试用基底a、

设计意图：通过这两个题的探究，立足于课本知识点，使学生明白用基底表示向量的关键就是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来，但要仔细观察所给图形. 1AEFCAC，试用向变式训练2:已知平行四边形ABCD中,E、F分别是对角线AC上的两点，且 4量方法证明四边形DEBF也是平行四边形.

设计意图：通过例题的改编与练习化、从正向作图到逆向作图、从作图的直觉

累积到数量表示的分析体会、从交点的唯一性到

实数对的唯一性，从猜想的逐步证实到定理的最

终归纳，实现了平面向量的形象化到数量化的自然转化与数、形的统一．在此过程中，少了一些教

师的主动牵引，却多了一分学生的主动领悟．

分析的设计：教师请同学分析本题解法，再请同学上黑板板书。(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步)

（学生板书完马上抛出问题3）

问题3：（1）变式训练1和2中的a、b是什么？能否用别的向量来代替它们呢？

（2）通过上述学***家认为“平面向量基本定理”的本质是什么？它为何被称为“基本定理”？

学生思考发言完教师归纳：在平面内，一旦基底确定，则每个向量的分解都是唯一的．从表面上看，定理的本质就是向量的分解．换个角度，一个确定的基底能构造出平面内的所有向量以至于整个平面，这才是定

理的本质．这样，所有向量都可以由同一个基底联系在一起，使得问题的研究更加简便．而前面所学向量的线性运算（加减法与数乘）均蕴含其中，故该定理是向量研究的基本出发点，命名为基本定理实至名归．

设计意图：本处设计揭示了基底的任意性．对“基底”意义与实数对的渐进探究，既说明了基底是构成平面的单元，又说明了每一个基底都能形成一个平面系统，体现了基底寓基础性与系统性于一身．通过的渐进性练习，学生在知识的运用中理解了向量表示的唯一性．进一步地，通过对“基本定理”的本质与名称的源头探究，既揭示了知识的来龙去脉，又形成了知识的联系，更强化了思维的求简，为后续的学习作了铺垫．这样的渐进式处理的最大好处就是让学生有一个逐步领悟的时间与空间．

问题4：（1）上述问题说明一组平面向量的基底可以有多少对？为什么？

（2）为什么将两个不共线向量e1,e2称为基底呢？

（3）若基底选取不同，则表示同一向量的实数对是否一定不同？

（4）由于基底的任意性，使得平面向量的分解具备了较大的灵活性，这种灵活性可能会带来操作上的一些麻烦．你认为麻烦的原因是什么？能否简便？

预设１：

两个基向量的夹角可变化．可固定其夹角，取直角是最简单的选择．

预设２：进一步地，如果学生还能发现“两个基向量的模也可变化，可固定其长度，比如取单位向量是最简单的选择”，那么下面的几个问题即可被合理地压缩．

4

问题5：选取两个互相垂直的向量作为基底的想法很特殊，也很简单，这恰好体现了数学的求简思维．这种处理方式以前学过或用过吗？

预设联想物理中的力的分解，常常按垂直

的两个方向进行力的分解，一般称之为力的正交分解．

（接着学生自行阅读教材中的相关内容．）

2.平面向量的正交分解

问题6：向量是既有大小又有方向的量，其大小用模来刻画．两个非零向量可能共线也可能不共线．那么，如何刻画两个非零向量的位置关系呢？

不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量,,作(如果与的夹角是)叫做向量,的夹角.当.我们说与垂直,记作. 时,与同向;当,,则时, 与反向.

课本用光滑斜面上木块的受力为例说明正交分解. 这个问题学生相对是比较熟悉的可比较快地通过,也可以让y A B G

9 I 6 5

H 学生说说在物理中正交分解的优越性.（让学生明白：如果取互相垂直的向量作为基底，会为我们研究问题带来方便。）接着我选择了再返回到引入中的问题： (老师姓名中隐藏的向量问题) C 。 若与x轴正方向相同的单位向量----i, D 2 F o

-9 -7 -6 -4 -2

K

J E 图3 5 8 x L 与y轴正方向相同的单位向量---j

①GH,IJ,KL怎样用i，j表示？

学生：与x轴方向平行的向量可以用实数与i的积表示，与y轴方向平行的向量可以用实数与j的积表示。

②：对于既不与x轴方向平行也不与y轴方向平行的向量，如：AB,CD,EF还能用i、j表示吗？怎么表示？

学生：思考，并讲出自己的想法。

教师总结：不能“单独”表示，尝试“合作”表示，由此可链接哪个知识点（涉及一个向量用另两个向量线性表示）？

学生：平面向量的基底表示

单位向量

i、j是同一平面内两个不共线的向量，故可作为基底，而且还具有不同于一般基底的特殊性--(i)单位向量|i||j|1；(ii).互相垂直ij。由平面向量基本定理得：ABCD33i,EF54i（实数对,是唯一的）。

12设计意图：①循序渐进地向学生抛出一个接一个的问题，在不知不觉中学生理解了向量的正交分解的形成

5

过程，分解了本课的难点。

②对于两个非零向量的位置关系，共线或不共线只是形的刻画，夹角才是数的表示．从数和形两个角度去研究向量正是向量的本质体现．是本节课的思维走向与思想发展的基调，而考虑特殊位置既是从特殊到一般的认识规律的体现，也是数学研究中的常用方法．通过运算的回顾及其图形表示，由位置关系引出夹角概念，从运算到图形，从位置到数量，从数到形，再从形到数，始终从数形结合的视角去揭示向量的本质．教师提出问题而不急于回答，目的是给学生一个领悟的时间与机会．

3. 平面向量的基本定理与正交分解的结合

请学生结合向量基本定理及正交分解,思考平面内的任一向量是否都可以用x轴和y轴上的单位向量来表示.在学生讨论的基础上,请学生做下面的例题.

例2：设x轴和y轴上且方向与轴的正方向同向的

单位向量分别用向量i、j来表示.试用

i、j来表示图中的向量.

（请学生回家后尝试自学坐标部分内容）

设计意图：这里想让学生体会i、j的系数得出的有序数对与向量间的对应关系.为下节课的坐标表示和运算做好充分的理论准备。形象思维帮助抽象理解，加深

（让学生相互交流，加深感悟。）了平面向量基本定理的应用。通过自学向量坐标表示及运算，训练学生自学能力，以及学习的主动性。

4.小结的设计：

通过本节课的学***家来交流一下，你掌握了哪些知识？学会了什么方法？获得了什么感悟？你还有什么想法？

学生回答并相互补充：

（１）学习了向量的夹角（范围），平面向量的基本定理（基底），向量的正交分解（单位正交分解）（２）从数和形两个角度去研究向量是向量的本质体现．（平面向量是数与形的天然结合体，是数形结合思想的自然产物，故从数、形两个角度去思考与解决向量问题既合情又合理）

（３）平面向量基本定理实现了向量问题的数量化，其本质是平面向量的分解．

二、

教学实践心得

平面向量的正交分解及坐标表示的教育价值的挖掘与思考

教学需要设计，然而，再巧妙的预设也难以预测生成的全部.故我们要精心创设问题情境，激发创造灵感，引发思维风暴.课程标准指出：学生应“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”，对我们教师提出了新的要求，课堂不止是教会学生如何使用结论，更重要是教会学生如何获得结论。本课是我对这一要求的一种探索与尝试。现总结为以下三个方面。

1、

做好“引导者”

数学教学，不仅要传授给学生必要的基础知识和基本技能，更重要的是在于培养学生具有主动参与、积极探索创新的学习能力。学校领导多次强调：要改变课堂教学中学生默默观看，老师忙忙碌碌地操作的

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被动的学习模式，要适当地引导学生动手操作，培养学生的学习兴趣，积极探索。变“要他学”为“他要学”，变“学会”为“会学”。把课堂还给学生，让学生成为真正的学习的主人。为了激发学生学习的热情，我以自己姓氏引入，极大调动了学生的积极性，为整节课的课堂效果作了一个很好的铺垫，把课堂气氛推向高潮，收到了意想不到的教学效果. 2、

做好“组织者”

无论什么时候，学生的层次总有不同，知识背景、实际能力也存在差异，组织好教学内容及学习过程，因材施教永远是我们要考虑的问题。在现代技术的背景下，越来越多的新技术手段都是对传统教学手段的有益补充，如何用好这些手段，同样需要我们用心将其整合到教学中去，以期让所有学生都能从中或多或少有所收获。

在本节课教学中，为了突破本节课的重点和难点——对平面向量的坐标表示生成过程的理解。通过设置铺垫，蓄势成渠，通过学生之间的讨论补充总结出最关键的内容，从而引起学生对重难点的理解，达到较好的教学效果。

3、

做好“合作者”

在我的铺垫和引导下，学生不断观察思考中，完成了本节课的教学目标。故我认为在教学中，教师的活动与学生的活动相互独立又依存。作为教师，必须把握自身所处的位置，充分恰当地发挥主导作用，更要充分发挥和调动学生学习的积极性、主动性。

4、 对于平面向量的基本定理教学的相关考虑：

（1）平面向量的基本定理由原实验教材的“掌握”变成了新课标中的“了解”。这一基本定理是正交分解的理论基础，是向量恒等变形中“消元”的基本依据，应用这一基本定理可以更加灵活的解决一些向量问题.“了解”更适应数学基础课的要求，适应所有学生的学习要求。

（2）从教学功能上，平面向量的正交分解基本可以替代基本定理。正交分解可以直接证明，方法及思想与基本定理相同；同样包含了“消元”的基本思想方法（平面中任一向量都能表示成两个基底的线性组合）；正交分解同样有多种选择性。

(3)从学生的主体作用看，若先学平面向量的正交分解，再学基本定理，更适合从特殊到一般的研究规律。有学生前面一维向量（轴上向量）的坐标表示，以及平面直角坐标系与数轴的相关研究过程，平面向量用两个互相垂直的单位向量表示，比两个不平行的向量表示应该更自然；基本定理作为所有学生要了解的内容，也是部分同学可以有所拓展的内容，有了之前的正交分解的研究作为基础，更容易通过类比加深理解。

向量是个新内容，内涵丰富，承前启后，若学生对这块知识的的掌握浮于表面，则不利于他们数学思维的培养，可能会因为练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解知识的本质。故不能简单地告诉学生定义、结论，应通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。引导学生获得对问题本质的认识是一个很具有挑战性的教学活动，企图在一节课中就实现各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思，逐步深刻理解并运用它们. 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！

三、

专家点评

这堂课给人的感觉是水到渠成，如沐春风，教师教得亲切，自然，活泼，学生学得轻松愉快，全堂课流畅、自然。从探究新知到新知梳理，再到学以致用，学生的学习能力构建严谨。是一堂精彩的数学课。

特别的有以下几点值得我们学习：

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1、本节课教师教学设计合理，教学内容难度符合该班学情（奥赛班）。

2、教师利用向量化的方块字引入，比较生活化有新意，激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机，极大的激发了学生的学习兴趣。

3、合理使用网络资源，既体现教学的直观性，又节省了教学时间，扩大了课堂的容量。

4、教师大胆冲破教材原有的框架，活用教材，加重了定理的教学篇幅，注重教给学生思考的方法，重视培养学生的思维能力，整节课，教师善于启发学生从多角度、多方面去挖掘其思路，鼓励他们大胆的讲出自己的不同看法，并及时给予肯定或鼓励.但整个教学过程，教师几乎没有代替学生做过任何结论，教师总是引导学生发现问题，然后引导他们找到解决问题的途径，获得学习体验。由例1及变式训练提出的一连串问题揭示了基底选择的过于自由则带来了麻烦，这里既蕴涵了一定的辩证意味，又引发了一定的认知冲突．而教师的“追问”甚至于“逼问”不断地“触

动”学生的思维，“解剖”问题的本质，不断地“振动”思想的共鸣，学生也获得了更多的数学美与真的感受与熏陶．

5、本课最后设计的应用延伸题目，让学生运用所学知识，来挑战自己的自学能力，使学生真正成为学习的主体。

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