2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案1

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

【学习目标】: 1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：

复习1：向量b、aa0是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以表示为

. 复***面内任意两个向量e1、e2，请同学们作出向量3e12e2、e12e2.

（二）自主探究：（预习教材P93—P96）

探究：平面向量基本定理

问题1：复***面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示？

1.平面向量的基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个

的向量，a是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1,2,使

。其中，不共线的这两个向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底。

问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？

2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a,b，作OAa,OBb，则

叫做向量a与b的夹角。如果AOB,则的取值范围是

。当

时，表示a与b同向；当

时，表示a与b反向；当

时，表示a与b垂直。记作：ab.在不共线的两个向量中，90，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示：i___________,j_________,o___________

二、合作探究

典型例题：

1、已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），O为原点，则OA=________，

OB=_______。

2、已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且|a|则a的坐标为__________。

4，

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3、已知两向量e1、e2不共线，a2e1e2，b3e12e2，若a与b共线，则实数=

.

4、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若BC5e1，DC3e2，则OC等于多少？

四、达标检测（A组必做，B组选做）

A组：

1. 设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（

）

①AD与AB②DA与BC③CA与DC④OD与OB

A.①②

B.③④

C.①③

D.①④

2. 已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足3x4ye12x3ye26e13e2，则xy的值等于（

）

A.3

B.3

C.0

D.2

3. 若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则（

）

A.OCOAOB

B.OC＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为

B组：

11OAOB

C.AB2OC

D.OCOAOB

224.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD1、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（

）

1111Ａ．（

a－

b）Ｂ．

－（

a－

b）Ｃ．－（

a＋b）Ｄ．（

a＋b）

22222、已知点A（2，2）

；

B（-2，2）

；C（4，6）

；D（-5，6）；

E（-2，-2）

F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量AC

BD

EF并求向量AC

BD

EF的坐标。

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示的答案

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1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：

复习1：向量b、aa0是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以表示为b

=a

. 复***面内任意两个向量e1、e2，请同学们作出向量3e12e2、e12e2.

（二）自主探究：（预习教材P93—P96）

探究：平面向量基本定理

问题1：复***面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示？

1.平面向量的基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个

不共线

的向量，a是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1,2,使

a= 1e12e2

。其中，不共线的这两个向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底。

问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？

2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a,b，作OAa,OBb，则

叫做向量a与b的夹角。如果AOB,则的取值范围是[ 0，]。当

=0

时，表示a与b同向；当

=

时，表示a与b反向；当

90

时，表示a与b垂直。记作：ab.在不共线的两个向量中，90，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解

为互相垂直的两个向量___，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个

单位向量_作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得_向量a=xi+yj___，这样，平面内的任一向量a都可由__x，y__唯一确定，我们把有序数对_（x，y）__叫做向量的坐标，记作a=_（x，y）__此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示：i___________,j_________,o___________

二、合作探究

典型例题：

1、已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），O为原点，则OA=_（2，3）_，

OB=_（6，5）___。

2、已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且|a|则a的坐标为（23,2）。

4，

3、已知两向量e1、e2不共线，a2e1e2，b3e12e2，若a与b共线，则实数=



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3

4

4、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若BC5e1，DC3e2，则OC等于多少？

OCAC(ABAD)e1e2

2222

四、达标检测（A组必做，B组选做）

A组：

1. 设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（

C

）

①AD与AB②DA与BC③CA与DC④OD与OB

A.①②

B.③④

C.①③

D.①④

2. 已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足3x4ye12x3ye26e13e2，则xy的值等于（

A

）

A.3

B.3

C.0

D.2

3. 若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则（

B

）

A.OCOAOB

B.OC1153＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为

-8

B组：

11OAOB

C.AB2OC

D.OCOAOB

224.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD1、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（

D ）

1111Ａ．（

a－

b）Ｂ．

－（

a－

b）Ｃ．－（

a＋b）Ｄ．（

a＋b）

22222、已知点A（2，2）

；

B（-2，2）

；

C（4，6）

；

D（-5，6）；

E（-2，-2）

;

F（-5，-6）在平面直角坐标系中，分别作出向量AC

BD

EF并求向量AC

BD

EF的坐标。

AC＝(2，4) BD＝(-3，4) EF＝(-3.-4)

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