4. 阻尼振动 受迫振动教学设计与反思

第4节阻尼振动受迫振动

对应学生用书P111.系统的固有频率是指系统自由振动的频率，由系统本身的特征决定。物体做阻尼振动时，振幅逐渐减小，但振动频率不变。

2．物体做受迫振动的频率一定等于周期性驱动力的频率，与系统的固有频率无关。

3．当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，发生共振，振幅最大。

4．物体做受迫振动时，驱动力的频率与固有频率越接近，振幅越大，两频率差别越大，振幅越小。

阻

尼

振

动

自读教材·抓基础

1．阻尼振动

系统在振动过程中受到阻力的作用，振动逐渐消逝(A减小)，振动能量逐步转变为其他能量。

2．自由振动

系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下，振幅不变的振动。

3．固有频率

自由振动的频率，由系统本身的特征决定。

跟随名师·解疑难

1．简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。

2．阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动。

3．阻尼振动与简谐运动的对比。

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产生条件

振幅

频率

能量

阻尼振动

受到阻力作用

越越小

不变

减少

简谐运动

不受阻力作用

不变

不变

不变

振动图像

实例

学后自检┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)

自由摆动的秋千，摆动的振幅越越小，下列说法正确的是(

) A．机械能守恒

B．能量正在消失

C．总能量守恒，机械能减小

D．只有动能和势能的相互转化

解析：选C

自由摆动的秋千可以看做阻尼振动的模型，振动系统中的能量转化也不是系统内部动能和势能的相互转化，振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行能量交换。系统由于受到阻力，消耗系统能量做功，而使振动的能量不断减小，但总能量守恒。

受

迫

振

动

自读教材·抓基础

1．持续振动的获得

实际的振动由于阻尼作用最终要停下，要维持系统的持续振动，办法是使周期性的外力作用于振动系统，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗。

2．驱动力

作用于振动系统的周期性的外力。

3．受迫振动

振动系统在驱动力作用下的振动。

4．受迫振动的频率

做受迫振动的系统振动稳定后，其振动周期(频率)等于驱动力的周期(频率)，与系统的第

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用锤敲锣，锣面的振动

弹簧振子的振动

固有周期(频率)无关。

跟随名师·解疑难

自由振动与受迫振动的对比

受力情况

振动周期或频率

振动能量

常见例子

学后自检┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手) (江苏高考)如图1－4－1所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz。现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为(

)

自由振动

仅受回复力

由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率

振动物体的机械能不变

弹簧振子或单摆

受迫振动

周期性驱动力作用

由驱动力的周期或频率决定。即T＝T驱或f＝f驱

由产生驱动力的物体提供

机器运转时底座发生的振动

图1－4－1 A．1 Hz

C．4 Hz

B．3 Hz

D．5 Hz 解析：选A

本题考查受迫振动的特点，意在考查考生对受迫振动特点的掌握。弹簧振子做受迫振动，因此振动频率等于驱动力的频率，即为1 Hz，A项正确。

共振及其应用与防止

自读教材·抓基础

1．共振

驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象。

2．产生共振的条件

驱动力频率等于系统的固有频率。

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3．共振的特征

共振时受迫振动的振幅最大。

4．共振曲线

如图1－4－2所示。

图1－4－2 5．共振的应用与防止

(1)共振的应用：

①采用方法：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。

②实例：转速计。

(2)共振的防止：

①采用方法：在防止共振时，驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。

②实例：部队过桥时用便步；火车过桥要慢开；轮船航行时，改变航向或航速。

跟随名师·解疑难

1．受迫振动和共振的比较

(1)共振是受迫振动的特殊情况：

受迫振动的频率不受固有频率的影响，但受迫振动的振幅与固有频率有关，即固有频率与驱动力频率越接近，振幅越大，当驱动力频率与固有频率相等时，振幅最大，发生共振。

(2)受迫振动的周期或频率等于驱动力的周期或频率，与系统的固有频率无关，但发生共振的条件是驱动力的频率与系统固有频率相等。

2．对共振的条件理解

(1)从受力角度看：振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而使振幅达到最大。

(2)从功能关系看：当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大。当驱动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量时，振幅才不再增加。

学后自检┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手) 第

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如图1－4－3所示，三个单摆的摆长为L1＝1.5 m，L2＝1 m，L3＝0.5 m，现用一周期等于2 s的驱动力，使它们做受迫振动，那么当它们的振动稳定时，下列判断中正确的是(

)

图1－4－3 A．三个摆的周期和振幅相等

B．三个摆的周期不等，振幅相等

C．三个摆的周期相等，但振幅不等

D．三个摆的周期和振幅都不相等

解析：选C

三个摆的振动都是受迫振动，所以振动的频率都与驱动力的频率相同，三11者的频率相同，由f＝＝

知，2的频率与驱动力的频率相同，振幅最大。而1和3Tl2πg的振幅较小，故C正确。

对应学生用书P13

典题例析

1．一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小。下列说法正确的是(

) A．机械能逐渐转化为其他形式的能

B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能

C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能

D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能

思路点拨

在阻尼振动中，振动系统的机械能减小，即动能和势能之和减小。但在一段较短的时间内，动能和势能不一定都减小，关键要看动能与势能之间是如何转化的以及转化的快慢。

解析：单摆在振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势第

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对阻尼振动的理解

能)，故选项B、C不对。

答案：AD 探规寻律

(1)振动的振幅逐渐减小，则振动系统的能量(机械能)逐渐减小，而振动系统的动能和势能如何变化，还要看振子是远离平衡位置还是向平衡位置振动。

(2)振动系统的能量不断减少，但其阻尼振动的频率是不变的，其频率为固有频率，由系统本身决定。

跟踪演练

一单摆做阻尼振动，则在振动过程中(

) A．振幅越越小，周期也越越小

B．振幅越越小，周期不变

C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变

D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变

解析：选BD

因单摆做阻尼振动，根据阻尼振动的定义可知，其振幅越越小。而单摆振动过程中的周期是其固有周期，是由本身条件决定的，是不变的，故A项错误，B项正确。又因单摆做阻尼振动过程中，振幅逐渐减小，振动的能量也在减少，即机械能在减少，所以C项错，D项对。

典题例析

2．汽车的重量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝11.5×105 N/m，汽车开动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝

2πgL受迫振动与共振

(L为车厢在平衡位置时，弹簧的压缩长度)，若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人颠簸时，人感觉到最难受？

思路点拨

(1)人感觉最难受时，汽车的自由振动频率应等于人的固有频率。

(2)汽车的自由振动频率与汽车的载重量有关。

解析：人体固有频率为2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受。

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1即f＝

2πg＝f固。

Lg所以L＝22，g取9.8 m/s2。

4πf固求得L≈0.062 1 m。

由胡克定律kL＝(m1＋nm2)g，

kL－m1g得n＝

m2g1.5×105×0.062 1－600×9.8＝(人) 70×9.8＝5(人)。

答案：5人

探规寻律

分析、解决有关共振问题的方法：

(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率时产生共振，此时振动的振幅最大。

(2)在解决有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。

跟踪演练

如图1－4－4表示一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知(

)

图1－4－4 A．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态

B．驱动力频率为f3时，振子振动频率为f3

C．假如让振子自由振动，它的频率为f2

D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3

解析：选ABC

由共振曲线知，弹簧振子的固有频率为f2，故当驱动力的频率等于f2时，振子发生共振，A正确。当振子自由振动时其频率为固有频率，C正确、D错误。当驱动力的频率为f3时，振子做受迫振动，频率等于驱动力的频率f3，B正确。

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对应学生用书P14

课堂双基落实

1．在敲响古刹里的大钟时，有的同学发现，停止对大钟的撞击后，大钟仍“余音未绝”，分析其原因是(

) A．大钟的回声

B．大钟在继续振动

C．人的听觉发生“暂留”的缘故

D．大钟虽停止振动，但空气仍在振动

解析：选B

停止对大钟的撞击后，大钟的振动不会立即消失，因为振动能量不会凭空消失，再振动一段时间后，由于阻尼的作用振动才逐渐消失，B选项正确。

2．如图1－4－5所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图像，曲线上A、B两点连线与横轴平行，下列说法正确的是(

)

图1－4－5 A．振子在A时刻的动能等于B时刻的动能

B．振子在A时刻的势能大于B时刻的势能

C．振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能

D．振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能

解析：选D

由于弹簧振子做阻尼振动，所以A时刻的机械能大于B时刻的机械能，C错D对；由于弹簧的弹性势能与弹簧的形变量(即位移)有关，A、B的形变量相等，故势能相等，所以B错；通过上述分析振子在A时刻的动能大于B时刻的动能，A错。

3．下列振动中属于受迫振动的是(

) A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动

B．打点计时器接通电后，振针的振动

C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动

D．弹簧振子在竖直方向上沿竖直方向振动

解析：选B

受迫振动是振动物体在驱动力作用下的运动，故只有B对。A、C是阻尼振动，D是简谐运动。

4．如图1－4－6所示，轻直杆OC的中点悬挂一个弹簧振子，其固有频率为2 Hz，杆第

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的O端有固定光滑轴，C端下边由凸轮支持，凸轮绕其轴转动，转速为n。则

图1－4－6

(1)当n从0逐渐增大到5 r/s的过程中，振子M的振幅变化情况是

。

(2)当n＝r/s时，振子M的振幅最大。

(3)若转速稳定在5 r/s时，M的振动周期为s。

解析：(1)当凸轮转速为n＝5 r/s时，它给弹簧振子的驱动力的频率为f驱＝5 Hz，当驱动力频率逐渐接近弹簧振子的固有频率时，其振幅逐渐增大，当f驱逐渐远离f固时，其振幅逐渐减小。因此，在n从0逐渐增大到5 r/s的过程中，其振幅先变大再变小。

(2)当f驱＝f固时，振幅最大，即n＝2 r/s。

(3)当f驱＝5 Hz时，此时振子做受迫振动，其振动频率f＝f驱＝5 Hz，其振动周期为T11＝＝

s＝0.2 s。

f5答案：(1)振幅先变大再变小

(2)2

(3)0.2

课下综合检测

1．下列说法正确的是(

) A．实际的自由振动必然是阻尼振动

B．在外力作用下的振动是受迫振动

C．阻尼振动的振幅越越小

D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件有关

解析：选AC

实际的自由振动，必须不断克服外界阻力做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，必然是阻尼振动，故A、C正确；只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动，B错；受迫振动稳定后的频率由驱动力的频率决定，与自身物理条件无关，D错。

2．下列说法正确的是(

) A．只有受迫振动才能发生共振现象

B．一切振动都能发生共振现象

C．只要振动受到阻力，它一定做阻尼振动

D．若振动受到阻力，它也可能做无阻尼振动

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解析：选AD

发生共振的条件是f固＝f驱，所以A对、B错。无阻尼振动是振幅不变的振动，当受阻力时，若外界补充能量，则也可能做无阻尼振动，C错，D对。

3．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼(翅膀)很快就抖动起，而且越抖越厉害。后人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法，解决了这一问题。在飞机机翼前装置配重杆的目的主要是(

) A．加大飞机的惯性

C．使机翼更加牢固

B．使机体更加平衡

D．改变机翼的固有频率

解析：选D

飞机抖动得厉害是因为发生了共振现象，想要解决这一问题需要使系统的固有频率与驱动力的频率差别增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故选项D正确。

4.一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图1所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图2甲所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图乙所示。

图1

图2 若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则

(

) A．由图线可知T0＝4 s B．由图线可知T0＝8 s C．当T在4 s附近时，Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，Y很小

D．当T在8 s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，Y很小

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解析：选AC

该题是考查机械振动图像和共振现象的题目。细读图中所给情景，可知：第1幅图是描述弹簧振子在不受驱动力的情况下振动情况的图像，此时的振动周期是该弹簧振子的固有周期，从图中可直接读出固有周期为4 s，A正确，B错误；当驱动力的频率与固有频率相近时，发生共振，振幅显著增大，所以当曲杆的转动周期与弹簧振子的固有周期4 s接近的时候，振幅Y显著增大，其他情况下Y很小，C正确，D错误。

5．把一个筛子用四根弹簧支起，筛子上安一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这样就做成了一个共振筛，如图3所示。筛子做自由振动时，完成10次全振动用时15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是36 r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是(

)

图3 A．提高输入电压

C．增加筛子质量

B．降低输入电压

D．减小筛子质量

15解析：选AC

在题给条件下，筛子振动的固有周期T固＝

s＝1.5 s，电动偏心轮的转1060动周期(对筛子说是驱动力的周期)T驱＝

s＝1.67 s。要使筛子振幅增大，就得使这两个周36期值靠近，可采用两种做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子的固有周期增大。正确选项为A、C。

6．一洗衣机的脱水筒在正常工作时非常平稳，当切断电后，发现洗衣机先是振动越越剧烈，然后振动在逐渐减弱。对这一现象，下列说法中正确的是(

) ①正常工作时，洗衣机脱水筒的运转频率比洗衣机的固有频率大；②正常工作时，洗衣机脱水筒的运转频率比洗衣机的固有频率小；③正常工作时，洗衣机脱水筒的运转频率等于洗衣机的固有频率；④当洗衣机振动最剧烈时，洗衣机脱水筒的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率。

A．①②

C．①④

B．②③

D．②④

解析：选C

正常工作时，洗衣机脱水筒运转频率比断电后的频率高，共振发生在断电之后，所以正常工作时的频率比洗衣机的固有频率大。洗衣机切断电，脱水筒的转动逐渐慢下，在某一小段时间内洗衣机发生了剧烈的振动，说明了此时脱水筒的运转频率与洗衣机的固有频率相同，发生了共振。此后脱水筒转速减慢，则f驱＜f固，所以共振现象消失，洗衣第

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机的振动随之减弱，故C正确。

7.图4是探究单摆共振条件时得到的图像，它表示振幅跟驱动力频率之间的关系，(g＝9.8 m/s2)请回答：

图4 (1)这个单摆的摆长是多少？

(2)如果摆长变长一些，画出的图像的高峰将向哪个方向移动？

解析：(1)从共振曲线知，单摆的固有周期

1110T＝＝

s＝

s，

3f固0.3因为T＝2π l，

g1029.8×3gT2所以l＝2＝

m≈2.76 m。

4π4×3.142(2)若摆长变长一些，则由周期公式T＝2π 变小，因此图像的高峰将向原点方向移动。

答案：(1)2.76 m

(2)向原点方向移动

8．如图5所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。问：

l可知，单摆固有周期增大，则固有频率g

图5 (1) 时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？

(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？

(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？

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解析：(1)根据题意振子做自由振动，

t1011T固＝＝

s＝0.5 s，f固＝＝

Hz＝2 Hz。

n20T固0.5由于摩擦力和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越越小，故振动为阻尼振动。

(2)振子做受迫振动。由于把手转动的转速为4 r/s，即驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s。弹簧振子

振动达稳定状态后，其周期等于驱动力的周期，T＝T驱＝0.25 s。

(3)要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱＝f固＝2 Hz，故把手的转速应为n＝2 r/s。

答案：见解析

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