复习参考题精品学案

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质

第1课时

1．问题导航

π(1)由y＝sin x的图像能得到y＝sinx＋的图像吗？

41(2)函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的最小正周期分别是什么？

21(3)对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x，y＝sin x的函数值有什么关系？

22．例题导读

P43例1.通过本例学习，学会分析A对函数y＝Asin x(A>0)及其图像的影响，掌握振幅的概念．

试一试：教材P47练习1T1你会吗？

P45例2.通过本例学习，学会分析φ对函数y＝sin(x＋φ)及其图像的影响，掌握初相和相位的概念．

试一试：教材P47练习1T2你会吗？

P47例3.通过本例学习，学会分析ω对函数y＝sin ωx(ω>0)及其图像的影响，并掌握频率的概念．

试一试：教材P53练习2T1你会吗？

P50例4.通过本例学习，学会由函数y＝sin x的图像画出函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像的方法．

试一试：教材P53练习2T3你会吗？

1．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响

(1)在函数y＝Asin x(A>0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．

(2)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．

2π1(3)在函数y＝sin ωx(ω>0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝Tωω为频率．

2π2．用“图像变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像

(1)相位变换：φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响

y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．

(2)周期变换：ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响

函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当1ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．

ω(3)振幅变换：A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响．

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

[－A，A]，最大值为A，最小值为－A．

(4)平移变换：对于函数y＝sin x＋b的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平行移动|b|个单位长度得到的．

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图像．(

) (2)要得到函数y＝sin ωx(ω>0)的图像，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的ω倍．(

) (3)将函数y＝sin x图像上各点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，便得到函数y＝Asin x的图像．(

) π(4)将函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图像．(

) 2解析：(1)错误．将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，便得到函数y＝sin[ω(x－φ)]＝sin(ωx－ωφ)的图像，而不是函数y＝sin(ωx－φ)的图像，故此说法是错误的．

(2)错误．要得到函数y＝sin ωx(ω>0)的图像，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标1变为原来的倍，而不是ω倍，故此说法是错误的．

ω(3)正确．由函数图像的振幅变换知此说法是正确的．

ππ(4)正确．函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝sinx＋的图像，因22π为y＝sinx＋＝cos x，故正确．

2答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

2．把函数f(x)＝sin 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像，则g(x)的最小正周期为(

) A．2π

B．π

ππC.

D．

2412×x＋1＝sin x＋1，故T＝2π. 解析：选A.由题意知g(x)＝sin223．为了得到y＝sin x，x∈R的图像，只需将函数y＝asin x(a>0)图像上所有点的纵坐3标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，则a＝(

) 23A.

B．

321C.

D．3 321解析：选C.由题意知2a＝，故a＝. 33π4．把函数y＝sin x(x∈R)的图像上的所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图31像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是________．

2解析：变换过程如下：

ππ向左平移个单位3y＝sin xy＝sinx＋

3――→

1π横坐标缩短到原来的倍2y＝sin2x＋. 3――→

π答案：y＝sin2x＋，x∈R

3

1．A对函数y＝Asin x及其图像的影响

(1)若A>0，函数y＝Asin x的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A.若A<0，函数y＝Asin x的值域是[－|A|，|A|]，最大值是|A|，最小值是－|A|. (2)|A|的大小，反映了曲线y＝Asin x的波动幅度的大小．

(3)y＝sin x与y＝Asin x的图像形状不同，此变换称为纵向伸缩变换，也叫振幅变换．

(4)推广到一般有：函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图像，可以看作是把函数y＝f(x)的图像上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

2．φ对函数y＝sin(x＋φ)及其图像的影响

(1)y＝sin(x＋φ)与y＝sin x的图像形状是完全一样的，y＝sin(x＋φ)的图像可由y＝sin x的图像平移得到，此变换称为左右平移变换或相位变换．

(2)左右平移是对x本身而言的，如果x前面有负号或有系数，应提取负号或系数，然后再进行左右平移．

(3)推广到一般有：将函数f(x)的图像沿x轴平移|a|个单位长度后，得到函数f(x＋a)(a≠0)的图像．当a>0时，向左平移；当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”．

3．ω对函数y＝sin ωx及其图像的影响

(1)ω影响函数y＝sin ωx的周期．

(2)y＝sin ωx(ω≠1)与y＝sin x的图像形状不同．由y＝sin x图像上各点的横坐标变化，纵坐标不变得到y＝sin ωx的图像，此变换称为横向伸缩变换，也叫周期变换．

(3)推广到一般有：函数y＝f(ωx)(ω>0)的图像，可以看作是把函数f(x)的图像上的点的横1坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到．

ω

三角函数图像的平移变换

ππ将f(x)＝sin2x－的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数记为63π3πg(x)，求函数g(x)在，上的最大值和最小值．

44(链接教材P45例2) ππππ[解]

将f(x)＝sin2x－的图像向右平移个单位长度，得y＝sin2x－－＝63632πsin2x－，即

32πg(x)＝sin2x－.

3π2π5ππ3π又因为x∈，，所以－≤2x－≤，

63644π3π1所以函数g(x)在，上的最大值为1，最小值为－. 244

若将本例中条件“向右平移ππ个单位长度”改为“向左平移个单66位长度”其他条件不变，其结论又如何呢？

ππ解：将f(x)＝sin2x－向左平移个单位长度，

63ππ得y＝sin2x＋－＝sin 2x，

63即g(x)＝sin 2x.

π3π因为x∈，，

44π3π所以≤2x≤.

22所以－1≤sin 2x≤1.

π3π所以函数g(x)在，上的最大值为1，最小值为－1.

44方法归纳

已知两个函数的解析式，判断其图像间的平移关系的步骤(1)将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构．(2)找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”φ或“减”的量，即平移的单位为ω.(3)明确平移的方向．

1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像(

) A．向左平移1个单位长度

B．向右平移1个单位长度

1C．向左平移个单位长度

21D．向右平移个单位长度

211x＋，所以向左平移个单位长度．

解析：选C.由y＝cos 2x，得y＝cos 222

三角函数图像的伸缩变换

π说明y＝2sin2x－＋1的图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的．

6(链接教材P50例4) [解]

法一：

y＝sin x图像上各点的纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变π图像上各点向右平移个单位长度6y＝2sin x

――→

――→

π图像上各点的横坐标缩短为原来的2y＝2sinx－

――→6

纵坐标不变π图像上各点向上平移1个单位长度y＝2sin2x－――→

6πy＝2sin2x－＋1.

6法二：

1

y＝sin x图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变――→

1图像上各点的横坐标缩短为原来的2y＝2sin x

――→

纵坐标不变π图像上各点向右平移个单位长度12y＝2sin 2x

――→

π图像上各点向上平移1个单位长度y＝2sin2x－――→

6πy＝2sin2x－＋1. 6方法归纳

三角函数图像变换的技巧

由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

先平移后伸缩．

y＝sin x向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度――→

1横坐标变为原来的倍ωy＝sin(x＋φ)――→

纵坐标不变纵坐标变为原来的A倍y＝sin(ωx＋φ)横坐标不变――→y＝Asin(ωx＋φ)．

先伸缩后平移．

1横坐标变为原来的倍ωy＝sin x――→

纵坐标不变y＝sin φ向左（φ>0）或向右（φ<0）平移ω个单位长度ωx――→

纵坐标变为原来的A倍横坐标不变||y＝sin(ωx＋φ)――→y＝Asin(ωx＋φ)．

π2．(1)将函数y＝sinx－的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，3π再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像所对应的解析式是(

) 31A．y＝sinx

21πB．y＝sinx－

221πC．y＝sinx－

26πD．y＝sin2x－

6π(2)函数y＝5sin2x＋＋1的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的平移和伸缩变换得3到？

π横坐标伸长到原来的2倍解：(1)选C.y＝sinx－――→

纵坐标不变31π向左平移π个单位长度3y＝sinx－

23

――→ππ11πy＝sinx＋－＝sinx－.

26233(2)法一：将函数y＝sin x的图像依次进行如下变换：

ππ①把函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sinx＋的图像；

33π1②把得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x＋23的图像；

③把得到的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝π5sin2x＋的图像；

3π④把得到的图像向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin2x＋＋1的图像．

3π经过上述变换，就得到函数y＝5sin2x＋＋1的图像．

3法二：将函数y＝sin x的图像依次进行如下变换：

1①把函数y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin 2x的图像；

ππ②把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin2x＋的图像；

63π③把得到的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到y＝5sin2x＋的3图像；

π④把得到的图像向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin2x＋＋1的图像．

3π经过上述变换，就得到函数y＝5sin2x＋＋1的图像．

3

图像变换时弄错平移方向或平移长度致误

易错警示

π函数y＝4sin2x＋的图像是由函数y＝4sin 2x的图像经过怎样的变换得到的？

3ππ[解]

y＝4sin2x＋的图像是由y＝4sin 2x的图像向左平移个单位长度得到的．

63[错因与防范]

(1)本题常出现①平移变换时左右方向没有分清的错误．

π②本题误认为向左平移个长度单位．

3πππ(2)因为y＝4sin2x＋＝4sin2x＋，所以y＝4sin2x＋的图像是由y＝4sin 2x336ππ向左平移个单位长度得到，即比较原函数中的自变量x与变换后为x＋，其图像变换满66足“左加、右减”．

13．(1)将函数y＝f(x)的图像上每一点的纵坐标缩小为原来的倍，再将横坐标压缩为原2π1来的倍，再将整个图像沿x轴向左平移个单位，可得y＝sin x的图像，则f(x)＝________．

23ππ(2)将函数y＝sin2x－的图像先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图像上各点431的横坐标缩短到原来的，求与最终的图像对应的函数的解析式．

2πππ解：(1)将y＝sin x的图像向右平移个单位，得y＝sinx－的图像；把y＝sinx－333

1π的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sinx－的图像；再把231π1πy＝sinx－的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得y＝2sinx－23231π1π的图像，所以f(x)＝2sinx－.故填2sinx－.

2323π(2)将原函数的图像沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝4ππsin2x－－＝

645π1sin2x－，再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应的函数的解265π析式为y＝sin4x－. 6π11．将函数f(x)＝sinx图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图像，则g(x)34＝(

) 1π1πA．sinx＋

B．sinx－

34341π1πC．sinx＋

D．sinx－

312312解析：选C.由平移变换的规律知

π11πg(x)＝sinx＋＝sinx＋. 343122．为了得到函数y＝3sin x的图像，只需将正弦曲线y＝sin x上所有点的(

) A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

1B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

3C．纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变

1D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变

3解析：选C.将正弦曲线y＝sin x上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，即可得y＝3sin x的图像．

π3．将函数y＝sin x的图像向左平移φ(0≤φ≤2π)个单位长度后，得到函数y＝sinx－6的图像，则φ＝(

) π5A.

B.π

66711C.π

D．π

6611π11x＋π的图像相同，所以φ＝π. 解析：选D.因为y＝sinx－的图像与y＝sin666

,

[学生用书单独成册])

[A.基础达标]

π1.要得到函数y＝sin2x－的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像(

) 3πA．向左平移个单位长度

12πB．向右平移个单位长度

12πC．向左平移个单位长度

6πD．向右平移个单位长度

6πππ解析：选D.y＝sin2x－＝sin2x－，所以要得到函数y＝sin2x－的图像，336π只需将y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度．

6ππ2.为得到函数y＝sin2x－的图像，只需将函数y＝sin2x＋的图像(

) 36πA．向左平移个单位长度

4πB．向右平移个单位长度

4πC．向左平移个单位长度

2πD．向右平移个单位长度

2πππ解析：选B.由y＝sin2x－＝sin2x－＋

346π知向右平移个单位长度．

4π3．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点43π，0，则ω的最小值是(

) 41A.

B．1 35C.

D．2 3解析：选D.函数f(x)＝sin

ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度得到函数f(x)＝4ωπωππ3πsin

ωx－(其中ω>0)，将＝0，所以＝kπ(k∈Z)，故得ω，0代入得sin

2244的最小值是2. 14．给出几种变换：①横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；②横坐标缩小为原来的，2πππ纵坐标不变；③向左平移个单位长度；④向右平移个单位长度；⑤向左平移个单位长336ππ度；⑥向右平移个单位长度，则由函数y＝sin x的图像得到y＝sin2x＋的图像，可以63实施的方案是(

) A．①→③

B．②→③

C．②→④

D．②→⑤

π解析：选D.由y＝sin x的图像到y＝sin2x＋的图像可以先平移变换再周期变换，即3π

③→②；也可以先周期变换再平移变换，即②→⑤. π5.将函数y＝sin x的图像向右平移个单位长度后再把图像各点的横坐标伸长为原来的102倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为(

) πA．y＝sin2x－

10πB．y＝sin2x－

51πC．y＝sinx－

2101πD．y＝sinx－

220ππ横坐标伸长为原来的2倍1π向右平移个单位长度10解析：选C.y＝sin x――→y＝sinx－――→y＝sinx－. 10210π6.将函数y＝sin 4x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图12像，则φ的值为________．

ππ解析：将函数y＝sin 4x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin4x＋＝1212ππsin4x＋，所以φ的值为. 33π答案：

317.把y＝sin x的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短为原来的，得到________的图3像．

1解析：将y＝sin x的图像横坐标缩短为原来的得y＝sin 3x的图像，纵坐标再缩短为原311来的得到y＝sin 3x的图像．

331答案：y＝sin 3x

38.某同学给出了以下论断：

①将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度，得到y＝－sin x的图像；

②将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度，可得到y＝sin(x＋2)的图像；

③将y＝sin (－x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图像；

其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．

解析：将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x，所以①正确；

将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－2)，所以②不正确；

将y＝sin(－x)的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以③正确．

答案：①③

19.函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π个单位长度所得的曲线是y＝sin 2x的图像，试求y＝f(x)的解析式．

1解：将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度得：

211y＝sin(x－π)，化简得y＝－sin x.

22

111再将y＝－sin x的图像上的横坐标压缩为原来的(纵坐标不变)得：y＝－sin 2x，

2221所以f(x)＝－sin 2x. 2110.使函数y＝f(x)图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，然后再将其2π图像沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图像相同，求f(x)的表达式．

6解：法一：正向变换

1y＝f(2x)πy＝f(x)原来的――→――→

移个单位长度26横坐标缩小为沿x轴向左平ππy＝f2x＋，即y＝f2x＋，

36πππ所以f2x＋＝sin 2x.令2x＋＝t，则2x＝t－，

333ππ所以f(t)＝sint－，即f(x)＝sinx－. 33法二：逆向变换

π向右平移个单位长度6据题意，y＝sin 2x――→

ππy＝sin 2x－＝sin2x－

36横坐标伸长为原来的2倍x－π. ――→y＝sin纵坐标不变3[B.能力提升]

π1.将函数y＝sin6x＋的图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再把4π所得函数图像向右平行移动个单位长度，得到的函数图像的一个对称中心是(

) 8ππA.，0

B．，0

24ππC.，0

D．，0

916π解析：选A.将函数y＝sin6x＋的图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，便得到函4π数y＝sin2x＋，

4ππππ再向右平移个单位，得到函数y＝sin2x－＋＝sin 2x.经检验，0是该函数8284图像的一个对称中心．

ππ2．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)－<θ<的图像向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数223g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P0，，则φ的值可以是(

) 25π5πA.

B．

36ππC.

D．

26解析：选B.将函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度，得g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]，

f（0）＝23，sin θ＝23，由题意得即

33g（0）＝2，sin（θ－2φ）＝2，ππ5π解得θ＝，φ＝－kπ或－－kπ(k∈Z)，结合选项取得φ＝. 3663.为得到函数y＝cos x的图像，可以把y＝sin x的图像向右平移φ个单位长度得到，那么φ的最小正值是________．

解析：把y＝sin x的图像向右平移φ个单位长度，所得图像的解析式为

πy＝sin (x－φ)＝cos－（x－φ）

2ππ＝cos－x＋φ＝cosx－－φ，

22ππ又所得图像为函数y＝cos x的图像，所以－－φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝－－2kπ22π1(k∈Z)．令φ>0，即－－2kπ>0解得k<－，又k∈Z，所以当k＝－1时，φ取最小正值24π3π为－－2×(－1)×π＝. 223答案：π

24．给出下列图像变换方法：

1①图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；

2②图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；

π③图像向右平移个单位长度；

3π④图像向左平移个单位长度；

32π⑤图像向右平移个单位长度；

32π⑥图像向左平移个单位长度．

3xπ请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图像变换为函数y＝sin＋的图像，23那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可)．

π解析：可以先平移，再伸缩，故可将y＝sin x的图像向左平移个单位长度，再将图像3上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，故变换序号为④②.也可先伸缩再平移，2π即先将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单3位长度，故变换序号为②⑥.

答案：④②或②⑥

ππ5．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)φ∈0，，其图像向左平移个单位长度后，关于y62轴对称．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)说明其图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的．

π解：(1)将函数f(x)＝3sin (2x＋φ)图像上的所有点向左平移个单位长度后，所得图像的6

ππ函数解析式为y＝3sin2x＋＋φ＝3sin2x＋＋φ.

36因为图像平移后关于y轴对称，

ππ所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

32π所以φ＝kπ＋(k∈Z)，

6ππ因为φ∈0，，所以φ＝.

62π所以f(x)＝3sin2x＋.

6π(2)将函数y＝sin x的图像上的所有点向左平移个单位长度，所得图像的函数解析式为6π1y＝sinx＋，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝26πsin2x＋的图像，再把图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y6π＝3sin2x＋的图像．

64ππ6．(选做题)设ω>0，若函数y＝sinωx＋＋2的图像向右平移个单位长度后与原33图像重合，求ω的最小值．

4ππ解：将y＝sinωx＋＋2的图像向右平移个单位长度后，所得图像的函数解析式33为

4ππy＝sinωx－＋＋2

33π4ωπ＝sinωx＋－＋2.

33因为平移后的图像与原图像重合，

4ωπ3k所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝，

32又因为ω>0，所以k≥1，

3k3故ω＝≥.

223故ω的最小值为. 2