2.1.3 相等向量与共线向量教案推荐

§2.1.3相等向量与共线向量

【课标定向】

学习目标

深刻理解两个概念：相等向量、共线向量。

提示与建议

我们所研究的向量是自由向量，也就是在未改变长度与方向的前提下，向量可以在平面上自由移动，因此，共线向量和平行向量实质是一致的。同时要注意向量平行与我们之前学过的直线平行的区别。

一直线（与有向线段的起点无关。

．．．．．．．．．．．2.

平行向量（共线向量）与两平行线的区别：平行向量（共线向量）可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系。

例题1.下列说法正确的是（）

A.

a与b共线，b与c共线，则a与也共线

B.

任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.

向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.

有相同起点的两个非零向量不平行

【互动探究】

自主探究

1.

满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量么？

2.

由一组向量。他们的方向相同或相反，这组向量由什么关系？

3.

如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这时它们是不是，平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

4.

判断：

（1）

平行向量是否一定方向相同（）

（2）

不相等的向量是否一定不平行（）

（3）

与零向量相等的向量必定是什么向量（）

（4）

与任意向量都平行的向量是什么向量（）

（5）

若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量（）

（6）

两个非零向量相等当且仅当什么（）

（7）

共线向量一定在同一直线上吗（）

【思维切入】本题考查学生对共线向量、相等向量定义的解释，此类问题的关键是正确理解概念。

【解析】由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以 两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C其条件以否定形式给出，所以可从问题的反面着手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任意向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应该选C。

【答案】C 【规律技巧总结】向量为自由向量，可以平移，两向量相等必须方向相同、大小相同；规定零向量与任一向量平行，要特别注意零向量的存在。

★

讲解点二：相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作：a=b。

注意：①零向量与零向量相等。

②任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与邮箱线段的起点无关。

③两个向量只有当它们的模相等，同时方向有相同时才能称剖例探法

★

讲解点一：平行向量（共线向量）

1.

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

（1）

我们规定O与任一向量平行。

（2）

任一向量与它本身都是平行向量，记作a//a. （3）

向量a、b、c平行，如图2.1-4，记作a//b//c. （4）

平行向量就是共线向量，这是因．．．为任一组平行向量都可移到同

它们相等，例如a=b，就意味着ab‖a和b的方向相同。

例题2.如2.1-5图，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形。

（1）

用有向线段表示与向量AB相等的向量。

（2）

用有向线段表示与向量AB共线的向量。

【思维切入】本题考查向量相等，共线的条件。用有向线段表示向量是树形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系（共线向量、相等向量等）可通过图形的几何特征得到。寻找相等向量和共线向量可以从大小和方向两个方面来考虑。

【解析】（1）与向量AB相等的向量是CEDC. (2)与向量AB共线的向量是DEDCCE. 2.【规律技巧总结】（1）长度相等的向量，方向可以是不同的，因此它们不一定是相等3.的向量，而相等向量必须是长度相等且方向相同，即通过平移可以重合的向量。

（3）

共线向量也是平行向量，这与几何中线段的共线不同。

思维拓展

如图2.1-6所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点。

①

写出与EF共线的向量；

②

写出到EF的模大小相等的向量

③

写出与EF相等的向量

【思维切入】

利用三角形中位线位置解决线段的平行和相等问题，再将线段的平行、相等转化为共线的向量，相等的向量。 【解析】①∵E、F分别是AC、AB的中点，∴EF//BC，且EF=12BC。又∵D是BC的中点，∴与EF向量共线的

向量有：FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB. ②与EF模相等的向量有：EFFE,BD,DB, ,CD, ③

与EF相等的向量有CDBD。

精彩反思

1.

向量是有大小和方向的量，两者缺一不可，两个向量只有模相等且方向相同时，才能称它们相等。所以对于一个向量只要不改变其大小与方向是可以任意平移的。

方向相同或相反的向量是共线向量，也叫平行向量，共线的两个向量起点和终点不一定都在同一直线上。

零向量与任何向量都平行，要特别注意零向量。

自我评测

1.下列说法正确的是（）

A.只有方向相同或相反的向量是平行向量

B.零向量的长度为零。

C。长度相等的两个向量是相等向量

D。共线向量是在一条直线上的向量

2.下列说法中不正确的是（）

A.向量AB的长度与向量BA长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动

C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D.两个有共同起点且共线的戏那个了其终点必相同

3.下列四个结论：

（1）两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同。

（2）若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线

（3）若a//b且b//c，则a//c；

（4）当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形。正确的结论是（）

A 0 B 1 C 2 D 3 4.下列说法中正确的是() A 若ab，则a>b B 若ab，则a=b C 若a=b，则a//b D 若a≠b,则a与b不是共线的向量。

5.以下说法正确的是＿

①单位向量均相等；②单位向量共线；③共线的单位向量必相等；④单位向量的模相等。

6.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向

＿，aa与a0的长度＿。

（2）把平行于直线l的点p,这些向量的起点平移到直线l的点p就，这些向量的终点构成的几何图形为＿。

（3）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平行移动到直线l 的点p，这些向量的终点构成的几何图形为＿

视野拓展

向量与中学数学

早在19世纪，向量就已经成为数学家和物理学家研究的对象。但是直到20世纪初才被引入中学数学，向量是代数最终的研究对象之一，它不仅可以进行内积运算，而且还可以进行内积运算等。此外，向量还具有大小和方向，这些都是重要的几何性质，因此它也是几何研究的重要对象。向量还具有丰富的物理学背景，虽然物理学中的矢量于数学中的向量并不完全相同，但这并不影响向量在物理学中的作用。向量作为沟通代7.给出以下五个条件：①a=b;②ab③a 与b的方向相反；④a=0或b=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是＿。

8.如图2.1-7，D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90°。

（1）分别写出图中与向量DEFD长度相等的向量；

（2）分别写出图中与向量DEFD相等的向量

（3）分别写出图中与向量DEFD共线的向量。

＿。

拓展迁移

9.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到相同的一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为＿

数、几何、物理的桥梁，它还是最重要的数学模型之一