2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示板书设计及设计说明

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

教学设计

数学组 杨燕媚

一、教学目标，重点和难点：

1．三维目标: （1）知识与技能

借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程(几何表示——线性表示——坐标表示)，会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；

掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标．

（2）过程与方法

通过学习向量的坐标表示及坐标运算法则的推导，培养学生演绎、归纳、猜想的能力．通过坐标平面内的点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；

（3）情感、态度与价值观

通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生应用知识的意识．

2．教学重点：理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的平面向量，渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 3．教学难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解突破办法，对平面向量坐标运算的理解．

二、课时安排：1课时

三、教学过程

导入新课

【导入一】

在物理学中我们知道,一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.从这个例子可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢? 【导入二】

【创设情境】

教师：上节课我们学***面向量基本定理，它的内容是什么？

学生：如果e1、e2是同一平面内两个不共线向量，那么对于平面内位一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a=λ1e1＋λ2e2，其中不共线的两向量e1、e2称为一组基底。

教师：在物理学中，我们学过力的分解，比如下面一个例子：倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?

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引导学生完成后，并与平面向量基本定理比较，进而指出，同一平面内任意一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。这就是我们今天要学***面向量的正交分解及坐标表示。

【新知探究】

提出问题：

①根据平面向量基本定理，你能把平面上任意一个向量分解成互相垂直的两个不共线和的形式吗？

由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形. 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样. ②可以. 提出问题：

①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? ②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

图3 活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+yj ①

这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②

其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点: (1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应. (2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,A1B1是表示a的有向线段,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则向量a的坐标为x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐标为(x2-x1,y2-y1). (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标,流程表示如下:

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讨论结果:①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). ②是一一对应的. 提出问题：

①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗? ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论? 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:

图1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2). 同理a-b=(x1-x2,y1-y2). 又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1). 教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量AB的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 学生通过平移也可以发现:向量AB的模与向量OP的模是相等的. 由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: |AB|=|OP|=(x1x2)2(y1y2)2. 教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获. 讨论结果:①能. ②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1). 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 应用示例

图6

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例1：

如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标. 活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标. 解:由图可知,a=AA1+AA2=xi+yj, ∴a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 例2 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标. 活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成. 解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式. 【当堂检测】

1.向量正交分解中，两基底的夹角等于(

) A．45°

B．90°

C．180°

D．不确定

→2.

向量OA＝(x，y)，(O为原点)的终点A位于第三象限，则有(

) A．x>0，y>0 B．x>0，y<0 C．x<0，y>0 D．x<0，y<0 133.

已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b＝(

) 22A．(－1,2) B．(1，－2) C．(－1，－2) D．(1,2) →→→14.

已知MA＝(－2,4)，MB＝(2,6)，则AB＝(

) 2A．(0,5) B．(0,1) C．(2,5) D．(2,1) 参考答案

1..B【解析】根据向量正交分解概念，可知B正确；

→2. D【解析】∵OA＝(x，y)，∴A(x，y)．又点A在第三象限，∴x<0，y<>0. 131313133. A【解析】a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(－，＋)＝(－1,2)．

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→→→→14. D【解析】AB＝MB－MA＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)．∴AB＝(2,1)．

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五、课堂小结

先由学生回顾本节涉及的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算。

六、作业

1、课本习题2.3 A组1. 2、练习册

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