构建知识体系优秀教案

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吴文兴

应用性问题

考点透视

数学应用性问题是历年中考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型.中考中一般命制一道解答题．解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中, 方程、不等式、函数是较为常见的模型,而统计、解直角三角形、几何等模型也应在复习时引起重视. 解题策略

1

解应用题的一般思路可表示如下：

实际问题问题解决数学化转化为数学问题数学问题数学解答实际问题结论数学问题结论回到实际问题

2

解应用题的一般程序：

（1）读

阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础

（2）建

将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型

熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关

（3）解

求解数学模型，得到数学结论

一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程

（4）答

将数学结论还原给实际问题的结果

典型例题

一、与方程（组）相关的应用问题

1.一次方程（组）的应用题

例1（2016年绍兴市中考题）书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是

元．

【分析】设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值范围分段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方

1

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程，解方程即可得出结论．

【解答】解：设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，依题意得：

(1) 当0＜x≤100时，x+3x=229.4，

3解得：x=57.35（舍去）；

(2) 当1002009＜x≤时，x+×3x=229.4，

3103解得：x=62，

此时两次购书原价总和为：4x=4×62=248；

(3) 当2007＜x≤100时，x+×3x=229.4，

103解得：x=74，

此时两次购书原价总和为：4x=4×74=296．

综上可知：小丽这两次购书原价的总和是248或296元．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分段考虑，结合熟练关系找出每段x区间内的关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．

2.二元一次方程组的应用题

例2（2016年徐州市中考题）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：

商品名

签字笔

自动铅笔

记号笔

软皮笔记本

圆规

合计

单价（元）

数量（个）

金额（元）

3 1.5 4 ●

3.5

2 ●

●

2 1 8 6 ●

●

9 ●

28 菁优网版权所（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？

（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？

【分析】（1）利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组

2

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成方程组求出答案；

（2）根据题意设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据共花费15元得出等式m+1.5n=15，进而得出二元一次方程的解．

【解答】解：（1）设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，依题意可得：

xy8(221),，

1.5x4y28(693.5)解得：x1,，

y2答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支；

（2）设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，依题意可得：

m+1.5n=15，

∵m，n为正整数，

m1,m2,m3,∴或或，

n7n4n1答：共3种方案：1本软皮笔记本与7支记号笔；2本软皮笔记本与4支记号笔；3本软皮笔记本与1支记号笔．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键．

3.一元二次方程的应用题

例3（2016年毕节市中考题）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；

（2）根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640×（1+0.2），再进行计算即可．

3

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【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，依题意得：

6000（1+x）2=8640 解得：x1=0.2=20%，x2=－2.2（不合题意，舍去），

答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；

（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，

所以2017年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元），

答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，若设变化前2的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）=b．

4.分式方程的应用问题

例4（2016年济宁市中考题）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是

km/h．

【分析】设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列出分式方程，解方程求出x的值即可．

【解答】解：设这辆汽车原来的速度是xkm/h，依题意得：

1601600.4，

xx(125%)解得：x=80，

经检验，x=80是原方程的解，

答：这辆汽车原来的速度是80km/h．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=；工作量问题：工作效率=等等是解决问题的关键．

二、与不等式（组）有关的应用问题

例5（2016年宜宾市中考题）宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（

）

A．4

B．5

C．6

D．7 【分析】设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件，根据生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，

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列出不等式组，求出不等式组的解，再根据x为整数，得出有5种生产方案．

【解答】解：设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件，依题意得：

3x2(20x)52,，

2x4(20x)64解得：8≤x≤12，

∵x为整数，

∴x=8，9，10，11，12，

∴有5种生产方案：

方案1：A产品8件，B产品12件；

方案2：A产品9件，B产品11件；

方案3：A产品10件，B产品10件；

方案4：A产品11件，B产品9件；

方案5：A产品12件，B产品8件；

故选B．

【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系，列出不等式组．

三、与函数有关的应用问题

1.一次函数的应用问题

例6（2016年绥化市中考题）周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km）与小芳离家时间x（h）的函数图象．

（1）小芳骑车的速度为

km/h，H点坐标

．

（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？

（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？

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【分析】（1）根据函数图中的数据，由小芳从家到甲地的路程和时间可以求出小芳骑车的速度；

（2）先求出直线AB的解析式，再根据直线AB∥CD，求出直线CD的解析式，再求出直线EF的解析式，联立直线CD和直线EF的解析式，求出交点D的坐标即可；

（3）将y=0，分别代入直线CD和直线EF的解析式，分别求出当y=0时候的横坐标，再求出两横坐标的差值即可．

【解答】解：（1）由函数图可以得出，小芳家距离甲地的路程为10km，花费时间为0.5h，

故小芳骑车的速度为：10÷0.5=20（km/h），

依题意得，点H的纵坐标为20，横坐标为：故点H的坐标为（413，

3623，20）；

2（2）设直线AB的解析式为：y1=k1x+b1，

将点A（0，30），B（0.5，20）代入得：y1=－20x+30，

∵AB∥CD，

∴设直线CD的解析式为：y2=－20x+b2，

将点C（1，20）代入得：b2=40，

故y2=－20x+40，

设直线EF的解析式为：y3=k3x+b3，

将点E（43，30），H（，20）代入得：k3=－60，b3=110，

32∴y3=－60x+110，

y60x110,x1.75,解方程组，得，

y20x40y5∴点D坐标为（1.75，5），

30－5=25（km），

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所以小芳出发1.75小时后被妈妈追上，此时距家25km；

（3）将y=0代入直线CD解析式有：－20x+40=0，

解得x=2，

将y=0代入直线EF的解析式有：－60x+110=0，

11，

61112－=（h）=10（分钟），

66解得x=故小芳比预计时间早10分钟到达乙地．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于读懂题意，根据函数图所给的信息求出合适的函数解析式并求解．

2.二次函数的应用问题

例7．（2017春•渝中区月考）已知某大型超市今年在销售某种水果时，1～6月份的销售单价y1（元/千克）与时间x（月）的关系如表：

x y1

1 60 2 30 3 20 4 15 5 12 6 10 7～10月份的销售单价y2（元/千克）与时间x（月）满足函数关系：y2=x2+bx+c，其图象如图．今年1～6月份的月销量z1（万千克）与时间x（月）满足关系式：z1=﹣x2+6x；而7～10月份的月销量一直稳定在8万千克．

（1）请观察题目中的表格及图象，直接写出y1（元/千克）与时间x（月）的函数关系式及y2（元/千克）与时间x（月）的函数关系式．

（2）求出该种水果今年1～10月哪个月的销售额最大？最大销售额为多少万元？

（3）进入11月后，商场决定将销售单价在取得最大月销售额时的单价的基础上提高2a%，预测月销售量将在取得最大月销售额时的销售量的基础上下降0.5a%，若要使该种水果11月份的销售额达到360万元，求出a的最小整数值（a＜100）？（参考数据：6≈2.45；7≈2.65；8≈2.83）

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【分析】（1）根据图表中x、y的乘积是定值60可知此函数是反比例函数，然后写出即可；

（2）根据销售额=单价×销售量求出上半年的销售额，然后根据一次函数的增减性求出上半年最大销售额的月份及最大销售额，根据二次函数的增减性求出下半年的最大销售额与月份，两者比较即可得解；

（3）先求出去年销售额时的最大时的单价，然后根据销售额=单价×销售额表示出销售额总和，列出方程求解即可．

【解答】解：（1）∵1×60=60，2×30=60，3×20=60，4×15=60，5×12=60，6×10=60，

∴y1与x成反比例函数关系，

故关系式为y1=60，

xb=4，

2由图可知，抛物线的对称轴为直线x=－解得b=－8，

x=0时，y=c=20，

所以，y2=x2－8x+20；

（2）设销售额为W，则上半年：W1=y1•Z1=∵1≤x≤6，

60•（－x2+6x）=－60x+360，

x∴当x=1时，即1月份的销售额取得最大值，最大值为－60+360=300万元，

下半年：W2=y2•10=10（x2－8x+20）=10（x－4）2+40，

根据二次函数的性质，x＞4时，y随x的增大而增大，

∵7≤x≤10，

∴当x=10时，即10月份销售额取得最大值，最大值为=10（10－4）2+40=400万元，

∵300＜400，

∴去年10月的销售额最大，最大销售额是400万元；

（3）去年7月份销售单价为y2=－72+4×7+41=－49+28+41=20元，

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根据题意得，20（1+3a%）×8（1－0.5a%）+（20×3.2）×10（1－0.5a%）=860，去年10月份销售单价为y2=102－8×10+20=40元，

根据题意得，40（1+2a%）×8（1－0.5a%）=360，

整理得，8（a%）2－12a%+1=0，

所以，a%=12112，

16∴a%=1.42或a%=0.09，

∴a=14或a=9，

最大整数值约为14．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求函数的判定与求解，一次函数的增减性，二次函数的增减性，一元二次方程的解法等知识，运用二次函数解决实际问题是中考中热点题型，同学们应重点掌握．

3.反比例函数的应用问题

例8（2016钦州自主招生）小明在某一次实验中，测得两个变量之间的关系如下表所示：

x

1 2 3

4

12 y

12.03 5.98 3.03 1.99 1.00 请你根据表格回答下列问题：

①这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出判断的？请你简要说明理由；

②请你写出这个函数的解析式；

③表格中空缺的数值可能是多少？请你给出合理的数值．

【分析】（1）根据反比例函数的性质可知两变量之间为反比例函数；

（2）根据两变量的乘积为一个定数得到表达式；

（3）将x=3和y=1.99分别代入表达式中求值即可．

【解答】解：（1）由表中自变量x和因变量y的数值可知：自变量x和因变量y的乘积都大约等于12，且随着自变量x值的逐渐增加，因变量y的值逐渐减少，故两个变量x和y之间可能是反比例函数关系．

（2）∵两自变量的乘积等于12，且两自变量为反比例函数关系，

∴y12；

x（3）将x=3代入得：y=4；

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将y=1.99代入得：x≈6．

故表格中x的空值填6，y的空值填4．

【点评】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．

四、与统计概率有关的应用问题

例9（2016年青岛市中考题）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：

根据以上信息，整理分析数据如下：

平均成绩/环

甲

乙

a

7 7 b

7 8 1.2 c 中位数/环

众数/环

方差

（1）写出表格中a，b，c的值；

（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？

【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；

（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．

【解答】解：（1）甲的平均成绩a=5162748291=7（环），

12421∵乙射击的成绩从小到大重新排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，

∴乙射击成绩的中位数b=78=7.5（环），

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其方差c=1×[（3－7）2+（4－7）2+（6－7）2+2×（7－7）2+3×（8－7）2+（9－7）2+10（10－7）2]

=1×（16+9+1+3+4+9）

10=4.2；

（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．

【点评】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．

五、与解直角三角形有关的应用问题

例10（2016年黄石市中考题）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．

（1）求AB段山坡的高度EF；

（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）

【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；

（2）在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，后计算CE和EF的和即可．

【解答】解：（1）如图，作BH⊥AF于H，

在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=∴BH=800•sin30°=400，

∴EF=BH=400m；

（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=BH，

ABCE，

BC11

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∴CE=200•sin45°=1002≈141.4，

∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．

答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．

六、与几何相关的应用题

例11（2016年绍兴市中考题）课本中有一个例题：

有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：

（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；

（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．

6111【解答】解：（1）由已知可得：AD=则S=1×2125，

4552m，

447xm，

4（2）设AB=xm，则AD=3﹣

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7x0，

412∴0x，

7∵37769x)(x)x2，

44776129当x=m时，且0x的范围内，s最大值为1.05，

777设窗户面积为S，由已知得：sABADx(3∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．

【点评】此题考查二次函数的应用，关键是利用二次函数的最值解答．

配套练习

1.（16江西）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．

（1）请直接写出第5节套管的长度；

（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．

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2.（16遵义）上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．

流量阶梯定价标准

使用范围

1﹣100MB

101﹣500MB

501MB﹣20GB

语音阶梯定价标准

使用范围

1﹣500分钟

501﹣1000分钟

1001﹣2000分钟

阶梯资费（元/分钟）

0.15

0.12

m

阶梯单价（元/MB）

a

0.07

b 【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】

（1）甲定制了600MB的月流量，花费48元；乙定制了2GB的月流量，花费120.4元，求a，b的值．（注：1GB=1024MB）

（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m的值．

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3．（17宜兴一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．

（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？

（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？

4．（16济宁）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）

（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

7xy,设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，

2，xy3∵△=49﹣48＞0，∴x1=

2

，x2=

∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

5．（16东营）东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．

（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

（2）2016年为响应***“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

15 3

，

2

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6．（2016•莆田）甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h （1）求甲车的速度；

（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．

7．（17宜兴一模）某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．

（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？

（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？

8.（16南充）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．

（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；

（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？

（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？

16

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9.（16无锡）某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，每月的销售额可达100万元．由于该产品供不应求，公司计划于3月份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与月份x（月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（5月及以后每月的销售额都相同），而经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间函数关系的图象图2中线段AB所示．

（1）求经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式；

（2）分别求该公司3月，4月的利润；

（3）问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元？（利润=销售额－经销成本）

10.（16天津）公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元．

（1）设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写表格．

表一：

租用甲种货车的数量/辆

租用的甲种货车最多运送机器的数量/台

租用的乙种货车最多运送机器的数量/台

表二：

租用甲种货车的数量/辆

租用甲种货车的费用/元

租用乙种货车的费用/元

3

7 2800 280 x

3 135 150 7

x

（2）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．

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11.（16眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．

（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；

（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A、B两种型号车的进货和销售价格如表：

进货价格（元/辆）

销售价格（元/辆）

12．（17辽宁模拟）国家为支持大学生创业，提供小额无息贷款，学生王芳享受政策无息贷款36000元用来代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x

（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人每天82元，每天应支付其它费用106元．

（1）求日销售y（件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；

（2）若暂不考虑还贷，当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；

（3）若该店只有2名员工，则该店至少需要多少天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为多少元？

A型车

1100 今年的销售价格

B型车

1400 2400

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13．（17•邢台一模）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种图书每月的销售与售价的关系为函数关系如下表：

售价（元/本）

月销量（本）

50

2000

55

1800

60 1600

65

1400 …

…

已知该图书的进价为每本30元，设售价为x元．

（1）请用含x的式子表示：①销售该图书每本的利润是

元，②月销量是

件．（用x表示直接写出结果）

（2）若销售图书的月利润为48000元，则每本图书需要售价多少元？

（3）设销售该图书的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

14．（17和平区一模）某超市在五十天内试销一款成本为40元/间的新型商品，此款商品在第x天的销售量p（件）与销售的天数x的关系为p=120•2x，销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时，q=x+60；当25≤x≤50时，q=40+1125．

x（1）求该超市销售这款商品第x天获得的利润y（元）关于x的函数关系式；

（2）这五十天，该超市第几天获得的利润最大？最大利润为多少？

15．（16青岛）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为313m，到墙边OA的距离分别为m，m．

422（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；

（2）若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？

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16.（16年武汉）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品

每件售价（万元）

每件成本（万元）

每年其他费用（万元）

每年最大产销量（件）

甲

乙

6 20 a 10 20 40+0.05x2

200 80 其中a为常数，且3≤a≤5．

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

17．（17•郑州一模）杜甫实验学校准备在操场边建一个面积为600平方米的长方形劳动实践基地．

（1）求实践基地的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；

（2）由于受场地限制，实践基地的宽不能超过20米，请结合实际画出函数的图象；

（3）当实践基地的宽是l5米时，实践基地的长是多少米？

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18.（16年厦门）

如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y（微克/毫升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．并测得当y=a时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？

19.（16咸宁）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司的随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括在右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：

（1）此次抽样调查的样本容量是

．

（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．

（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？

20.（16随州）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．

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

参考答案

1．解：（1）第5节套管的长度为：50－4×（5－1）=34（cm）．

（2）第10节套管的长度为：50－4×（10－1）=14（cm），

设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，

依题意得：（50+46+42+…+14）－9x=311，

即：320－9x=311，

解得：x=1．

答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．

100a(500100)0.07(600500)b48,2．解：（1）依题意得：，

100a(500100)0.07(10242500)b120解得：a0.15,．

b0.05∴a的值为0.15元/MB，b的值为0.05元/MB．

（2）设甲的套餐中定制x（x＞1000）分钟的每月通话时间，则丙的套餐中定制（x+300）分钟的每月通话时间，丙定制了1GB的月流量，需花费100×0.15+（500﹣100）×0.07+（1024﹣500）×0.05=69.2（元），

依题意得：485000.15(1000500)0.12(x1000)m199,，

69.25000.15(1000500)0.12(x3001000)m244解得：m=0.08．

答：m的值为0.08元/分钟．

3.解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，

依题意得60007500，

xx300解得：x=1200，

经检验x=1200是原方程的根，

则x+300=1500，

答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；

（2）设B型空气净化器的售价为x元，依题意得：

（x﹣1200）（4+1800x）=3200，

50解得：x=1600，

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答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．

4.解：（1）由上可知

（x－2）（2x－3）=0 ∴x1=2，x2=3；

2（2）设所求矩形的两边分别是x和y，依题意得

3xy,2

xy1消去y化简，得2x2－3x+2=0 ∵△=9－16＜0 ∴不存在矩形B；

（3）（m+n）2－8mn≥0．

mnxy,2设所求矩形的两边分别是x和y，依题意得

xymn2消去y化简，得2x2－（m+n）x+mn=0 △=（m+n）2－8mn≥0 即（m+n）2－8mn≥0时，满足要求的矩形B存在．

5.解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：

200014002，

xx20解得：x=50，

经检验x=50是原方程的解，

答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；

（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50－y）+70×（1－10%）y≤2900，

解得：y≤18.75，

由题意可得，最多可购买18个乙种足球，

答：这所学校最多可购买18个乙种足球．

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6.解：（1）由图象可得，

甲车的速度为：280120=80km/h，

2即甲车的速度是80km/h；

280=2h，

80606x238802由题意可得，，

8060a（2）相遇时间为：解得，a=75，

经检验，a=75是原分式方程的解，

即a的值是75．

7.解：（1）设有x名工人加工G型装置，则有（80－x）名工人加工H型装置，

依题意，6x3(80x)，

43解得x=32，

则80－32=48（套），

答：每天能组装48套GH型电子产品；

（2）设招聘a名新工人加工G型装置，仍设x名工人加工G型装置，（80－x）名工人加工6x4a3(80x)，

431602a整理可得，x=，

51200另外，注意到80﹣x≥，即x≤20，

201602a于是≤20，

5H型装置，依题意得解得：a≥30，

答：至少应招聘30名新工人，

50t(0t20),8.解：（1）s1000(20t30),；

50t500(30t60)（2）设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为：s=kt+b，

25kb1000,则，

b250

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解得，k30,，

b250则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250，

当50t﹣500=30t+250，即t=37.5min时，小明与爸爸第三次相遇；

（3）30t+250=2500，

解得，t=75，

则小明的爸爸到达公园需要75min，

∵小明到达公园需要的时间是60min，

∴小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min．

1k,100kb60,9．菁解：（1）设p=ky+b，（100，60），（200，110）代入得解得

2，200kb110b10∴p=1y+10．

2（2）∵y=150时，p=85，∴三月份利润为150﹣85=65万元．

∵y=175时，p=97.5，∴四月份的利润为175﹣97.5=77.5万元．

（3）设最早到第x个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元，

∵5月份以后的每月利润为90万元，

∴65+77.5+90（x－2）－40x≥200，

∴x≥4.75，

∴最早到第5个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元．

10.有解：（1）表一：315，45x，30，－30x+240；

表二：1200，400x，1400，﹣280x+2240；

（2）能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车6辆，乙车2辆，

理由：当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，

则两种货车的总费用为：y=400x+（－280x+2240）=120x+2240，

又∵45x+（－30x+240）≥330，解得x≥6，

∵120＞0，

∴在函数y=120x+2240中，y随x的增大而增大，

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∴当x=6时，y取得最小值，

即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆．

11．解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，

依题意得3200032000(125%)，

xx400解之得x=1600，

经检验，x=1600是方程的解．

答：今年A型车每辆2000元．

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，

依题意得50－m≤2m

解得m≥50，

3∵y=（2000－1100）m+（2400－1400）（50－m）=－100m+50000，

∴y随m

的增大而减小，

∴当m=17时，可以获得最大利润．

答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．

12.解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，由图象可得：

6040k1b1,k12,，解得：．

2458kbb140112∴y=﹣2x+140；

等58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，由图象得：

2458k2b2,k21,，解得：．

1171kb22b282∴y=﹣x+82．

综上所述：y=2x140(40x58),．

x82(58x71)（2）设人数为a，当x=48时，y=－2×48+140=44，

则（48－40）×44=106+82a，

解得：a=3．

答：该店员工人数为3．

（3）令每日的收入为S元，则有：

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当40≤x≤58时，S=（x－40）（－2x+140）=－2（x－55）2+450，

故当x=55时，S取得最大值450；

当58＜x≤71时，S=（x－40）（－x+82）=－（x－61）2+441，

故当x=61时，S取得最大值441．

综上可知，当x=55时，S取得最大值450．

设需要b天，该店还清所有债务，则：

（450－106－82×2）b≥36000，

解得：b≥200．

故该店至少需要200天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为55元．

13.解：（1）由题意知销售该图书每本的利润是（x－30）元，

设月销量m与售价x间的函数关系式为m=kx+b，

依题意得：50kb2000,，

60kb1600解得：k40,，

b4000∴月销量m=－40x+4000，

（2）依题意得（x－30）（－40x+4000）=48000，

解得：x=60或x=70，

答：若销售图书的月利润为48000元，则每本图书需要售价60元或70元；

（3）y=（x－30）（－40x+4000）

=－40（x－65）2+49000，

∴售价为65元时，当月的利润最大，最大利润是49000元．

14.解：（1）y=p（q－40），

当1≤x＜25时，y=（120﹣2x）（x+60﹣40）=－2x2+80x+2400；

当25≤x≤50时，y=（120－2x）（40+112513500－40）=－2250；

xx（2）当1≤x＜25时，y=－2x2+80x+2400=－2（x－20）2+3200，

∴当x=20时，y取得最大值3200；

当25≤x≤50时，y=13500－2250，

x当x=25时，y取得最大值为3150；

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答：该超市第20天获得的利润最大，最大利润为3200元．

15.解：（1）依题意得：B（1333，），C（，），

2424131ab,442把B，C代入y=ax2+bx得，

393ab442解得：a1,，

b2∴拋物线的函数关系式为y=－x2+2x；

22∴图案最高点到地面的距离==1；

4(1)（2）令y=0，即－x2+2x=0，

∴x1=0，x2=2，

∴10÷2=5，

∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．

16.解：（1）y1=（6－a）x－20，（0＜x≤200）

y2=10x－40－0.05x2=－0.05x2+10x－40．（0＜x≤80）．

（2）对于y1=（6－a）x－20，∵6－a＞0，

∴x=200时，y1的值最大=（1180－200a）万元．

对于y2=－0.05（x－100）2+460，

∵0＜x≤80，

∴x=80时，y2最大值=440万元．

（3）①（1180－200a）=440，解得a=3.7，

②（1180－200a）＞440，解得a＜3.7，

③（1180－200a）＜440，解得a＞3.7，

∵3≤a≤5，

∴当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．

当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．

当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．

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17.解：（1）由长方形面积为600平方米，得到xy=600，即y=（2）图象如图所示：

600；

x

（3）当x=15（米）时，y=600=40（米），

15a，即4则当实践基地的宽是15米时，实践基地的长为40米．

18.解：设直线OA的解析式为：ykx，把（4，a）代入得：a4k，解得：k直线OA的解析式为：yax．

49a．

x根据题意，（9，a）在反比例函数的图象上，

则反比例函数的解析式为y=当a9ax=时，解得x=±6（负值舍去），

4x故成人用药后，血液中药物则至少需要6小时达到最大浓度．

19.解：（1）∵10÷10%=100（户）

∴样本容量是100；

（2）用水15～20吨的户数：100－10－36－24－8=22（户）

∴补充图如下：

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涵江区石庭侨校

吴文兴

“15吨～20吨”部分的圆心角的度数=360°×22=79.2°

100答：扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数为79.2°．

（3）6×102236=4.08（万户）

100答：该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．

20．解：如图，

过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，

在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，

∴EG=DEsin∠D=1620×∵BC=857.5，CF=EG，

∴BF=BC﹣CF=47.5，

在Rt△BEF中，tan∠BEF=∴EF=3BF，

在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，

∵tan∠AEF=1=810，

2BF，

EFAF，

EF∴AF=EF×tan∠AEF，

∴x+47.5=3×47.5，

∴x=95，

答：雕像AB的高度为95尺．

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