习题训练教学实录与评析

《勾股定理的几何应用》教学设计

珠海市第十三中学 李庆玲

一、内容和内容解析

知识目标： 能进一步运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题。

能力目标：1.通过对数学问题的分析与解决，培养学生的探究能力、质疑能力，提高用数学知识来解决问题的能力.2.帮助学生感受数学与现实生活的联系。

情感目标： 1.体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2.培养学生交流与合作的协作精神。

二、教学重难点：

1.教学重点: 运用勾股定理解决数学问题和实际问题；

2.教学难点: 把实际问题转为数学问题，利用勾股定理解决。

三、教学分析

本节课的教学对象是八年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力，初步具备了有条理地思考与表达的能力。本节课安排是在期末考试前两天，所以内容偏向综合应用题，重点不在平时课堂上答题书写的训练，而是着重于数学思维的培养以及有关勾股定理的方法总结，希望借助于不同题型的体验，帮助同学们强化对勾股定理的认识，并提高图形观察和转化的能力，同时对于实际应用问题能有效地数学建模，利用勾股结合其他的知识点一起解决问题。

四、教法与学法

1.教法：本节采用

“以问题为中心，帮助学生分析问题解决问题，着重学生思维训练和解题方法的指导”为目标的进行，重在师生的交流互动以及知识和方法的归纳和反馈。

2.学法分析：由于本节课处于期末复习最后阶段，所以选出的题型相对综合性强，条件转换比较复杂，课前下发学案让学生预习，课堂上教师进行思路点拨，方法提炼，帮助学生总结归纳，重在查漏补缺，思维训练。

五、教学流程安排

活动1：抛砖引玉引主题，九章勾股内涵多。

活动2：折叠转化边边角，勾股就在图中藏。

活动3：立体图形转平面，直角因地而制宜。

活动4：动态情况要分类，辅助垂直要细心。

活动5：最短路径是对称，构造直角不做作。

活动6：一次函数相结合，考点拓展提能力。

活动7：实际问题图中寻，数学建模见勾股。

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六、教学过程：

课前铺垫：师生共同回顾勾股定理的几何语言，板书两种表达式。C2= ,C= 教师引入主题，勾股定理隐藏在复杂的几何图形中，需要我们细心观察，认真寻找。

1、

抛砖引玉引主题，九章勾股内涵多。

教师课件展示《九章算术》“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。水深葭长各几何？”(一丈=十尺)，结合图文翻译题目意思。

CDB提问：我们要求什么？用什么表示？

指导学生用未知数x表示各边长，简化图形，看到了什么特殊图形？进而用勾股定理建立方程，书写过程，解出x。

归纳思路（板书）：

A（1）

设x （2）用x表示未知边

（3）找到直角三角形（4）建立等量关系（a2+b2=c2）

归纳数学思想（板书）：方程思想、数形结合思想

2、

折叠转化边边角，勾股就在图中藏。

例题1：“折叠”问题

折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求EF的长度。

AD教师指导：折叠的关键是什么？计算的过程有何技巧？

E提问：用到哪些数学思想？思路怎样？总结思路，板书。

设计意图：折叠是一个非常热门的考点，主要考查学生的动态思维能BFC力和转化思想，此题训练学生在图形变换过程中寻找变和不变的因素，以及有用的直角三角形建立合适的等量关系。

3、

立体图形转平面，直角因地而制宜。

例题2：“最短路径”问题

圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程。

教师指导：如何转化图形？联想到哪些知识点？

提问：易错点是哪里？如果换成其他立体图形呢？

用到哪些数学思想？思路怎样？

2

总结思路，板书。

4、

动态情况要分类，辅助垂直要细心。

例题3：“动点”问题

∠A=60度，动点P从A出发沿射线AC运动，AB=10,连接BP,当△ABP是直角三角形时，求BP的长。

BBAC

AC

学生活动，小组讨论，动点P在何时可以构造成直角三角形？请同学们画出来，让学生展示自己的做法。给出评价和总结并板书。

5、

最短路径是对称，构造直角不做作。

例题4：“最短路径”问题

A、B两站相距50千米，已知DA⊥AB,CB⊥AB,DA=30千米，CB=20千米，如果要在AB线段上再建一个巴士站E站，且满足C、D两村到E点的距离之和最短，请求出这时最短的距离是多少千米？ D教师指导：在直线同侧最短路径问题如何表示？

C学生上台展示思路，同时如何构造直角三角形？

设计意图：

AB最短路径是历年考试中难点，其中综合了很多知识点和考点，此题放手给学生，通过作对称点、垂线段等辅助图构造直角三角形。

6、一次函数相结合，考点拓展提能力。

教师追问：

如果把图放在直角坐标系中，如何求出E点坐标？

设计意图：通过拓展训练，放在直角坐标系的背景中，复习了一次函数的相关知识点。

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7、实际问题图中寻，数学建模见勾股。

例题5：“台风”问题

CA市气象站测得台风中心某时刻在A市正东方向400千米的B处,以150千米每小时的速度向西偏北30°的BC方向移动,距AB台风中心250千米范围内是受台风影响的区域. 问：（1）A市是否会受到台风的影响?请说明理由。

（2）

如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长? 教师指导：点到直线的距离（垂线段）的几何意义是什么？如何利用垂线段的长度和半径的大小关系来判断是否受影响？

教师追问：什么情况下开始受影响？什么情况下影响结束？本实际问题转化为什么数学建模（特殊的几何图形）？

设计意图：实际问题转化为数学模型，综合垂线段的几何意义以及推导出等腰三角形求相关边的大小。让同学们通过寻求解答体会数学与生活相互融合转换，同时利用勾股定理解决路程的长度。

七、板书设计：

勾股定理的应用

几何语言

c2=a2+b2知二求一

二、数学思想：

方程、数形结合、分类、转化

c=……知一求二

一、方法提炼：

1、设x 2、用x表示未知边

3、找直角三角形

4、

建立等量关系

三、知识点归纳

1、折叠----等边（角）；

2、立体----平面---构造直角；

3、做垂直（辅助线）；

4、最短路径----垂线段

5、特殊直角三角形三边关系

6、等腰三角形---三线合一

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八：学案设计

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