构建知识体系优质课一等奖

17.2

勾股定理的逆定理

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单运用；理解互逆命题的有关概念．

【过程与方法】

经历探索直角三角形的判定条件过程，理解勾股定理的逆定理．

【情感态度与价值观】

激发学生解决问题的愿望，体会勾股定理逆向思维所获得的结论，明确其应用范围和实际价值．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握勾股定理的逆定理，勾股数，理解互逆命题的有关概念．

【教学难点】

利用勾股定理的逆定理解决问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】阅读教材P31～P33的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2. (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2；那么这个三角形是直角三角形．

2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．

3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．

4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．

(1)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°；

(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；

(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a＋b)(a－b)＝c2. 【互动探索】(引发学生思考)分别已知三角形的边和角，如何判定一个三角形是直角三角形呢？

【解答】(1)在△ABC中，∵∠A＝20°，∠B＝70°，

∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，

即△ABC是直角三角形．

(2)∵AC2＋AB2＝72＋242＝625，BC2＝252＝625，

∴AC2＋AB2＝BC2. 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．

(3)∵(a＋b)(a－b)＝c2，

∴a2－b2＝c2，

即a2＝b2＋c2. 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断直角三角形的常用方法有两种：(1)两锐角互余的三角形是直角三角形(即有一个角等于90°的三角形是直角三角形)；(2)利用勾股定理的逆定理判断三角形的三边是否满足a2＋b2＝c2(c为最长边)．

【例2】写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)原命题的题设为等腰三角形，结论为腰上的高相等，然后交换题设与结论得到其逆命题；可根据三角形面积公式判断此命题的真假．

【解答】命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．

如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD＝BE.

∵BC＝BC，

∴△CBD≌△BCE(HL)，

∴∠DBC＝∠ECB，

∴△ABC为等腰三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．

【例3】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，

各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【互动探索】(引发学生思考)根据“路程＝速度×时间”分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．

【解答】根据题意，得PQ＝16×1.5＝24(海里)，PR＝12×1.5＝18(海里)，QR＝30海里．

∵242＋182＝302，

∴PQ2＋PR2＝QR2，

∴∠QPR＝90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，

∴∠SPR＝45°，

即“海天”号沿西北方向航行．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(

C

) A．5,6,7

C．7,25,24

B．10,8,4 D．9,17,15 2．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？

(1)同旁内角相等，两直线平行；

(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．

解：(1)“同旁内角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角相等，逆命题不成立．

(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立．

3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a、b、c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

解：对．因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，且c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a、b、c是勾股数．

m＝2时，勾股数为4、3、5；m＝3时，勾股数为6、8、10；m＝4时，勾股数为8、15、17. 4．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝5 cm，CD＝5 cm，BC＝4 cm，求四边形ABCD的面积．

解：如图，连结BD.∵∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝5 cm，∴根据勾股定理，得BD＝3 cm.又∵CD＝5 cm，BC＝4 cm，∴CD2＝BC2＋BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD＝90°，1111∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝

AB·AD＋BC·BD＝

×2×5＋×4×3＝

(5＋6)cm2. 2222

活动3

拓展延伸(学生对学) 1【例4】在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断4AF与EF的位置关系，并说明理由．

【互动探索】观察图形，猜测AF⊥EF.证明△AEF为直角三角形可得AF⊥EF. 【解答】AF⊥EF.理由如下：

设正方形的边长为4a. 1∵F是CD的中点，CE＝CB，

4∴EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. ∴AE2＝EF2＋AF2，

∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．

∴∠AFE＝90°，

即AF⊥EF. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形，从

而推出两线的垂直关系．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2－b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

2．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．

3．两个命题的题设、结论整好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．

练习设计

请完成本课时对应练习！