综合应用（通用）优质课教案整理

鸽巢问题

羊山新区第三小学:付冠华

一、创设情境

师:首先我们来玩一个扑克牌的游戏。同学们,这是什么?(举起扑克牌)

生:扑克牌。

师:对扑克牌你有哪些了解呢?好,你来说。

生:扑克牌有54张,分4种花色。

师:哪4种花色?

生:方片、黑桃、红桃、梅花。

师:同学们同意吗?

生:同意。

师:好,请坐。对扑克牌你还有哪些了解?

生:有一张大王,一张小王。

师:噢,一副扑克牌有一张大王,还有一张小王。非常好!那同学们,如果我从这副扑克牌中抽走大王和小王,还剩多少张?

生:52张。

师:那这52张牌,如果我请5位同学上来,每人随意抽一张,那么你可以确定什么?为什么?

生:(想)

师:老师把大王和小王抽走了,如果我请5位同学上来,每人随意抽一张,那么你可以确定什么?

生:确定抽不到大王和小王。

师:(高兴地)确定抽不到大王小王!还有呢?

生:(想不出来)

师:好,没有了。老师可以确定:至少有2张牌是同花色的。我说的对吗?

生:对。不对。

师:对?有些同学说不对。下面我们做实验来验证一下。请5位同学上来,1、2、3、4、5.(5位同学上台)每人随意抽一张。(抽完后)请你们向全班同学展示你们抽到的牌。(亮牌)好,我们来看一下:方片、方片、红桃、方片、梅花。有几个同学是同花色的?

生:3个。

师:有3个同学拿到的都是方片,所以我说至少有2张牌是同花色的,我说的对吗?

生:对。

师:好,这种说法是正确的。请这几位同学回去。好,同学们,这类问题在数学上我们把它叫做鸽巢问题。(板书:鸽巢问题)

二、探究新知

1、解决:把3支铅笔放进2个笔筒里,有几种放法?

师:因为52张牌数量太大了,所以我们先从几个较小的同类问题研究开始。好,同学们请看,把3支铅笔放进2个笔筒里,有哪些放法?同桌两人动手试一试。

学生动手操作,老师巡视,强调“边做边说你是怎么做的”

师:大家做完了吗?

生:做完了。

师:好,我们请这两位同学给我们演示一下,一个做一个说。(生上台)好,开始。

生1:先把第一个杯子放1支铅笔,第二个杯子放2支。再把它们反过来。

师:还可以怎么放?

生1:第一个杯子放3支,第二个杯子1支不放。

师:还有吗?

生:没有了。

师:没有了,好,同学们,你的放法和他一样吗?

生:一样。

师:好,你们有几种放法?

生:3种。

师:哪三种?我们再来看一遍。第一个杯子放1支铅笔,第二个杯子放2支。第二种放法是……

生:反过来。

师:反过来也就是把2支铅笔放进第一个笔筒里,把1支铅笔放进第2个笔筒里。好,老师在这里给大家强调一下,今天我不研究把哪2支铅笔放进哪个笔筒里,只研究铅笔在笔筒里的数量,所以我们把第一种和第二种放法看作是一种情况。那么也就是说把3支铅笔放进2个笔筒里可以这样来做。1个笔筒里放1支,另一个笔筒里放2支。(板书:画图表示)第二种放法呢?一个笔筒里放3支,另一个笔筒

里不放。(板书:画图表示)也就是说把3支铅笔放进2个笔筒里,有哪些放法?

生:2种。

师:谢谢这两位同学!请你们下去!好,我们一起来看看,(放幻灯片)这两种情况分别用(3,0)(2,1)来记录。那我们发现:把3支铅笔放进2个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有几支铅笔?生:2支。

师:这句话正确吗?

生:正确。(有几个说不正确)

师:请这位同学说一说,为什么不正确?

生2:(边演示边说:每个笔筒分别放1支,把第3支横放在2个笔筒之上)

其他学生惊诧。

师:这样行吗?

生:不行。

师:我们说放进笔筒里,你放进去了吗?

生2:没有。

生3:(举手发言)按第一种放法来说一个笔筒里放了2支,但另一个笔筒只放了1支呀。

其他学生提醒:总有一个笔筒

(生3笑了)

师:好,你为什么笑了?

生3:我刚才没理解这句话的意思,它说的是“总有一个”是它们两个总有一个。

师:那么也就是说2个笔筒里总有一个笔筒里至少有2支铅笔。同学们,同意吗?谁愿意把这句话再解释一遍,这句话什么意思?

生4:我觉得“总有一个笔筒”,“总有”的意思是肯定有一个笔筒里至少有2支铅笔。

师:你发现了这里面“总有”表示肯定有,或者说….

生:一定有。

师:“至少有2支”是什么意思呢?

生:最少有2支。

师:或者不少于2支。也包括….

生:2支以上。

2、解决问题:把4支铅笔放进3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有几支铅笔?

师:通过刚才的动手操作,我们发现了把3支铅笔放进2个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。如果把4支铅笔放进3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有几支铅笔?

生:1支。2支。

师:有的说1支,有的说2支。下面我们来动手试一试吧,四人为一小组,并把结果记录下来。

学生动手操作,老师巡视,并强调“记录员作好记录,做完后思考问题”。

师:做完了吗?请这个小组上来汇报。

小组汇报(4人小组展示):首先将第一种放法是第一个笔筒里放4支铅笔,其他两个笔筒一支也不放。第二种放法是第一个笔筒里放3支铅笔,第二个笔筒里放1支,第三个笔筒里不放。第三种放法是第一个笔筒里放2支铅笔,第二个笔筒里放1支,第三个笔筒里放1支。第四种放法是第一个笔筒里放2支铅笔,第二个笔筒里放2支,第三个笔筒里不放。

师:有4种方法,还有吗?

生:没有了。

师:她们在放的时候有什么优点?

生5:总有一个笔筒里有2支。

师想纠正:总有一个笔筒里----

生5:有2支铅笔。

师:总有一个笔筒里----

生5:至少有2支铅笔。

师:非常好!谢谢这组同学!我发现这几位同学表达得很清楚,并且在做的时候很讲究顺序。(放幻灯片)这几种放法用数来记录就是(4,0,0)(3,1,0)(2,1,1)(2,2,0)(板书这些数据)这几位同学善于思考,就把这几种放法完整地找出来了,能做到不重复不遗漏,并且还有同学发现了结论:不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。我们通过动手操作把几种放法一一列举,然后得出结论,这种方法在数学上我们叫做枚举法。如果数据较大用枚举法方便不方便?

生:不方便。能不能用一种更直接的方法得到这个结论呢?

生思考片刻。

师:老师提醒一下,我们假设一下:现在有3个笔筒,我想让笔筒里铅笔比较少,需要把铅笔怎么样?

生:分开放。

师:分开放,也就是平均分。我们假设每个笔筒里先放1支铅笔,也就是放进3支铅笔,还剩下1支,我们来看看。(老师演示)剩下的1支不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。这种方法叫假设法。老师一步就得到了结论,比刚才的枚举法怎么样?

生:更简单。

师:那就是先干什么?

生:先假设。

师:先假设,每个笔筒里放1支铅笔,也就是平均分,分完之后剩下的再调整。你更喜欢哪种方法?

生:第二种。

师:下面请同学们来解决一下这几个问题:

5支铅笔放进4个笔筒里呢?

6支铅笔放进5个笔筒里呢?

7支铅笔放进6个笔筒里呢?

100支铅笔放进99个笔筒里呢?

你能得到哪些结论?

生:不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

师:这几个问题能得到一个相同的结论。为什么呢?你发现了什么?谁愿意来说一说。

生:铅笔数比笔筒数多1.

师:你能得到一个什么结论?

生:总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

师:你们得到结论和他一样吗?你们用什么方法?

生:假设法。

师:先把这些铅笔平均分,都会剩下一支铅笔,这支铅笔不管放到哪个笔筒,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

3、解决例2.

师:把7本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?先小组讨论再汇报。

师:谁愿意来说?

生6:不管怎么放,总有一个抽屉里至少有3本书。

师:为什么?

生6:先把每个抽屉里放2本,最后一本不管放到哪个抽屉里,总有一个抽屉里至少有3本书。

师:你会用算式表示吗?

生6: 7÷3=2(本)……1(本)

师:至少数是3本。大家想一想至少数和什么有关?

生7:至少数和商、余数有关。至少数=商+余数。

师(板书:至少数=商+余数)这位同学的猜想正确吗?我们接着来看。

把8本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?11本呢?16本呢?

生8:8÷3=2(本)……2(本) 2+2=4(本)

生9:不对,总有一个抽屉里至少有3本书。先把每个抽屉放2本书, 3个抽屉共放进6本书。还剩两本书分开放进2个抽屉里,这2个抽屉都是3本书。

师:这位同学很了不起!他用了两次平均分。先把每个抽屉放2本书,还剩2本书也要平均分。同学们看这个猜想正确吗?

生:不正确。

师:至少数等于什么?

生7:至少数=商数+1

师把板书改成:至少数=商数+1

师:11本呢?16本呢?

生10:11÷3=3(本)……2(本) 3+1=4(本)

生11:16÷3=5(本)……1(本) 5+1=6(本)

三、课外知识

师:同学们运用发现的规律很快解决了这些问题。你们发现的这个规律和150年前德国数学家狄里克雷发现的规律一模一样。人们把它叫做“鸽巢原理”,也叫“抽屉原理”。

学生阅读幻灯片上的课外知识。

四、巩固练习

1、七只鸽子飞回五个鸽舍,至少有两只鸽子飞回同一个鸽舍里,为

什么?

学生独立思考后,个别发言。

2、12只鸽子飞回3个鸽舍,至少有()只鸽子要飞进同一个鸽舍。为什么?

学生发言后,共同总结出没有余数时,至少数=商数

3、现在我们回过头来看看扑克牌魔术,你能来说说这个魔术的道理吗?

引导学生进行分析,如果前面4人选中4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4人里的一人相同。所以至少有2张牌是同花色的。

五、总结提升

师:通过这节课,你有什么收获?

生:我学会了鸽巢问题没有余数时,至少数=商数;有余数时,至少数=商数+1。

生7:不要急于下结论,要多思考一会儿。

师:生活中处处有数学,简单的生活现象中蕴含着深奥的道理,我们要学会观察生活,去发现和创造。