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向量的应用----三角形的五四问题

一、复习基础知识知识

重心G：三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与到对边中点距离之比为2:1．中线是过顶点和对边中点的线段，与向量有关的变形结果：AP(ABAC)。重心的向1xxBxCyAyByC,)。

量公式OG(OAOBOC)

，坐标公式G(A333内心M：三角形三条内角平分线的交点，即为三角形内切圆的圆心.ABC中AD为ABAC1BAC的平分线，有定理和面积公式Sr(ABBCCA)。两角相等，ADDC2ABAC与向量有关的变形结果：AP()。

|AB||AC|垂心H：三角形三条高线的交点. 高线是过顶点且与对边垂直的线段。垂直表现为数量积等于0.当重心、内心不成立时，考虑AHBC。

外心N：三角形三条中垂线的交点，即为三角形外接圆的圆心. 中垂线过边的中点且与该边垂直，表现为数量积等于0.当重心、内心不成立时，考虑NDBC（D为BC的中点）。

旁心：三角形相邻两个外角平分线的交点，即旁切圆的圆心．一般不涉及。

有关心的问题处理策略：出现AP(ABAC)，考虑重心；出现AP(ABAC)，考虑内心；其它情况考虑与边对应的向量作数量积(当线段不过|AB||AC|顶点时考虑垂心，否则取边的中点变形考虑外心)。另外必须突出数形结合和基向量意识。

二、基础练习

1．在ABC中，OAOBOC0，O为ABC的 心. 1.重心

ABAC)0，且O在ABC内，则O的轨迹一定过ABC的____心．

|AB||AC|2.内心（若O在ABC外，则O的轨迹一定过ABC的一个旁心）

2.若OA(3.

在ABC中，OAOBOC，O是ABC的 心．

3.外心

4.点O是ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的 心．

4.垂心

222三、例题

例1.

O为平面内的一定点，A、B、C为平面内不共线的的点，动点P满足：

ABACOPOA(),0，则P的轨迹一定过ABC的____心．

|AB|sinB|AC|sinC例1.重心

例2.

已知非零向量AB与AC满足(ABACABAC1)BC0且, 则|AB||AC||AB||AC|2ABC为___________三角形

ABACABAC)BC0知BAC的平分例2.等边。为BAC的平分线，(|AB||AC||AB||AC|线与边BC垂直，得ABAC；1ABACcosAB,AC，得AB,AC，故2|AB||AC|3ABC为等边三角形.

例3.

O为平面内的一定点，A、B、C为平面内不共线的的点，动点P满足：

OPOA(例3.垂心

注：若

ABAC则P的轨迹一定过ABC的____心．

),0，|AB|cosB|AC|cosCABC(非直角三角形)的垂心，则tanA:tanB:tanC，或tanAOAtanBOBtanCOC0．

是OSBOC:SAOC:SAOB例4.已知△ABC内一点O满足关系OA＋2OB＋3OC＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB

之值．

例4. 1∶2∶3.延长OB至B1，使BB1＝OB，延长OC至C1，使CC1＝2OC，连接AB1，AC1，B1C1，如图所示，

则OB1＝2OB，由条件，得OA＋OB1＋OC1OC1＝3OC，＝0，所以点O是△AB1C1的重心．从而S△B1OC1＝S△C1OA＝S1111△AOB1＝S，其中S表示△AB1C1的面积，所以S△COA＝S，S△AOB＝S，S△BOC＝S△B1OC3962111＝×S△B1OC1＝S. 2318111于是S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝∶∶＝1∶2∶3. 1896[点评]

本题条件OA＋2OB＋3OC＝0与三角形的重心性质GA＋GB＋GC＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．

[引申推广]

已知△ABC内一点O满足关系λ1OA＋λ2OB＋λ3OC＝0，则S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝λ1∶λ2∶λ3. 例5.在ABC中,aOAbOBcOC0，(a、b、c分别为ABC三个角A、B、C所对的边长),则O是ABC的____心．

例5.内。以{AB,AC}

为基底。

aOAbOBcOCb(ABAO)c(ACAO)

即aOAbABbAOcACcAO

即(abc)AObABcACbcAB|AB|cbAC|AC|

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即AObcABAC()

abc|AB||AC|即AO所在直线为A的角平分线，同理BO,CO所在直线为B,C的角平分线.故O为ABC的内心. 注：若O为ABC的内心，则SBOC:SAOC．另一种写法为:SAOBa:b:csinAOAsinBOBsinCOC0或|BC|OA|AC|OB|AB|OC0．

备选：若aOAbOBcOC，则O为ABC的__旁___心．

例6.

在ABC中，H为垂心，O为ABC所在平面内一点，且OHOAOBOC，则点O是ABC的_____心．

解：外．由已知得OHOCOAOB

取AB中点为D，则CH2OD，CH∥OD

又CHAB，ODAB，且D为AB中点. OD所在直线为AB边的中垂线. 取BC边，CA边中点分别为E、F，同理可证OE、OF所在直线为BC边、CA边的中垂线，故点O为ABC外心. 注：若O是ABC的外心，则SBOC:SAOC:SAOBsinBOC:sinAOC:sinAOB，或sin2AOAsin2BOBsin2COC0．

四、作业

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为_______. 1.3 2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB_____. 12. 等边三角形

23.ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的____心. 3.垂

4．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形ABOC面积的比是_________. 4.5:4 5.已知O为ABC所在平面内一点，满足|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2|OC|2|AB|2，则点O是ABC的_______心. 5．垂.由已知得：OA(OCOB)2OB(OAOC)2

22OAOCOB2OCOBOBOAOC2OAOC

OCOBOAOCOC(OBOA)0OCAB0OCAB

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222222

同理OBAC,OABC，故点O为ABC的垂心

6.O为平面内的一定点，A、B、C为平面内不共线的的点，动点P满足：

OPOA(6.重

ABAC

),0，则P的轨迹一定过ABC的____心．|AB|sinB|AC|sinC7.已知△ABC内一点O满足关系OA＋2OB＋5OC＝0，则S△BOC∶S△AOB

＝______．

7.1:5 8.ABC的外心为O，垂心为H，OHm(OAOBOC)，则实数m______. 8.1特殊三角形，或充分利用两个垂直求解. 9.O为平面内的一定点，A、B、C为平面内不共线的的点，动点P满足：

OPOBOCABAC

(),0，则P的轨迹一定过ABC的____心．2|AB|cosB|AC|cosC9．外心．

，C为该抛物线上三点，若10. 设F为抛物线y24x的焦点，A，BFAFBFC0，则FAFBFC___________. 10.6

设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FAFBFC=0，则F为△ABC的重心，∴

A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，∴

|FA|+|FB|+|FC|=(xA1)(xB1)(xC1)6．

BA＝(OB＋OC)·11.若(OA＋OB)·则O是△ABC的CB＝(OC＋OA)·AC＝0，____心。

11.外

12.

在ABC中，动点P满足：CACB2ABCP，则P点轨迹一定通过△ABC的____心。

12.外

13.已知ABC三个顶点A、B、C，若ABABACABCBBCCA，则ABC为____________________三角形. 13.钝角

取AC中点D，可推出BCBD。

14.已知A、B、C

是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足

222111OP= (OA+OB+2OC),则点P一定为ABC的（ ）

322A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.重心 D.AB边的中点

14.B。取AB边的中点M，则OAOB2OM，由OP=111 (OA+OB+2OC)322可得3OPOM2OC,OPOM2(OCOP),MP2PC，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B. →＋OB→＋CO→＝0，则△ABC的内15.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA角A等于________________.

加练5.1

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15.

30°由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆→→→→→→心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，

故A＝30°

16.

若G是ABC的重心，a，b，c分别是角A,B,C的对边，若aGAbGB16. 30°

3cGC0，则角A________________.

3

加练5.1

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