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平面向量

一．瞄准高考

1．基本概念

(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0. a(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,a的单位向量为. |a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k,则a＝(1,k)是直线l的一个方向向量．

2．基本定理

(1)共线定理：若b≠0,λ∈R,则向量a与b共线的充要条件是a＝λb. →→→推论：P,A,B三点共线的充要条件是OP＝xOA+yOB,(x+y＝1) (2)平面向量基本定理：若向量a,b不共线,则对于平面的任意一个向量p存在唯一的实数(x,y),使得p＝xa+yb. 3．基本运算

(1)加法、减法法则：运用平行四边形法则要点：两向量共起点；运用三角形法则要点：两向量首尾相接．

把平面向量的加法、减法和数乘向量统称为向量的线性运算．

(2)数量积：把向量a的模与向量b的模以及它们夹角余弦的乘积叫做向量a,b的数量积．即a·b＝|a||b|cosθ(θ为向量a,b的夹角,且θ∈[0,π])．

(3)向量平行、垂直的充要条件:若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a∥b

⇔a＝λb

⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b

⇔a·b＝0⇔x1x2+y1y2＝0. 题型一

平面向量的数量积

→→例1

如图,在Rt△ABC中,∠A＝90°,已知BC＝a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC→→的夹角θ取值时BP·CQ的值最大？并求出这个最大值．

→→→→→→→→→→→→[解]

解法1：∵AB⊥AC,∴AB·AC＝0.∵AP＝－AQ,BP＝AP－AB,CQ＝AQ－AC, →→→→→→→→→→→→→→∴BP·CQ＝(AP－AB)·(AQ－AC)＝AP·AQ－AP·AC－AB·AQ+AB·AC

1→→→→→→→→→＝－a2－AP·AC+AB·AP＝－a2+AP·(AB－AC)＝－a2－PQ·CB

21→→＝－a2+PQ·BC＝－a2+a2cosθ. 2→→→→故当cosθ＝1,既θ＝0(PQ与BC方向相同)时,BP·CQ最大,其最大值为0. 解法2：以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．

设|AB|＝c,|AC|＝b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b)且|PQ|＝2a,|BC|＝a. 设点P的坐标为(x,y),则Q(－x,－y), →→→→∴BP＝(x－c,y),CQ＝(－x,－y－b),BC＝(－c,b),PQ＝(－2x,－2y), →→∴BP·CQ＝(x－c)(－x)+y(－y－b) ＝－(x2+y2)+cx－by.

→→PQ·BCcx－by∵cosθ＝＝2, →→a|PQ|·|BC|→→∴cx－by＝a2cosθ,∴BP·CQ＝－a2+a2cosθ, →→→→故当cosθ＝1,既θ＝0(PQ与BC方向相同)时,BP·CQ最大,其最大值为0.

【点评】

向量数量积,是江苏高考八大C级要求之一,是高考命题的热点．数量积公式的表现形式有二：(1)坐标形式：设向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2+y1y2；(2)一般形式：设向量a、b的夹角为θ,则a·b＝|a|·|b|cosθ.一般地说,题目以什么形式出现,就选用什么形式解题．

向量数量积主要应用于以下三类问题：一是角度问题,二是求模问题,三是与三角形结合解决有关问题．

【变式】(2010·苏北四市联考)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,D,E为BC边上的点,且=

. 1页

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解析：∵∴,又AB=AC, ,

= =2,∠BAC=120°, ∴

题型二

向量的坐标运算

例2

(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)．

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

→→→(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0,求t的值．

→→→→→→【解答】

(1)(方法一)由题设知AB＝(3,5),AC＝(－1,1),则AB+AC＝(2,6),AB－AC＝(4,4)．

→→→→所以|AB+AC|＝210,|AB－AC|＝42. 故所求的两条对角线的长分别为42、210. (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则：E为BC的中点,E(0,1)．

→→又E(0,1)为AD的中点,所以D(1,4)．∴BC＝(－4,－4),AD＝(2,6)．

故所求的两条对角线的长分别为BC＝42,AD＝210；

→→→→→→(2)由题设知OC＝(－2,－1),AB－tOC＝(3+2t,5+t)．由(AB－tOC)·OC＝0,得(3+2t,5+t)·(－2,－1)＝0, →→11AB·OC11→→→2→从而5t＝－11,所以t＝－.或者AB·OC＝tOC,AB＝(3,5),t＝＝－. 5→5|OC|2【变式】(1)设向量a＝(1,3),b＝(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ＝________；

(2)已知向量a＝(2,1),b＝(3,λ),若(2a－b)⊥b,则λ＝________.

【解析】(1)既然是两个向量平行,根据两向量平行的条件条件即可得到关于sinθ,cosθ的方程,根据这个方程解决问题．

方法1：根据两向量平行的充要条件,则存在实数λ使得a＝λb,即(1,3)＝λ(cosθ,sinθ),即1＝λcosθ,3＝λsinθ,两式相除得tanθ＝3. 方法2：由于a∥b,故1·sinθ＝3cosθ,从而tanθ＝3. 方法3：向量a,b可以分别看作两条直线的方向向量,由于a∥b,则这两条直线平行,其斜率相等．以向量a为方向向量的直线的斜率为3,以向量b为方向向量的直线的斜率是tanθ,所以tanθ＝3. (2)方法1：a＝(2，1),b＝(3，λ),故2a－b＝(1,2－λ).(2a－b)⊥b,故(2a－b)·b＝0, 即(1,2－λ)·(3,λ)＝0,即3+2λ－λ2＝0,解得λ＝－1或λ＝3.答案为－1或3. 方法2：(2a－b)⊥b,故(2a－b)·b＝0,即2a·b－b2＝0.将向量坐标代入得2(2,1)·(3,λ)－(32+λ2)＝0,即3+2λ－λ2＝0,解得λ＝－1或λ＝3.答案为－1或3. 题型三

向量的线性运算

→→→例3

如图所示,在△OAB中,已知P为线段AB上的一点,OP＝x·OA+y·OB. →→(1)若BP＝PA,求x,y的值；

→→→→→→→→(2)若BP＝3PA,|OA|＝4,|OB|＝2,且OA与OB的夹角为60°,求OP·AB的值．

→→【解答】

(1)∵BP＝PA, 11→→→→→→→→1→1→∴BO+OP＝PO+OA,即2OP＝OB+OA,∴OP＝OA+OB,即x＝,y＝. 2222→→→→→→→→→(2)∵BP＝3PA,∴BO+OP＝3PO+3OA,即4OP＝OB+3OA, 31→3→1→∴OP＝OA+OB,∴x＝,y＝. 44441→→3→1→→→1→→3→→1→→12321OP·AB＝4OA＋4OB·(OB－OA)＝OB·OB－OA·OA+OA·OB＝×2－×4+×4×2×＝－9. 4424422【点评】

对向量的考查,要关注向量的坐标运算和它们的几何意义,加强数与形相结合的关注度,2页

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同时也要对向量与其他知识的综合运用给予足够重视．

【变式】已知点G为△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且AM=xAB,AN=yAC,则11+=

. xy解

根据题意G为三角形的重心,故AG=(AB+AC), 111(AB+AC)-xAB=(-x)AB+AC, 333111GN=AN-AG=yAC-AG=yAC-(AB+AC)=（y-）AC-AB, 333MG=AG-AM=13由于MG与GN共线,根据共线向量基本定理知

11x11113MG=GN(-x)AB+AC=(y)ACAB,333331(y1)33x+y-3xy=0两边同除以xy得1+1=3. xy11x3=3

11y33题型四

平面向量的综合应用

例4

已知向量a＝(sin x,cos x),b＝(3cos x,cos x)且b≠0,定义函数f(x)＝2a·b－1. (1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若a∥b,求tan x的值；

(3)若a⊥b,求x的最小正值．

【思维启迪】

(1)根据已知求f(x)的解析式,再由三角函数的单调性求f(x)的单调递增区间；(2)由向量平行的充要条件求tan x的值；(3)a⊥b⇒a·b＝0,得到关于x的三角等式,进而求出x的最小值．

π【解答】

(1)f(x)＝2a·b－1＝2(3sin xcos x+cos2x)－1＝3sin 2x+cos 2x＝2sin(2x+)．

6πππππππ由2kπ－≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ－≤x≤kπ+,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为[kπ－,kπ+],k∈Z. 2623636(2)由a∥b,得sin xcos x－3cos2x＝0,∵b≠0,∴cos x≠0.∴tan x－3＝0,∴tan x＝3. 3(3)若a⊥b,则a·b＝0.∴3sin xcos x+cos2x＝0.∵b≠0,∴cos x≠0.∴3tan x+1＝0,即tan x＝－. 35π5π∴x＝kπ+,k∈Z.∴当k＝0时,x有最小正值. 66【探究提高】

向量与三角函数结合是高考命题的一大热点,在解决有关向量的平行、垂直问题时,先利用向量的坐标运算,再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．

二．课后提升

1.

(2010·全国卷)a,b为平面向量,已知a＝(4,3),2 a+b＝(3,18),则a,b夹角的余弦值

. 【解析】∵a＝(4,3),∴2a＝(8,6)．又2a+b＝(3,18),∴b＝(－5,12),∴a·b＝－20+36＝16.又|a|＝5,|b|＝161613,∴cos〈a,b〉＝＝. 5×1365π4π2.

已知向量a＝(sin(α+),1),b＝(4,4cos α－3),若a⊥b,则sin(α+)等于

. 63ππ【解析】因为a⊥b,所以4sin(α+)+4cos α－3＝0,即23sin α+6cos α－3＝0,即43sin(α+)＝3,所以63π14ππ1sin(α+)＝,又sin(α+)＝－sin(α+)＝－. 343343.

A是△ABC的一个内角,且向量m＝(3,cos A+1),n＝(sin A,－1),m⊥n,则角A的大小为________．

【解析】∵m⊥n,∴m·n＝(3,cos A+1)·(sin A,－1)＝3sin A+(cos A+1)×(－1)＝0, π1ππ5ππππ∴3sin A－cos A＝1,∴sin(A－)＝.∵0

(2010·浙江卷)已知平面向量α、β,|α|＝1,|β|＝2,α⊥(α－2β),则|2α+β|的值是________．

1【解析】由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0,∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1,∴α·β＝.又∵|β|＝2,∴|2α+β|＝(2α＋β)223页

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＝4α2＋4α·β＋β2＝14＋4×＋4＝10. 2mλm，＋sin α,其中λ,m,α为实数,若a＝2b,则的取值范围5.

设两个向量a＝(λ+2,λ2－cos2α)和b＝2m是

. λ＋2＝2m，

①λ＝2m－2【解析】

由a＝2b知2∴2

22λ－cosα＝m＋2sin α.

②λ－m＝cosα＋2sin α又cos2α+2sin

α＝－sin2α+2sin

α+1＝－(sin

α－1)2+2 1λ2m－22∴－2≤cos2α+2sin

α≤2∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2

∴≤m≤2.∴＝＝2－∈[－6,1]．

4mmm

6.

(2010·天津卷)如图,在△ABC中,AD⊥AB, BC3BD,|AD|1,则ACAD

. 【解析】设BD＝a,则BC＝3a,作CE⊥BA交BA的延长线于E,可知∠DAC＝∠ACE,在Rt△ABD中,sin B111＝＝.在Rt△BEC中,CE＝BC·sin B＝3a·＝3,∴cos ∠DAC＝cos ∠ACE＝BDaa33.ADAC|AD||AC|cosDAC＝AD·AC·＝3. ACAC7.

等边三角形ABC中,P在线段AB上,且APAB,若CPABPAPB,则实数的值是

22

．

2

, ∴2λ2-4λ+1=0,(0<λ<1),解得：λ=

(0<λ<1),得解析：由题意不妨设等边三角形ABC的边长为1,如图由即答案：

→→→→→8.

若△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC＝0.则OA·CB=

. →→→→→→【解答】

(1)由3OA+4OB+5OC＝0可得3OA+4OB＝－5OC, →→→→→→→平方得：9OA2+16OB2+24OA·OB＝25OC2,得OA·OB＝0. 4→→3→→→→→→→→3同理可得OB·OC＝－，OC·OA＝－.所以OA·CB=OA·OB-OC·OA=. 5559.

(2009·江苏卷)设向量a＝(4cos α,sin α),b＝(sin β,4cos β),c＝(cos β,－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直,求tan(α+β)的值；

(2)求|b+c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16,求证：a∥b. 【解析】(1)因为a与b－2c垂直,所以a·(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β＝4sin(α+β)－8cos(α+β)＝0.因此tan(α+β)＝2. (2)解

由b+c＝(sin β+cos β,4cos β－4sin β), 得|b+c|＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝17－15sin 2β≤42. π又当β＝－时,等号成立,所以|b+c|的最大值为42. 44cos αsin α(3)证明

由tan αtan β＝16得＝,所以a∥b. sin β4cos β3x3xxxπcos，sin，b＝cos，－sin，且x∈0，，

10. 已知向量a＝22222求：(1)a·b及|a＋b|；

3(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．

24页

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3xx3xx解：(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos 2x.|a＋b|＝

2222π0，，∴cos x≥0，∴|a＋b|＝2cos x. 2cos2x.∵x∈2cos3x＋cosx2＋sin3x－sinx2＝2＋2cos 2x＝2222π0，，∴0≤cos x≤1. (2)f(x)＝cos 2x－4λcos x即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.∵x∈2①当λ<0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．

31②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－，解得λ＝. 223③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，

251解得λ＝，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝即为所求．

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