2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教案

平面向量基本定理与正交分解及坐标表示教学设计

一、

教学内容：

在高中数学教材中，很多知识，如果学生记住结论，学生就能解决一系列的数学题目。对于这类知识的教学一直困扰我很久。到底是简单地让学生记住一个公式，一个结论，或是纯粹地模仿技能，还是要让学生通过不断的思考、探究、实践，摸索总结出公式和结论呢？新的《普通数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。”“教师不仅是知识的传授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者。”本案例就是为了针对解决这样的困惑而展开的教学思考。

二、

教材分析：

【教材中所处位置】：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。中学数学教材新增向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。（强调向量应用意识）

【课时安排】：2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的坐标表示，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。考虑到学生的接受能力，本教学设计将内容1，2安排为一个课时。

【教学目标】

1.知识目标：

使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；

2.能力目标：

①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能

力。

3.德育目标：

在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

【教学重点】：平面向量的正交分解及坐标表示

1

突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解

突破办法：设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析. 虽然教材中涉及平面向量坐标表示的笔墨不多，但其中值得体会理解的东西还是比较多，比较有“内涵”。因为之前所学的定义、概念、

定理在这里得到了综合应用，共同作用得出了平面向量的坐标表示。

三、

学情分析：

对于学生来说，向量是个新内容。前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。学生对这块知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，不是简单地告诉他们如何写出向量的坐标．要注意引导学生积极参与知识形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结知识获得过程中的思想方法. 四．教学方法：启发式谈话法

教 具：多媒体课件

授课类型：新授课

五.教学过程：

一、知识再现、学习准备

平面向量基本定理： a，有且e1、e2是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 如果 只有一对实数 aλ1e1+λ2e2。

1、2，

使 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(1)我们把不共线向量 (2)基底不唯一，关键是不共线；

e1、e2的条件下进行分解；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底

e2唯一确定的数量。

1、2是由a,e(4)基底给定时，分解形式唯一. 1、二、教学过程设计. （一）问题情境1：倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?

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设计说明：引出课题。回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

（二）向量坐标表示的定义探究

提出问题

1.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? 2.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

⒊平面向量的正交分解及坐标表示(讲授新课) 师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些用？这些力之间有什么关系？

生：该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．也就是说，重力G的的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．

师：物理学中，G=F1+F2叫做把重力G分解．

由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a均可以分解为不共线的两个向量1e1、力的作2e2，使a＝1e1+2e2．

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．

如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．

⒋平面向量的坐标表示

师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj．

这样，平面内的任一向量a都可以x、y唯一确定，我们把有方向相同a，由平面序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，式子a＝(x,y)叫作向量的坐标表示.

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根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i、j以及零向量的坐标表示是怎样的？

生：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)．

（三）向量与坐标的对应关系

师：如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作则点A的位置由向量a唯一确定．

设OAxi＋yj，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标；OAa，反过来，终点A的坐标(x,y)就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．

有人说：直角坐标平面内向量a的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？

生：这种说法不正确．只有当向量a的始点是坐标原点时，向量的坐标才是它的终点坐标．

师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量的集合之间有一一对应关系．

（四）例题讲解: 例1 如图,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标. 活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.

解:由图可知,a=AA1+AA2=xi+yj,

∴a=(2,3).

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同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 三、本节课时小结: ⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．

⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．

四、课后作业：

⒈课本102页习题2.3 B组 ⒊

⒉预习课本P106～P108，思考下列问题：

⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？

⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？

⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？

⑷例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？

板书设计：

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 知识点回顾

⒈向量的正交分解 ⒈向量的若干概念

⒉向量的坐标表示 ⒉向量的夹角 3.向量与坐标的对应关系 3.平面向量基本定理

小结

六．课后反思

教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者，组织者和合作者。因此，上课不止是教会学生如何使用结论，更重要是教会学生如何获得结论。本课是我对这一要求的一种探索与尝试。现在总结为以下三个方面：

1、

扮演好“引导者”的角色

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为了激发学生学习的热情，我以自己姓氏引入，极大调动了学生的积极性，为整节课的课堂效果作了一个很好的铺垫。

这个环节让我感受到：对于一些“繁、难、偏、旧”的学习内容，单纯的机械式接受学习既无法体现数学知识的背景与应用，也无法引起学生的学习兴趣。相反，对于这些内容，如果我们可以多思考一下，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验，让学生感觉到自己是数学学习的主人。

2、

扮演好“组织者”的角色

在教学过程中，光作好一个“引导者”的角色是不够的。无论过去还是现在，我们所面对的学生层次总有不同，知识背景，实际能力存在差异，组织好教学内容及学习过程，因材施教永远是我们教师需要考虑的问题。同时在现代技术的背景下，数学教学中也出现了越来越多的新技术手段，这些都是对传统教学手段的有益补充，如何用好这些手段，同样需要我们教师用心将其整合到教学过程中去，以期让所有学生都能从中或多或少的有所收获，使学生学习数学、理解数学。

3、

扮演好“合作者”的角色

本节课在教师的不断铺垫不断引导下，学生不断观察和思考中，得到了本课需要学生掌握的结论。因此在数学教学中，教师的活动与学生的活动相互独立又相互依存。我们作为教师，必须把握我们自身所处的位置，充分而又恰当地发挥教师的主导作用，同时要充分发挥和调动学生学习的积极性、主动性。

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