复习参考题优质课教学设计

用极化恒等式巧解一类平面数量积问题

一、教学目标

1.

知识目标：极化恒等式的两种模式-平行四边形模式和三角形模式，熟悉其几

何意义，能用极化恒等式求数量积的值、最值、范围；

2.能力目标：培养学生的观察、分析问题的能力，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯；建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的转化；

2.

情感、态度、价值观目标：通过创设问题情境激发学生学习数学的情趣和热

情. 二、重难点

1.

重点：掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题，用极化

恒等式解题的基本步骤是：取中点，连线，中线平方-对边一半的平方；

2.

难点：根据具体问题情境，灵活运用极化恒等式. 三、教学方法与手段

1.

方法：启发式教学法；

2.

手段：多媒体ppt、数形结合. 四、教学过程

（一）情境引入

1.极化恒等式的平行四边形模式: 设a,b是平行四边形ABCD中相邻两边所在的两个向量，根据向量的加法运算和减法运算规则得：abAC，abDB，以上两式两边平方得：12ab(AC)(BD)2.--平行四边形模式：向量的数量积可以表示为以这组向4量为邻边的平行四边形的“和对角线”和“差对角线”平方差的1. 4

2.极化恒等式的三角形模式

那么我们在三角形中继续探究：在ABC中，AM是BC边上的中线，则有ABACAM2BM2.-------三角形模式

故从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，巧妙地建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的转化.

（二）用极化恒等式求数量积的值

例1.在ABC中，M是边BC的中点，AM=3,BC=10,ABAC= . 教学目的：ppt展示题目，教师和学生边读题，边作图，分析结论和条件是否符合极化恒等式模式，再代入求解.同时让学生思考是否有其他几何法或者坐标法可以解决该题，目的是让学生找到极化恒等式可以巧妙又快速地解这种数量积问题. 例2.已知正方形的ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DEDA= . 教学目的：（学生自己读题、动手），独立完成，教师在黑板上作图，然后让A生回答方法和答案，让其他成员判断正误.容易题. 例3.在ABC中，D是边BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BACA4,BFCF1,则BECE的值是= . 

教学目的：教师和学生一起读题分析，根据条件中的三等分关系，引导学生思考怎么定标准（设长度），最后的运算交给学生们自己解决，允许小组交流. 这是江苏省某年的高考题，该题用极化恒等式简直是量体裁衣.大大激发了学生掌握极化恒等式解题的浓烈兴趣.

（三）用极化恒等式求数量积的最值或范围

平面向量在学考和高考中经常考查求两个动向量的最值或范围问题，作为高一的我们也应该适应这种“气候”.请看下面的例子. 例4.设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆弧PAB上，则PDPC的取值范围是 . 教学目的：这里是一个顶点出发的两向量数量积问题，学生跃跃欲试地说可以用极化恒等式，教师配合作图，取中点，得到中线平方-对边一半的平方，这是直接具有操作性的，不存在系数关系，学生容易掌握且不易错. 在教学过程中学生体会到这种模型用极化恒等式解题的基本步骤是：取中点，连线，中线平方-对边一半的平方. 例5.在半径为1的扇形A0B中，AOB600，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OPBP

的最小值是 .



教学目的：（学生自己动手），教师巡视周围，发现学生真实的学习状态，从画图了解学生数形结合的数学方法是否熟练到位，从找到中点，确定定量，找到变量变化的规则，得出最值或范围来检测学生对之前极化恒等式公式的理解和运用是否掌握牢固，并作出及时的帮助，但不是提醒和直接求解.这里的时间可以根据具体情况延长，等待学生自己解决问题的那一刻，期待花开的那一霎. 例6.已知ABC中，AC=BC=4，AB=42,点D是AB中点，点P在ABC的各条边上运动,则PCPD的取值范围是 . 教学目的：（请B生挑战）以“你说我写”的形式，教师只是代为呈现到黑板的一个工具辅助，让学生口头表述，这非常锻炼学生对该知识点的灵活应用能力，通过他的表达，教师的呈现，其他同学作为裁判式地倾听和判断，再到讨论议论，思维的碰撞到最后全班同学的一致通过，极大程度地提高了同学们的参与度，并且是用同龄人自己的对话空间和口吻进行了交流. （四）用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题

例7.在ABC中，点E,F分别是线段AB,AC的中点，点P在直线EF上，若ABC的面积为2，则PBPCBC的最小值是 . 教学目的：（师生共同完成）取BC中点M，连PM，故PBPCBC22=PMBMBC222=212PMBCBC42=132322PMBCP0MBC，其中P0MBC，且P0Mh，h是边BC2442上的高线长，根据面积得hBC4，于是，再把PBPCBC212313162hBCh22，然后利用“双勾函数”性质求4444h解.把向量问题转化为长度问题,把多变量问题转化为单变量问题.

1例8.设△ABC,P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点4P，恒有

PBPCP0BP0C，则(

). A.ABC90

B.BAC90

C.ABAC

D.ACBC

教学目的：浙江省高考题.先学生独立思考，再师生共同分析，数形结合，设计平面知识尤其是三角形性质时，教师留白给学生慢慢回忆，直到全部共鸣.

（五）总结

1.极化恒等式几何意义；

2.常用于解决两动向量数量积问题；（一定点到两动点，一动点到两定点）

3.把多变量问题转化为单变量问题，把向量问题转化为长度问题；

4.用极化恒等式解题的基本步骤是：取中点，连线，中线平方-对边一半的平方量问题转化为长度问题. 5.数学中没有万能的公式可以一法解万物.数量积问题考虑定义，考虑几何意义（投影），考虑极化恒等式，考虑建立平面直角坐标系，坐标法求解.所以题感很重要，这来自平时的数学核心素养的积累.

（六）自我挑战

1.已知圆C的圆心为C，半径为1，AB是圆C的弦且AB2，点M在弦AB所对优弧上运动（包括端点），则MAMB的取值范围是 . 2.正方形ABCD边长为1，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M,交CD于N，P为平面上一点，且2OPOB(1)OC，则PMPN的最小值是 .

3.在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B,C分别在m，n上，ABAC5，则ABAC的最大值是 .

