复习参考题优质课一等奖教案

第三讲 三角函数与平面向量

【知识网络】

任意角的概念

应用

弧长公式

同角三角函数的基本关系式

诱导

公式

应用

计算与化简

证明恒等式

应用

角度制与

弧度制

任意角的

三角函数

三角函数的

图像和性质

应用

已知三角函数值求角

和角公式

应用

应用

倍角公式

差角公式

应用

第1课 三角函数的概念

考试注意：

理解任意角的概念、弧度的意义．

能正确地进行弧度与角度的换算．

掌握终边相同角的表示方法．

掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．

掌握三角函数的符号法则． 知识典例： 1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成 ．

2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边 ( ) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y=x上 D．在直线y=－x上

．

3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα} ，tanα=

．

tan(－3)cot54．

的符号为 ．

cos85．若cosθtanθ＞0，则θ是 ( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一、二象限角 D．第二、三象限角

【讲练平台】

例1 已知角的终边上一点P（－

3 ，m），且sinθ= 2 m，求cosθ与tanθ的4值． 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程． 1

mm2解 由题意知r= 3＋m

，则sinθ= =

．

r

3＋m2

又∵sinθ= 2 m2 m， ∴

= m． ∴m=0，m=±5 ． 244

3＋m

当m=0时，cosθ= －1 ， tanθ=0 ；

当m= 5 时，cosθ= －

6 15 ， tanθ= －

；

436 15 ，tanθ=

．

43当m= －

5 时，cosθ= －

点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决． 注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．

α1．

已知α是钝角，那么

是 （ ） 2A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一与第二象限角 D．不小于直角的正角 2．

角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是 （ ） A．

3 434 B．

C．－

D．－

55553．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( ) π3π5πππ5πA．( ，

)∪(π，

) B．( ，

)∪(π，

) 244424π3π5π3πππ3πC．(

，

)∪(，) D．( ，

)∪(

，π) 2442424344．若sinx= －

，cosx =

，则角2x的终边位置在 ( ) 55A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2π5．若4π＜α＜6π，且α与－

终边相同，则α= ．

36．

角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．

7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为 ．

8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)·sin(sinθ)的符号为什么？

9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积． 第2课 同角三角函数的关系及诱导公式 sinα22掌握同角三角函数的基本关系式：sin α+cosα=1，

=tanα，tanαcotα=1， cosα掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题

． 2221．sin150°+sin135°+2sin210°+cos225°的值是 ( ) 2

13119A．

B．

C．

D．

444432．已知sin(π+α)=－，则 ( ) 54343A．cosα= B．tanα= C．cosα= － D．sin(π－α)=

54554sinα－2cosα3．已tanα=3，

的值为 ．

5cosα＋3sinα4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．

5445．已知θ是第三象限角，且sinθ+cosθ= ，那么sin2θ等于 ( ) 922 22 22A．

B．－ C． D．－

3333sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) 例1 化简

． cos(π-α)tan(3π-α) 分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化． （-sinα）tanα［-cot(α+π) ］(-sinα)tanα(-cotα) 解 原式= = (-cosα)tan(π-α) (-cosα)(-tanα)cosαsinα· sinα= =1 ． cosα 点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法． 1ππ 例2 若sinθcosθ=

，θ∈(

，)，求cosθ－sinθ的值． 842 分析 已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方． 13222 解 (cosθ－sinθ)=cosθ+sinθ－2sinθcosθ=1－

=

． 44ππ∵θ∈(

，)，∴ cosθ＜sinθ． 42∴cosθ－sinθ= －

3

． 23

，

求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值． 2 变式1 条件同例，

求cosθ+sinθ的值． 变式2 已知cosθ－sinθ= －

点评 sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二． 1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数． 222．注意1的作用：如1=sin θ+cosθ． 3．要注意观察式子特征，关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子． 4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题

． 1．sin600°的值是 （ ） 3

113 3 A． B．－

C． D．－

2222ππ2． sin(+α)sin（－α）的化简结果为 （ ） 4411A．cos2α B．cos2α C．sin2α D．

sin2α 2213．已知sinx+cosx=，x∈［0，π］，则tanx的值是 （ ）

534434A．－ B．－

C．± D．－或－

43343114．已知tanα=－，则 = ． 23 2sinαcosα+cosα1－2sin10°cos10°

5．

的值为 ． 2cos10°－1－cos170°

1+2sinαcosα1+ tanα6．证明 =． 22 cosα－sinα 1－tanα 2sinθ+cosθ7．已知=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值． sinθ－3cosθ

8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．

第3课 两角和与两角差的三角函数（一） 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．

1．cos105°的值为 （ ） A．6 ＋2 6 －2 2 －6 －6 －2 B．

C．

D．

44 44π），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是 （ ） 22．对于任何α、β∈（0，A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定

3π3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 （ ） 2A．

a+1 B．－

a+1 C．

a+1 D．±a+1 114．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ． 3315．已知tanx=，则cos2x= ． 24

22

11

例1 已知sinα－sinβ=－

，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值

． 32 分析 由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方． 11 解 ∵sinα－sinβ=－， ① cosα－cosβ=

， ②

321322①

＋②

，得2－2cos(α－β)=

． 3672∴cos(α－β)= ． 59 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异． 例2 已知：sin(α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)． 分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角． 解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α， ∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］． ∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα． 若cos(α+β)≠0 ，cosα≠0，则3tan(α+β)=tanα． 点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体 π341．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于 （ ） 255242424A．0 B．0或 C．

D．0或－

252525sin7°+cos15°sin8°2．

的值等于 （ ） cos7°－sin15°sin8°2+3 2－3 A．2+3 B．

C．2－3 D．

223．

△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ） π5ππ5ππ2πA．

B．

C．

或 D． 或

666633π14．若α是锐角，且sin(α－)= ，则cosα的值是 ． 63π2π3π5．coscoscos = ． 777116．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°． 23

5

44π3π7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，55222π），求cos2α、cos2β的值．

11tanα8．

已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求． 23tanβ

第四课

平面向量基本概念

一、1.向量是既有 又有 的量。

①几何表示：有向线段 ②符号表示：用有向线段的记法表示

4.向量的模是指向量的 ，向量AB的模记为 。

5.零向量与单位向量

①模为 的向量叫零向量，规定零向量的方向是任意的，记作： 。

②模为 的向量叫单位向量，（有

个单位向量）

6.向量间关系

①相等向量：是指方向 且模 的向量，所有相等的非零向量都可用同一条

有向线段表示而与起点无关，向量a与

b相等记为 。

②自由向量：数学中的向量只有两要素 、 ，它可以平移到以空间任意

一点为起点而向量不变，本章研究平面自由向量。

③平行向量：也称共线向量，是指方向 或 的非零向量

（平行向量可以平移到同一条直线上，故称共线向量）(零向量与任意向量平行) 二、①设AB=a，BC=b，则AC叫做 的和，记作 。

②a+ =0+ =a

③向量加法运算的交换律： ，

结合律： . ④求作两个向量和的方法有 法则和 法则. 三、①与向量a 的向量，叫做a的相反向量，记作 ，

零向量的相反向量是 。

②-（-a）= ，a+（-a）= 。

③若a、b是相反向量，则a= ，b= ，a+b= 。

④向量a加上b的相反向量，叫做 ，

既：a-b= 。

⑤OA=a，OB=b，则BA= 。

四、

1.实数λ与向量的a积还是一个 ，记作 ；

2.λa的长度与方向规定如下（λ∈R）

①|λa|= ，

②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ，当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；

③0a= , λ0= ；

3. 实数与向量的积满足结合律与分配律，设λ、μ为实数，则

①λ(μa)=(λμ)a；②(λ+μ)a= ；③λ(a+b)= . 4.向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b= . 6

B O A

五、向量e1、e2是同一平面内两个不共线的向量, a为这个平面内任一向量,则向量a，可用e1、e2表示为a= ，其中 ， 为惟一存在的一组实数；

另外不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的其中一组 。

①在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位

向量

i、j作为基底.对平面内任意一个向量a，有且只有

一对实数x、y，使得a= （向量的分量表示）

记作a=（ ， ）（向量的坐标表示），其中x叫做a的 坐标

，y叫做a的 坐标，

②向量i、j、0的坐标表示分别是i=（ ， ），j=（ ， ），0=（ ， ）

③若a=(x,y),那么与a相等的向量的坐标为 ④若a=(x１,y1),b=(x2,y2),则a＋b＝

，λa＝

. a－b＝

，⑤若点A、B的坐标分别为(x１,y1), (x2,y2)，那么AB的坐标为 . 六、若向量a∥b，则a∥b（b≠0）的充要条件是：存在唯一实数λ，使 ①

②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且（b≠0）则a∥b的充要条件是 七、

①设点P是直线P1P2上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ使 ，

λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比，点P是有向线段P1P2的分点。

2设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)且PP=λPP（λ≠-1）；则x= ，○21y= . 若点P在线段P1P2的中点时，x= ，y= . 八、1．.平面向量的数量积的定义及几何意义

①向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0≤θ≤π）

叫做向量a与b的夹角。a⊥bθ= , a∥bθ= . ②平面向量的数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积、点乘），记为：a·b= . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . ③a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上投影|b|cosθ的乘积.

第五课

平面向量数量积的坐标表示

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0 7

3．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积

4．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1ea = ae =|a|cos；2ab



ab = 0 3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|

特别的aa = |a|2或|a|aa

4cos =ab|a||b|

；5|ab| ≤ |a||b| 5．

平面向量数量积的运算律

交换律：a



b = b



a

数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b) 分配律：(a + b)c = ac + bc

二、讲解新课：

⒈平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x,y11)，b(x2,y2)，试用a和b的坐标表示ab

设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么

axyiy1i1j，bx22j

所以ab(xx2y21iy1j)(2iy2j)x1x2ix12ijx2y1ijy1y2j

又ii1，jj1，ijji0

所以abx1x2y1y2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

即abx1x2y1y2

2.平面内两点间的距离公式

（1）设a(x,y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2

8

（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab

x1x2y1y20

4.两向量夹角的余弦（0） abcos =|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

三、讲解范例：

例1 设a = (5, 7)，b = (6, 4)，求ab

解：ab = 5×(6) + (7)×(4) = 30 + 28 = 2 例2 已知a(1, 2)，b(2, 3)，c(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形

证明：∵AB=(21, 32) = (1, 1), AC= (21, 52) = (3, 3) ∴ABAC=1×(3) + 1×3 = 0 ∴ABAC

∴△ABC是直角三角形

例3

已知a = (3, 1)，b

= (1, 2)，求满足xa

= 9与xb = 4的向量x

解：设x= (t, s)，

xa93ts9t2 由 ∴x= (2, 3) xb4t2s4s3例4

已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少? 分析：为求a与b夹角，需先求ab及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１）

有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２2．

ab2记a与b的夹角为θ，则cosθ＝

2ab又∵０≤θ≤π，∴θ＝

49

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 例5

如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使b = 90，求点b和向量AB的坐标

解：设b点坐标(x, y)，则OB= (x, y)，AB= (x5, y2) ∵OBAB ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2

5x

 2y = 0 又∵|OB| = |AB| ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29 2273由xy5x2y0xx110x4y29223或2

y712y22∴b点坐标(72,32)或(32,72)；AB=(37732,2)或(2,2) 例6 在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，

求k值

解：当a = 90时，ABAC= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =32 当b = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB= (12, k3) = (1, k3) ∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =113 当C= 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =3132 四、课堂练习：

1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|２－４ab＝（ ）

A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知a(1,2),b(2,3),c(-2,5)，则△abc为（ ）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形

3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）

A.(3,4)或(4,3)345555 B.(5,5)或(35,45)

C.(344334345,5)或(5,5) D.(5,5)或(5,5)

4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)= .

10

15.已知a(3，2)，b(-1，-1)，若点P(x,-)在线段ab的中垂线上，则x= . 26.已知a(1，0)，b(3，1)，c(2，0)，且a=BC,b=CA,则a与b的夹角为 . 六、课后作业：

1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为（ ）

A.13 B.135 C.655 D.65

2.已知a=(λ，２)，b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）

101010 C.λ＜ D.λ≤

3333.给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1)且(a+xb)⊥(a-b),则x等于（ ）

A.λ＞ B.λ≥103232323 C. D. 234aa4.已知||=10,b=(1,2)且∥b,则a的坐标为 .

A.23 B.

5.已知a=(1,2),b(1,1),c=b-ka,若c⊥a，则c＝ . 36.已知a=(3,0),b=(k,5)且a与b的夹角为，则k的值为 . 47.已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件x·a=9与x·b=-4的向量x.

8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ABC＝90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标.

9.四边形ABCD中=AB(6,1), BC=(x,y)，CD=(-2,-3), (1)若BC∥DA，求x与y间的关系式；

(2)满足(1)问的同时又有AC⊥BD,求x,y的值及四边形ABCD的面积.

第六课

平面向量的数量积及运算律

一、基本概念：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量11

C

|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为

|b|

4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1ea = ae =|a|cos；2ab



ab = 0 3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|

特别的aa = |a|或|a|aa

4cos =2ab

；5|ab| ≤ |a||b| |a||b|7．判断下列各题正确与否：

1若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0 ( √ ) 2若a



0，则对任一非零向量b，有ab

 0 ( × ) 3若a



0，ab = 0，则b = 0 ( × ) 4若ab = 0，则a

、b至少有一个为零 ( × ) 5若a



0，ab = ac，则b = c ( × ) 6若ab = ac，则b = c当且仅当a



0时成立 ( × ) 7对任意向量a、b、c，有(ab)c



a(bc) ( × ) 228对任意向量a，有a = |a| ( √ ) 二、：平面向量数量积的运算律

1．交换律：a



b = b



a

证：设a，b夹角为，则a



b = |a||b|cos，b



a = |b||a|cos

∴a



b = b



a

2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b) 证：若> 0，(a)b =|a||b|cos，

(ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，

若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，

(ab) =|a||b|cos，

a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos

3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作OA= a, AB= b，OC= c，

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∵a + b

（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，

即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

∴| c | |a

+ b| cos

=|c| |a| cos1

+ |c| |b| cos2

∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ

２２（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

２２２(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ

三、讲解范例：

例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a

 5b垂直，a

 4b与7a

 2b垂直，求a与b的夹角

22解：由(a + 3b)(7a

 5b) = 0  7a + 16ab

15b = 0 ①

22 (a

 4b)(7a

 2b) = 0  7a

 30ab + 8b = 0 ②

2两式相减：2ab = b

22代入①或②得：a = b

bc

abb21设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60

2|a||b|2|b|2例2

求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

解：如图：2ABCD中，ABDC，ADBC，AC=ABAD

222∴|AC|=|ABAD|ABAD2ABAD

而BD=ABAD ∴|BD|=|ABAD|ABAD2ABAD

2222∴|AC|+ |BD|= 2AB2AD= |AB|2|BC|2|DC|2|AD|2

2 2 22例3 四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形? 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量

解：四边形ABCD是矩形，这是因为：

一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，

２２∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)＝（с＋ｄ）

２２２２即｜ａ｜＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜＝｜с｜＋２с·ｄ＋｜ｄ｜

由于ａ·ｂ＝с·ｄ，

２２２２∴｜ａ｜＋｜ｂ｜＝｜с｜＋｜ｄ｜①

２２２２同理有｜ａ｜＋｜ｄ｜＝｜с｜＋｜ｂ｜②

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由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等

∴四边形ABCD是平行四边形

另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０

即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC

综上所述，四边形ABCD是矩形

评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系

四、课堂练习：

1下列叙述不正确的是（ ）

A向量的数量积满足交换律 B向量的数量积满足分配律

C向量的数量积满足结合律 Da·b是一个实数

2已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）

A72 B-72 C36 D-36 3|a|=3,|b|=4,向量a+33b与a-b的位置关系为（ ）

44 C夹角为A平行 B垂直 3D不平行也不垂直

4已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b)＝

5已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|=

6设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a－λb垂直，则λ＝

２参考答案：1C 2B 3B 4２

５－１+23 5323 35 6±

5五、课后作业

1已知|a|=1,|b|=2,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）

A60° B30° C135° D４５°

2已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）

3A2 B23 C6 D12 3已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）

A充分但不必要条件 B必要但不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

4已知向量a、b的夹角为，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=

35已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=

２6已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)＝______

7已知|a|=1,|b|=2,(1)若a∥b,求a·b;(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)14

若a-b与a垂直，求a与b的夹角

8设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角9对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角

参考答案：1D 2B 3C 421 5

–63 6 11 7(1)- 2 (2)32 (3)45° 8 120° 9 90°

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