小结ppt配用优秀教学设计

解一题而动全法

——必修4平面向量小结复习课教学设计

甘肃省陇西县第二中学

748100

李建邦

18093291262

引言：波利亚曾说过：“选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地。”对于认真备课的教师而言，这样的好题，数学中俯拾皆是。只要立足学生已有的经验，引导学生解决问题，解题思路才是自然的、清楚的，才是易于学生理解的。

【教材分析】

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，又是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。作为代数的对象，向量可以运算；作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、曲线、平面、曲面等几何对象，同时向量还有长度，可刻画长度、体积、面积等几何度量问题。它是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。

【教学目标】

1.理解平面向量的几何意义和代数意义。

2.掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理及向量的应用。

3.能用向量语言和方法表达和解决现实生活、数学和物理中的一些问题，发展运算素养和解决实际问题的能力。

【教学重点、难点】

重点：掌握平面向量的线性运算、数量积运算及应用，加强数形结合思想。

难点：正确求解，评价各种不同的解法。

【教学基本流程】

理解题意

确定解法

评价结果

变式训练

【教学设计】

一、《平面向量》的知识结构图

1

几何表示

表示

坐标表示

线性运算

实际背景

平面向量

运算

数量积运算

向量的应用

运算法则、运算律

运算法则、运算律

平面向量基本定理

【设计意图】建构主义学习观认为，学习是自主建构的，也就是说，一切新的学习都是在已有知识经验的基础上，通过意义自主建构的方式获得的。数学学习不应被看作学生对于教师所授予的知识的被动接受，就好似一个容器可以任意地被装进各种东西，恰恰相反，数学学习同样是每个学生的主动建构，他按自己的认知结构去建构（同化或顺应）自己的认知结构。

二、走进平面向量，体验平面向量力量无限的几个生长点：

【生长点1】平面向量的线性运算及应用

→→问题1：设D为△ABC所在平面内一点，则BD＝3CD，则(

) 1→4→→A．AD＝－AB＋AC

33→3→1→C．AD＝AB－AC

22→4→1→B．AD＝AB－AC

331→3→→D．AD＝－AB＋AC

22

解析

方法一在△ACD中，利用向量加法的三角形法则求解.

方法二

在△ACD中，利用向量减法的三角形法则求解. 方法三

在△ABD中，利用向量加法的三角形法则求解. 方法四

在△ABD中，利用向量减法的三角形法则求解. →→→→→→→→→→3→1→方法五∵BD＝3CD，∴AD－AB＝3(AD－AC)，∴2AD＝3AC－AB，∴AD＝AC－AB. 22【设计意图】问题是思维的起点，是数学的心脏，数学是思维的体操。思考源于问题，问题驱动思考，问题使思考更有方向。复习课题很重要，围绕目标选好题，有助于扩大课堂上学生数学活动的参与面、动手面和动口面。所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！

→→【变式训练1】在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以CB＝e1，CA＝→e2为基底表示CF. →→【变式训练2】已知OA＝a，OB＝b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线→段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示OD＝________. 【生长点2】平面向量的数量积运算

2

问题2：已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，连接→→DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为(

) 51111A．－ B． C． D．

8848解析:方法一

∵D，E分别是AB，BC的中点，且DE＝2EF，

∴AF·BC＝(AD＋DF)·BC

＝(－2BA＋2DE)·BC

＝(－2BA＋4AC)·BC

→→→1→3→3→→5→3→→53＝(－2BA＋4BC－4BA)·BC＝(－BA＋BC)·BC＝＝－|BA|·|BC|cos 60°＋×|BC|2

44445131＝－×1×1×＋＝．

4248方法二

以BC为x轴，E为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，易知A0，1→3→→1→3→→→→→→→3，2B－，0，E(0,0)，C，0，D－，22→→又DE＝2EF，设F(x，y)，

11143．

41331∴，－＝2(x，y)，∴x＝，y＝－，

884431∴F，－，

88→→1511∴AF·BC＝，－

3·(1,0)＝＋0＝．

8888【设计意图】留足够的时间和空间，让学生独立思考。所选问题基础性强，入口宽，易于各类学生选用不同的方法解题，让两名学生板演，展示交流；对展示结果进行恰当评价，同时追问：还有不同的解法吗？教师要善于从学生表情上发现不同的解法，想方设法鼓励上台展示，让不同学生的不同思维得到充分的“碰幢”，相互学习，共同提高。

【变式训练】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则AEBD________.

【生长点3】向量是工具，运算是灵魂，向量因运算力量无限

问题3 ：在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．

→→证明

方法一

设AD＝a，AB＝b，

则|a|＝|b|，a·b＝0．

b→→→a→→→又DE＝DA＋AE＝－a＋，AF＝AB＋BF＝b＋，

22b→→a－a＋

所以AF·DE＝b＋2·2

3

123b211＝－a－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0．

24222→→故AF⊥DE，即AF⊥DE．

方法二

以点A为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则→→A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)．

→→因为AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0．

→→所以AF⊥DE，即AF⊥DE．

【设计意图】利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标。这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明。

【变式训练】已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF．

三、

课堂反馈

1. 已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(

)

A．(7，－2) B．(1，－2)

C．(1，－3)

D．(7,2) 2. 已知两个单位向量e1，e2的夹角为＝________．

3．已知a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，那么a，b的夹角θ＝(

) A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

四、课堂小结

1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题。

2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧。

五、课后专业

复习参考题A组第1～12题

，B组第4、6题

【教学设计理念与教学反思】

1. 基于学生的学习是在问题引领下自助建构的过程。问题使学生思维活动更具体、更生动、更有方向。问题是思维的起点，问题是思维的心脏，选好问题很重要。

2. 基于学生积极参与数学活动，在亲身经历的数学活动过程中积累数学解题经验。

3. 基于“五环节”教学模式的实践与探索。

4. 课堂上要善于倾听学生的不同声音，关注教学生成性资源的利用。

5. 给学生提供必要的帮助，但绝不包办代替。

【教学后记】

1.美国数学教育家波利亚所言：“好的题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长，找到了一个以后，我们应该四处看看，很可能在很近的地方又能找到更多的。”让其擦肩而过岂不可惜！通过师生对问题进行“前牵后挂”式的合作探究，无痕地帮助学生提高了解题的“内功”，享受了解题成功的愉悦，积累了解题经验，丰富了数学活动经验。在这样的解题活

4 ，若向量b1＝e1－2e2，

b2＝3e1＋4e2，则b1·b23

动过程中，陈述性知识得以固化，程序性知识得以提升。

2.数学教学不仅要教结论，更要教获得结论的过程，在学生做数学的过程中，不断积累解题经验，不断修正猜想，在问题的引领下，探究层层深入，逐步揭示问题的本质。波利亚说：“教师在课堂上讲什么固然重要，然而学生想什么更是千百倍的重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅应起一个助产婆的作用。”为此，教师适时地追问学生，要围绕探究目标，立足学生的最近发展区，精心设计每一个问题，让问题引领学生探究；同时，根据解决问题的难易程度，让不同层次的学生展示自己的研究结果，不失时机的肯定和鼓励学生，让其享受解题成功的快乐！

3. 向量有深刻的物理背景和鲜明的几何意义，这些都有助于我们对向量知识的理解。如果向量没有运算，向量仅是路标，因为向量有了运算，向量力量无限！人教A版的编者之一陶维林带领南京师大附中数学教师去华中师大附中听课，听完华中师大附中特级教师殷希群课后，写了“把时间还给学生”文章，文中有三个小标题：一是“七分钟不说一个字，忍得好”；二是“一节课只讲三道题，少而精”；三是“不仅要向学生要结果，更要过程”。复习课上一讲到底，缺少学生思考的现象十分普遍，课堂成为教师展示知识的舞台，视学生为知识的容器。相当一部分教师认为高效课堂应该是大容量、高密度，教师讲得越多越好，美名其曰：“见多识广”。考完试后大发感慨：“这道题我讲了N遍，学生仍然不会，埋怨学生真笨。”这样的现象屡见不鲜，试想你讲的方法是你想到的还是在复制、翻译参考答案，你讲的方法是否在学生思维的最近发展区内，学生理解你讲方法的知识基础和已有知识经验又是什么。复习课学生做题教师讲题的目的应该是培养学生的思维能力，帮助学生学会数学的思考，学会分析问题、解决问题，在亲历解题的数学活动过程中，增强对数学思想方法的理解，丰富他们的数学活动经验。数学解题教学是高考复习的重要形式，选经典题，尽可能“解一题而动全法”，尽可能起点低、小步子；尽可能扩大学生的动手面和动口面，让更多的学生能积极参与解题实践活动，使课堂不仅仅是培养尖子的学堂，而是让更多学生获得自信、体验成功的乐园。

同时，经历对经典问题的分析、解答、拓展延伸，使数学思想方法得到融会贯通，也是数学复习的归宿。

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