阅读与思考 向量及向量符号的由来教案2

§2.1平面向量的基本概念

明目标、知重点

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

1．向量

既有大小，又有方向的量叫做向量．

2．向量的几何表示

→以A为起点、B为终点的有向线段记作AB. 3．向量的有关概念

(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①记法：向量a平行于向量b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行．

[情境导学]

回顾学习数的概念，我们可以从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小，又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，即向量．

探究点一

向量的概念和几何表示

我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．

例如，已知下列各量：

①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；

⑧重力；⑨路程；⑩密度．

其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！1

思考1

向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

答

思考2

向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

答

思考3

向量与有向线段有什么区别？

答

探究点二

几个向量概念的理解

思考1

长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

答

思考2

满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

答

小结

研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素．对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错．

思考3

在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？

答

探究点三

平行向量与共线向量

思考1

如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

答

小结

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b平行，通常记作a∥b.

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. a、b、c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在→→→l上分别作出OA＝a，OB＝b，OC＝c.

由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．

→→思考2

如果非零向量AB与CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

答

教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！2

思考3

若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？

答

小结

在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．

例1

判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若a≠b，则a一定不与b共线；

→→②若AB＝DC，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

→→③在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 解

反思与感悟

对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．

跟踪训练1

判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

解

教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！3

例2

一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

→→→→(1)作出向量AB、BC、CD；(2)求|AD|. 解

反思与感悟

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

跟踪训练2

在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

解

例3

如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

→→→(1)写出与EF共线的向量；(2)写出与EF的模大小相等的向量；(3)写出与EF相等的向量．

解

教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！4

反思与感悟

(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；

(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．

→→跟踪训练3

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所示向量与OA、OB、→OC相等的向量．

解

1．下列说法正确的是(

) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C．向量的大小与方向有关

D．向量的模可以比较大小

→→2．如图，在四边形ABCD中，若AB＝DC，则图中相等的向量是(

)

→→→→A.AD与CB

B.OB与OD

→→→→C.AC与BD

D.AO与OC

3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，则图中所示向量中是共线向量的有____________________．

→→→→4．在四边形ABCD中，AB∥CD且|AB|≠|CD|，则四边形ABCD的形状是________．

[呈重点、现规律]

1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！5

助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广意平行．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．

一、基础过关

1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

2．下列说法中正确的个数是(

) ①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等．

A．0

B．1

C．2

D．3 3．给出下列三个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b；

→→③若AB＝DC，则四边形ABCD是正方形．

其中不正确的命题的个数为(

) A．2个

B．3个

C．0个

D．1个

→→→→4．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO，BO，OC，OD是(

) A．相等的向量

B．平行的向量

C．有相同起点的向量

D．模相等的向量

5．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：

①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的是(

) A．①④

B．③

C．①②③

D．②③

6.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则(

)

教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！6

→→A.AD＝BC

→→→→B.AC＝BD C.PE＝PF

→→D.EP＝PF

→→→→7.如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，N、M分别是AD、BC上的点，且CN＝MA. →→求证：DN＝MB.

二、能力提升

8．以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 →9．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________. 10．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

→→→→(1)作出向量AB，BC，CD.

(2)求AD的模．

解

11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．

→→→→(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB；

(2)求B地相对于A地的位置向量．

→→→12.如图，已知AA′＝BB′＝CC′.求证：

(1)△ABC≌△A′B′C′；

→→→→(2)AB＝A′B′，AC＝A′C′.

教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！7

三、探究与拓展

13.如图，在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，→D，O}，向量集合T＝{MN|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．

教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！8