2.5.2 向量在物理中的应用举例第二课时教案

平面向量对物理的影响

一、教学目标分析

1．知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义。了解一个向量在另一个向量上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律进行相关的运算和判断。

2．过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3．情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

二、教学重难点分析

1、重点：平面向量数量积的概念。在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，也是本节课教学的重点。

2、难点：平面向量数量积的定义的理解。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点是数量积的概念。

三、教学过程

（一）、复习提问：

向量加法、减法、实数与向量的乘法。它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。这种运算与实数的运算有了很大的区别。

F 如图所示，如果一个物体在力F的作用下，产生的位移为S，



那么请问力F在这个运动过程中所做的功？

s （1）力F所做的功W=

。

（2）请同学们分析公式的特点：W（功）是

量，F（力）是

量，S（位移）是

量，θ是

。

（3）师生共同探讨以引出向量乘以向量。

（二）、新课：

1、力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

2、定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab

= |a||b|cos，并规定0与任何向量的数量积为0。

问题1：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

问题2：向量的数量积是一个数量，那么它何时为正？何时为负？它能等于零吗？

问题3：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积

。

3、向量夹角的概念：范围0≤≤180

4、注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定；

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分；

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且

ab=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。

5、向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

6、两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量

（1）ab



ab = 0；

（2）当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|。

特别的aa = |a|2或|a|aa；

（3）|ab| ≤

|a||b|；

（三）、例题讲解

例1

设︱a︱=6，︱b︱=4,a.b=542，求a与b的夹角。

例2 已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b）。

 = 0

A B  = 180

O B O A O A 

B O 

C A B O A 

B O A B 